畢業(yè)論文利用數(shù)形結(jié)合處理數(shù)學(xué)問題的技巧

1、2013屆畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 利用數(shù)形結(jié)合處理數(shù)學(xué)問題的技巧 分 院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院專 業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)班 級(jí)信計(jì)本0901學(xué) 號(hào)09404029姓 名溫政套指導(dǎo)教師張衛(wèi)標(biāo)（講師）完成時(shí)間2013年05月目錄緒論11數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)生與發(fā)展21.1數(shù)形結(jié)合思想的引入21.2數(shù)形結(jié)合思想的概念22數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用技巧42.1解決集合問題的技巧42.2解決函數(shù)問題的技巧52.3解決方程與不等式的應(yīng)用技巧62.4解決三角函數(shù)問題的技巧73結(jié)束語84參考文獻(xiàn)85致謝9摘 要數(shù)學(xué)是一門為多學(xué)科服務(wù)的課程，數(shù)學(xué)啟迪著我們的智慧。而如今，很多初高中學(xué)生卻為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中進(jìn)行的解題而頭疼。為了更多的學(xué)

2、生能夠從數(shù)學(xué)中獲得一定的受益。本文對(duì)數(shù)學(xué)中數(shù)與形的發(fā)展以及如何在解題中利用數(shù)形結(jié)合思想以達(dá)到解題的目的進(jìn)行詳細(xì)的闡述。使更多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人明白數(shù)學(xué)美，解題的便易過程給人們帶來的方便。 隨著社會(huì)的發(fā)展與教育改革步伐的加快，日常工作中人們都需要效率。何況我們?cè)诳荚囍袃H有那短短的兩個(gè)小時(shí)。所以說了解數(shù)與形的關(guān)系，學(xué)習(xí)一種新的解題方法數(shù)形結(jié)合思想是多么必要。學(xué)好任何一種解題思路，必須要濾清它的來源與發(fā)展史。只有這樣我們才能夠有興趣地去學(xué)習(xí)它，學(xué)好它。數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通俗地說就是代數(shù)與幾何相結(jié)合的思想。目前我們使用的新課本，不再把數(shù)學(xué)課劃分為“代數(shù)”、“幾何”，而是綜合為一門數(shù)學(xué)課。因?yàn)?/p>

3、這樣更利于我們開發(fā)思維，培養(yǎng)解決問題能力，本文將主要對(duì)數(shù)形結(jié)合在解決集合，函數(shù)及三角函數(shù)，不等式，解方程等應(yīng)用中的技巧。使廣大的數(shù)學(xué)愛好者更好的發(fā)掘“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對(duì)于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識(shí)，提高能力都有很大的幫助。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)，三角函數(shù)，解方程，不等式 AbstractMathematics is a multiple discipline service courses, math is inspiring our wisdom. Nowadays, many high school s

4、tudents is a headache for the study of mathematical problem solving. In order to more students to gain certain benefits fromMathematics. In this paper, the mathematics in the development of Numbers and forms and how to problem solving in using the number form combining ideas in order to achieve the

5、goal of problem solving in detail in this paper. Mathematical beauty, make more people understand math problem solving of the easy process bring convenience to people. With the development of the society and speed up the pace of education reform, people need efficiency in daily work. How much more w

6、ill we in the examination only that in just two hours. Understand the relationship between Numbers and forms, so study a new method for the problem solving several form combining ideas is necessary. Well any way, must be with its source and development. Only in this way can we have the interest to l

7、earn it, learn it well. Several form combining ideas is a kind of important mathematics thought, popular culture is the combination of algebra and geometry. Currently we are using the new textbook, no longer take math classes are divided into "algebra" and "geometry", but is inte

8、grated as a math class. Because it is more conducive to our development thinking, cultivating ability to solve the problem, this paper combines main logarithmic form in solving the collection of functions andtrigonometric functions, inequality, solving equations, such as application of the technique

9、. Make the math lovers better explore "number" and"shape" relationship to reveal and transformation, using the number form combining method, analogy, to help students explore and analyze the geometric model with which to help students deepen thinking, expanding knowledge, improve

10、 the ability to have very big help. Key words: Several form combining ideas, functions, trigonometric functions, solving equations, inequalities 緒論數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。初高中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種研究數(shù)學(xué)思想的方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來

11、闡明數(shù)之間某種關(guān)系。例如，在研究集合的包含情況圖像的演示是直觀的，再如在解方程與不等式的過程，繪出圖像來便可以知道區(qū)間的情況及解的情況等等。 由于“數(shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)“形”找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認(rèn)出符合問題目標(biāo)的某個(gè)熟悉的“模式”，這種模式是指數(shù)與形的一種特定關(guān)系或結(jié)構(gòu)。這種把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，并通過對(duì)圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問題的方法，就是圖形分析法。雖然形有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計(jì)算，

12、特別是對(duì)于較復(fù)雜 的“形”，不但要正確的把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。1數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)

