彈簧類問(wèn)題的求解

1、i彈簧類問(wèn)題的求解由于涉及到的彈簧彈力是變力，學(xué)生往往對(duì)彈力大小和方向的變化過(guò)程缺乏清晰的分 析，不能建立與之相關(guān)的物理模型，導(dǎo)致解題思路不清、效率低下，錯(cuò)誤率較高。下面我們 歸納六類問(wèn)題探求解法。一、“輕彈簧”類問(wèn)題在中學(xué)階段，凡涉及的彈簧都不考慮其質(zhì)量，稱之為"輕彈簧"，是一種常見的理想化物理模型。由于“輕彈簧”質(zhì)量不計(jì)，選取任意小段彈簧分析，其兩端所受張力一定平衡，否 則，這小段彈簧的加速度會(huì)無(wú)限大。故：輕質(zhì)彈簧中各部分間的張力處處相等，均等于彈簧兩端的受力。彈簧一端受力為 F,另一端受力一定也為 F。若是彈簧秤，則彈簧秤示數(shù)為 F。例1、如圖所示，一個(gè)彈簧秤放在光滑

2、的水平面上，外殼質(zhì)量m不能忽略，彈簧及掛鉤質(zhì)量不計(jì)，施加水平方向的力Fi、F2,且Fl>F2則彈點(diǎn)簧秤沿水平方向的加速度為 ,彈簧秤的讀數(shù) 飛 嬴荷分析與解 以整個(gè)彈簧秤為研究對(duì)象：利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律Fi F2F1 F2 maa m僅以輕質(zhì)彈簧為研究對(duì)象：則彈簧兩端的受力都是Fi,所以彈簧秤的讀數(shù)為 Fi說(shuō)明F2作用在彈簧秤外殼上，并沒有作用在彈簧左端，彈簧左端的受力是由外殼內(nèi)側(cè) 提供的。二、彈簧彈力瞬時(shí)問(wèn)題因彈簧（尤其是軟質(zhì)彈簧）其形變發(fā)生改變過(guò)程需要一段時(shí)間，在瞬間內(nèi)形變量可以認(rèn)為不變。因此，在分析瞬時(shí)變化時(shí)，可以認(rèn)為彈力大小和方向不變，即彈簧的彈力瞬間不突 變。例2、如圖所示，木塊

3、A與B用一輕彈簧相連，豎直放在木塊C上，三者靜置于地面，A、B、C的質(zhì)量之比是1 ： 2 ： 3.設(shè)所有接觸面都光滑，當(dāng)沿水平方向迅速抽出木塊C的瞬時(shí)，木塊 A和B的加速度分別是aA=, aB=分析與解 由題意可設(shè)A、B、C的質(zhì)量分別為 m、2m、3m以木塊A為研究對(duì)象，抽出木塊 C前，木塊A受到重力和彈力一對(duì)平衡力，抽出木塊 C的瞬時(shí)，木塊 A受到重力和彈力的大小和方向均沒變，故木塊 A的 瞬時(shí)加速度為0以木塊AB為研究對(duì)象，由平衡條件可知，木塊C對(duì)木塊B的作用力FcB=3mg以木塊B為研究對(duì)象，木塊 B受到重力、彈力和 Fcb三力平衡，抽出木塊 C的瞬時(shí)， 木塊B受到重力和彈力的大小和方向

4、均沒變， Fcb瞬時(shí)變?yōu)?,故木塊C的瞬時(shí)合外力為豎 直向下的3mg。瞬時(shí)加速度為1.5g說(shuō)明 區(qū)別不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)繩中張力瞬間可以突變 三、彈簧長(zhǎng)度的變化問(wèn)題設(shè)勁度系數(shù)為k的彈簧受到壓力為一F i時(shí)壓縮量為一x i,彈簧受到拉力為F 2時(shí)伸長(zhǎng) 量為x 2,此時(shí)的“”號(hào)表示壓縮的含義。若彈簧受力由壓力F1變?yōu)槔 2,彈簧長(zhǎng)由胡克定律有:F i = k (x 1)度將由壓縮量X 1變?yōu)樯扉L(zhǎng)量為X 2 ,長(zhǎng)度增加量為X 1 + X 2F 2 = k x 2.Fi(F2)=kxi(X2) 即： F = kZx表示的物理含義加 簧 “ 彈EWWV10;。M H 變2) gm說(shuō)明彈簧受力的變化與彈簧長(zhǎng)