13、生與發(fā)展 1.1 數(shù)形結(jié)合思想的引入十六世紀(jì)以后，隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與人民要求的日益提高加之航海，天文，地理的推進(jìn)幾何學(xué)提出了新的需要。許多科學(xué)家不斷的提出新的概念，新的設(shè)想。如，德國(guó)天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。即初步次年形成了數(shù)形的原結(jié)構(gòu)。1637年，法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作 幾何學(xué)中簡(jiǎn)要的闡述了數(shù)與形的應(yīng)用規(guī)律與方法。在這篇幾何學(xué)提到了尺規(guī)作圖，曲線性質(zhì)，立

14、體幾何等為今后的數(shù)形發(fā)展奠定了初步的基調(diào)與模型；其中的代數(shù)問題，探討了方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的幾何學(xué)作為解析幾何的起點(diǎn)。從這篇幾何學(xué)中可以看出，他的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個(gè)代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)。這樣就可以用代數(shù)方法描述曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。同時(shí)數(shù)形結(jié)合思想在人民的心目中得到了進(jìn)一步提升。1.2 數(shù)形結(jié)合思想的概念“數(shù)

15、”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)我們的思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀     數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等 中學(xué)數(shù)學(xué)研究的

16、對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)

17、系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長(zhǎng)、角度等等。數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以解決以下問題：一、解決集合問題：在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問題得以簡(jiǎn)化，使運(yùn)算快捷明了。二、解決函數(shù)問題：借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。三、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時(shí)，把方程的根的問題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問

18、題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。四、解決三角函數(shù)問題：有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。五、解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。六、解決數(shù)列問題：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。七、解決解析幾何問題

19、：解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中。八、解決立體幾何問題：立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算。2數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用技巧 2.1解決集合問題的技巧 為了大家可以清晰地了解數(shù)形結(jié)合思想在處理集合問題的便捷易懂，在這里我簡(jiǎn)單的列兩道具有代表性的例題。例1. 設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ） ：充分不必要條件 ：必要不充分條件：充要條件：不充分也不必要條件 從上圖可以看出，命題甲是命題乙的充分不必要條件所以選A對(duì)于處理集合的問題，可以用

20、數(shù)形結(jié)合的方法，如果含字母參數(shù)的，可以畫韋恩圖，如果是具體的書記，可以畫數(shù)軸，可以是集合間的關(guān)系直觀化。例2. 為集合的非空真子集，且不相等，若,則 ( ). . . .2.2解決函數(shù)問題的技巧 函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系例1.設(shè)b>0，二次函數(shù)的圖像為下列之一，則a的值為（ ）A.1 B.1 C. D.解析:有形去找數(shù)只有先認(rèn)識(shí)圖形，并選定正確的圖形，才能進(jìn)一步選定正確的答案.由于b>0，拋物線的對(duì)稱軸不可能是y軸，排除前兩圖；后兩圖都通過原點(diǎn)，故必，若，則拋物線開口向上，且，即對(duì)稱軸應(yīng)在y軸左方，排除第四圖，因而第三圖正確，只能，選B例2.如圖，定圓半徑為,圓心為，則直線與直線的交點(diǎn)

21、在（ ）.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限解析：為形配數(shù)。根據(jù)“圖形語言”予以賦值，可使抽象的問題具體化。由條件知道，且，于是，取，所以選。2.3解決方程與不等式的應(yīng)用技巧 例1. 若關(guān)于的方程的兩根都在之間，求的取值范圍。 分析：令，其圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解，由的圖象可知，要使二根都在之間，只需同時(shí)成立，解得，故例2. 解不等式。 常規(guī)解法：原不等式等價(jià)于（）或（II） 解（）得；解（II）得 綜上可知，原不等式的解集為 數(shù)形結(jié)合解法：令，則不等式的解就是使的圖象在的上方的那段對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)。 如下圖，不等式的解集為，而可由解得，故不等式的解集為。通過以上兩道方程與不等式的例題

22、我們對(duì)數(shù)形結(jié)合的思路進(jìn)一步的剖析和深究。更使我們明白的在考試過程中掌握一定的方法與技巧是多么的重要，而數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用往往可以起到事半功倍的結(jié)果。2.4解決三角函數(shù)問題的技巧例1. 從小到大的順序是 解析：首先可以看出這些角都不是特殊的角，果斷的求值去比較是行不通的，若注意到，相差較大，容易利用單位圓上的三角函數(shù)區(qū)分他們各自函數(shù)值的大小，設(shè)，可知例2.若，則（ ）, . . . 解：令，由題易知圖像為（如圖所示），從圖像上可以看出P的橫坐標(biāo)，再令，則，由題易知圖像通過這兩道簡(jiǎn)單的例題我們可以看到，作三角函數(shù)之類的題目。往往用純代數(shù)的理論是很難解決的，可使結(jié)合圖像的描述可以很直觀的看到結(jié)果。其單位圓的方法就是我們?cè)诮馊呛瘮?shù)題目中常常用到的。結(jié)束語通過本文的講解以及例題的演示，我希望這篇論文能夠?yàn)榇蠹規(guī)硪嫣?。本文主要介紹了數(shù)形結(jié)合思想的