5、度的變化也同樣遵循胡克定律，此時(shí)x是彈簧長(zhǎng)度的改變量，并不是形變量。例3、如圖所示，勁度系數(shù)為 ki的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為 mi、 m2的物塊1、2拴接，勁度系數(shù)為k2的輕質(zhì)彈簧上端與物塊 2拴接，下端 壓在桌面上(不拴接)，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)施力將物塊1緩慢地豎 直上提，直到下面那個(gè)彈簧的下端剛脫離桌面 .在此過(guò)程中，物塊2的重力 勢(shì)能增加了 ,物塊1的重力勢(shì)能增加了 .分析與解 由題意可知：彈簧k 2長(zhǎng)度的增加量就是物塊2的高度增 加量，彈簧k 2長(zhǎng)度的增加量與彈簧k 1長(zhǎng)度的增加量之和就是物塊1的高 度增加量，由物體的受力平衡可知：彈簧k2的彈力將由原來(lái)的壓力(m 1 +m 2

6、)k i的彈力將由原來(lái)的壓力m ig變?yōu)槔 2 g,彈力改變量也為(m i +所以1、2彈簧的伸長(zhǎng)量分別為(m1+m2)g和(m1+m2)gk,k2故物塊2的重力勢(shì)能增加了 一 m2 (m1+m2)g2, k2物塊1的重力勢(shì)能增加了( 工工)m1 (m1+m2)g2k1 k2四、彈力變化的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力， 當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí)， 要注意彈力的 大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對(duì)應(yīng)。 在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手， 先確定彈 簧原長(zhǎng)位置、現(xiàn)長(zhǎng)位置及臨界位置， 找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系， 分析形 變所對(duì)應(yīng)的彈力大小、方向，彈性勢(shì)能也是與

7、原長(zhǎng)位置對(duì)應(yīng)的形變量相關(guān)。 以此來(lái)分析計(jì)算 物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能變化結(jié)合彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 分析涉及到彈簧物體的變加速度運(yùn)動(dòng)， 往往能達(dá)到事半功倍 的效果。此時(shí)要先確定物體運(yùn)動(dòng)的平衡位置， 區(qū)別物體的原長(zhǎng)位置， 進(jìn)一步確定物體運(yùn)動(dòng)為 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。結(jié)合與平衡位置對(duì)應(yīng)的回復(fù)力、加速度、速度的變化規(guī)律， 則很容易分析物體的 運(yùn)動(dòng)過(guò)程例4、如圖所示，質(zhì)量為 m的物體A用一輕彈簧與下方地面上質(zhì)量也為 m的物體B相連，開始時(shí)A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧壓縮量為xo, 一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪， 一端連接物體 A、另一端C握在手中， 各段繩均處于剛好伸直狀態(tài)，A上方的一段繩子沿豎直方向且足夠長(zhǎng)?，F(xiàn)在C端

8、施水平恒力F而使A從靜止開始向上運(yùn)動(dòng)。(整個(gè)過(guò) 程彈簧始終處在彈性限度以內(nèi))(1)如果在C端所施恒力大小為 3mg ,則在B物塊剛要離開地 面時(shí)A的速度為多大？(2)若將B的質(zhì)量增加到2m,為了保證運(yùn)動(dòng)中 B始終不離開 地面，則F最大不超過(guò)多少？分析與解由題意可知：彈簧開始的壓縮量Xomg在B物塊剛要離開地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也是X0 mgk(1)若F=3mg,在彈簧伸長(zhǎng)到xo時(shí)，B開始離開地面, 等，F(xiàn)所做的功等于A增加的動(dòng)能及重力勢(shì)能的和。即此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能與施力前相1 _ 2F 2x0 mg 2x0 - mv可解得:V 2 2gXo(2)所施力為恒力F0時(shí)，物體B不離開地面，類比豎直彈簧振子

9、，物體A在豎直方向上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力。故物體 A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。在最低點(diǎn)：F0 mg+kx 0=mai式中k為彈簧勁度系數(shù)，ai為在最低點(diǎn)A的加速度。在最高點(diǎn)，B恰好不離開地面，此時(shí)彈簧被拉伸，伸長(zhǎng)量為2x0,則：K (2x0) +mg F0=ma2考慮到：kx0=mg簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在上、下振幅處ai=a2,口 3mg解得：F0=2也可以利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置求恒定拉力F0。物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)壓縮量為x。，最高點(diǎn)伸長(zhǎng)量為 2x0,則上下運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)為平衡位置，即伸長(zhǎng)量為&所在處。2由： mg k F0解得：F0=-mg說(shuō)明 區(qū)別原長(zhǎng)位置與平衡位置。與原長(zhǎng)位置對(duì)應(yīng)的形變

10、量與彈力大小、方向、彈性勢(shì) 能相關(guān)；與平衡位置對(duì)應(yīng)的位移量與回復(fù)大小、方向、速度、加速度相關(guān)。五、與彈簧相關(guān)的臨界問(wèn)題通過(guò)彈簧相聯(lián)系的物體，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)常涉及到一些臨界極值問(wèn)題： 如物體速度達(dá)到 最大；彈簧形變量達(dá)到最大時(shí)兩物體速度達(dá)到相同； 使物體恰好要離開地面；相互接觸的物 體恰好要脫離等等。此類題的解題關(guān)鍵是利用好臨界條件，得到解題有用的物理量和結(jié)論例5、如圖所示，A、B兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，已知木塊A、B質(zhì)量分別為0.42 kg和0.40 kg,彈簧的勁度系數(shù) k=100 N/m ,若在木塊 A上作用一個(gè)豎直向 上的力F,使A由靜止開始以 0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速

11、運(yùn)動(dòng) (g=10 m/s2).(1)使木塊A豎直做勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，力F的最大值；(2)若木塊由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，直到A、B分離的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能減少了0.248 J,求這一過(guò)程F對(duì)木塊做的功。分析與解確定兩物體分離的臨界點(diǎn)，即N =0時(shí)，恰好分離.此題難點(diǎn)和失分點(diǎn)在于能否通過(guò)對(duì)此物理過(guò)程的分析后, 當(dāng)彈簧作用下的兩物體加速度、速度相同且相互作用的彈力x,當(dāng)F=0 (即不加豎直向上 F力時(shí))，設(shè)A、B疊放在彈簧上處于平衡時(shí)彈簧的壓縮量為kx=(mA+mB)g 即(mA+mB)g x對(duì)A施加F力，分析A、B受力如右圖所示對(duì) A F+N-m Ag=m Aa5對(duì) B kx '-N

12、-m Bg=mBa'可知，當(dāng)NW0時(shí)，AB有共同加速度a=a',由式知欲使 A勻加速運(yùn)動(dòng)，隨N減小F增大.當(dāng)N=0時(shí)，F(xiàn)取得了最大值Fm,即 Fm=m A (g+a)=4.41 N,mB(a+g)x'= B' 切 d k又當(dāng)N=0時(shí)，A、B開始分離，由式知,此時(shí)，彈簧壓縮量 kx'=mB(a+g)AB 共同速度v2 =2a(x-x')由題知，此過(guò)程彈性勢(shì)能減少了Wp=Ep=0.248 J設(shè)F力功Wf,對(duì)這一過(guò)程應(yīng)用功能原理12 .Wf=2( mA+mB)v +(mA+mB)g(x-x')-Ep可知，Wf=9.64X10-2 J聯(lián)立，且注意

13、到 Ep=0.248 J六、彈力做功與彈性勢(shì)能的變化問(wèn)題彈簧彈力做功等于彈性勢(shì)能的減少量。彈簧的彈力做功是變力做功，求解一般可以用以下四種方法：1、因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進(jìn)行計(jì)算；2、利用Fx圖線所包圍的面積大小求解；3、用微元法計(jì)算每一小段位移做功， 再累加求和；4、據(jù)動(dòng)能定理和能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求解。由于彈性勢(shì)能僅與彈性形變量有關(guān)，彈性勢(shì)能的公式高考中不作定量要求，因此，在求彈力做功或彈性勢(shì)能的改變時(shí)，一般以能量的轉(zhuǎn)化與守恒的角度來(lái)求解。特別是涉及到兩個(gè)物理過(guò)程中的彈簧形變量相等時(shí)，往往彈性勢(shì)能的改變可以抵消，或替代求解。例6、如圖所示，擋板 P固定在足夠高的水平

14、桌面上，小物塊A和B大小可忽略，它們分別帶為+qa和+Qb的電荷量，質(zhì)量分別為m a和m b o兩物塊由絕緣的輕彈簧相連，一個(gè)不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)滑輪，一端與B連接，另一端連接輕質(zhì)小鉤。整個(gè)裝置處于場(chǎng)強(qiáng)為E、方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，A、B開始時(shí)靜止，已知彈簧的勁度系數(shù)為k,不計(jì)一切摩擦及A、B間的庫(kù)侖力，A、B所帶電荷量保持不變，B不會(huì)碰到滑輪。M的物塊C并由靜止釋放，可使物塊 A對(duì)擋板P的壓力恰C下降的最大距則當(dāng)A剛離開擋(1)若在小鉤上掛質(zhì)量為 為零，但不會(huì)離開 P,求物塊 離h(2)若C的質(zhì)量為2M, 板P時(shí)，B的速度多大？分析與解通過(guò)物理過(guò)程的分析可知：當(dāng)A剛離開擋板P時(shí)，彈力恰好與A所受電場(chǎng)力平衡，彈簧伸長(zhǎng)量一定，前后兩次改變物塊C質(zhì)量，在第2問(wèn)對(duì)應(yīng)的物理過(guò)程中，彈簧長(zhǎng)度的變化及彈性勢(shì)能的改變相同，可以替代求解。設(shè)開始時(shí)彈簧壓縮量為 xi由平衡條件：kxi EQb可得x1 -EQbk設(shè)當(dāng)A剛離開檔板時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x2 :由：kx2 EQa可得x2 -EQak故C下降的最大距離為：h x1 x2由一式可解得h E(QB QA)k(2)由能量轉(zhuǎn)化守恒定律可知：C下落h過(guò)程中，C重力