波的基本概念

1、波的基本概念1.波：振動在媒質(zhì)（介質(zhì)）中的傳播就是波，分為橫波和縱波。2.橫波：媒質(zhì)中各體元振動的方向與波傳播的方向垂直。例如：一根均勻柔軟的細繩的振動，形成的波就是橫波。3.縱波：媒質(zhì)中各體元振動的方向與波傳播的方向平行。例如：空氣中的聲波，空氣中體元時而靠近，時而疏遠。4.表面波：在兩中媒質(zhì)的界面上傳播的波。例如：水面波。5.波面：波傳播時，同相位各點所組成的面。6.波前：離波源最遠，即“最前方”的波面。7.波射線：與波面垂直且表明波的傳播方向的線叫波射線。8.平面波：波前為平面的波。波線是互相平行的。9.球面波：波前為球面。點波源在均勻的和各向同性媒質(zhì)中發(fā)生的波是球面波。波線是相交于波源

2、的直線。平面簡諧波方程一.  平面簡諧波：平面波傳播時，媒質(zhì)中體元均按正弦（或余弦）規(guī)律運動。二.  平面簡諧波方程（從運動學(xué)角度考慮）：描述不同時刻不同體元的運動狀態(tài)。設(shè)：一列平面簡諧波沿 軸正向傳播，選擇原點 處體元相位為0的時刻為計時起點，即該體元的相位為零，則 處體元的運動學(xué)方程：其中： 為體元距平衡位置的位移，A、 為波源的振幅和圓頻率。經(jīng) 的時間， 處體元的振動狀態(tài)傳到位于 處的體元，即：t時刻，位于 處的體元的振動狀態(tài)應(yīng)與 時刻處體元的振動狀態(tài)一樣，則 處體元的運動學(xué)方程為： 其中：v為振動狀態(tài)傳播的速度，叫波速，也叫相速。式就是平面簡諧波方程。從式看出： 處

3、質(zhì)元的振動比原點處的質(zhì)元落后 。若：波動沿 軸負方向傳播，則波動方程為： 式可以看出： 處質(zhì)元的振動超前于原點處的質(zhì)元 。三.   平面簡諧波方程的物理意義1.當 一定時， 表示x處質(zhì)元的振動方程，初位相是 2.當t一定時， 表示t時刻各個質(zhì)元偏離平衡位置的位移，即t時刻的波形。由可知： 處體元振動的周期、頻率和圓頻率： 注意： 不一定是振動系統(tǒng)的固有頻率而取決于波源頻率，所以中的形式不意味著各體元作簡諧振動。由知：t一定時，y是 的周期函數(shù)，也存在空間位置上的周期，波長 : 即：波長是波在一個周期內(nèi)傳播的距離，或：沿波傳播方向相鄰?fù)辔粌牲c間的距離。另外，由空間位置的周期

4、性可知： 定義： ，稱為波數(shù)： ：表示單位長度上的波數(shù)，而 表示 長度上波的數(shù)目。 都描述平面簡諧波的空間周期性。3.聯(lián)系平面簡諧波的空間周期性與時間周期性的公式： 四. 平面簡諧波方程的多種形式： 練習(xí)題：圖（1）、圖（2）分別表示 t=0 和 t=2s 時的某一平面簡諧波的波形圖，試寫出此平面簡諧波方程。波動方程與波速（波的動力學(xué)方程）一. 波動方程（平面簡諧波的動力學(xué)方程）不是依據(jù)課本上的推導(dǎo)，而是從“平面簡諧波的動力學(xué)方程”出發(fā)來尋找動力學(xué)方程。已知： 代表t時刻 處質(zhì)元的速度。 代表t時刻 處質(zhì)元的加速度。 代表t時刻 處的應(yīng)變。 式就是波的動力學(xué)方程，而 就是波的運動學(xué)方程。類比于

5、：簡諧振動的動力學(xué)方程， 簡諧振動的運動學(xué)方程。二. 波速橫波（多為固體液體剪切形變詳見第八章）由 質(zhì)元的和外力（忽略掉質(zhì)元的重力）： 或： 式也是波的動力學(xué)方程。、比較可知： ，所以波速： 其中：N是剪切模量， 是物塊的密度。縱波同理：其中：Y是楊氏模量， 是密度（a固體中）。由此可知：固體中的縱波和橫波的波速與媒質(zhì)彈性密切相關(guān)。另外，張緊的柔軟細繩中橫波波速為：其中，T是繩中的張力。平均能流密度一. 媒質(zhì)中波的能量分布主要研究某體元動能、形變勢能以及總能的變化規(guī)律。1、動能由： 體元的振動速度。設(shè)：媒質(zhì)密度為 ， 表示體元的體積。則該體積的動能為： (1)2、勢能又由 體元的剪切應(yīng)變?yōu)椋?

6、，所以：體元剪切應(yīng)變勢能為： (2)又因為橫波： ，所以有： ( )(1)和( )式比較：得： 。即：體元的動能和勢能具有相同的數(shù)值，同時達最大或最小。3、總能因此，某體元的總能等于兩者之和：即： (3)由（3）式可知：某體元的總能為空間和時間的函數(shù)。注意：波動過程中體元勢能是由于體元的形變而為體元所有。4、能量密度：單位體積媒質(zhì)所有的能量, 用 表示，由（3）式知：平均能量密度：能量密度在一周期內(nèi)的平均值 ： (4)二、平均能流密度媒質(zhì)中體元的能量由振動狀態(tài)決定，而振動狀態(tài)又以波動傳播，所以能量也以波速傳播。現(xiàn)取波面上一面元 ，則，在一周期內(nèi)體積為 的柱體內(nèi)的能量均得流過該面元，流過的能量為

7、： ，則：單位時間通過單位面積的能量： 定義：平均能流密度：大小等于單位時間內(nèi)通過與波傳播方向面積的能量，方向沿波傳播方向，是一矢量，符號“ ”: (5) 即：平均能流密度的大小等于平均能量密度與波速 的乘積。單位： ,或： 例：一球面波，不計媒質(zhì)吸收的能量，設(shè)波面 ，對應(yīng)的平均能流密度為 ,則：單位時間內(nèi)通過不同波面的能量相同，即：即：球面波各體元的振幅和該點到波源的距離成反比。波的疊加和干涉 駐波 一波的疊加波的疊加原理：兩列波相獨立的傳播，在兩列波相遇處體元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和叫波的疊加原理。理論上解釋：因波動方程： 對于t和x都是線形的，若： 和 是該方程

8、的解，則 也是方程的解。因此，波的疊加原理與方程的線性密切相關(guān)。二、波的干涉、波的干涉：兩列波滿足一定條件，則兩列波相遇各空間點的合振動能各保持恒定振幅而不同位置各點以不同動能振動，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。、波的干涉條件：（）兩列波具有相同的振動方向；（）兩列波具有相同的頻率；（）兩列波在空間每一點引起的振動都有固定的相位差。簡單之，即：振動方向相同、頻率相同且在各空間點保持固定的相位差。如：同頻率同方向的正弦或余弦振動的合運動仍為正弦或余弦振動，合振動的振幅由分振動振幅以及相位差決定。光學(xué)里，常用“光程差”：如果光程差是波長的整數(shù)倍 ，則該處振動加強；如果光程差是半波長的奇數(shù)倍，則該處振動減弱

9、。滿足干涉條件的兩列波，才能實現(xiàn)干涉現(xiàn)象所要求的空間各點振動強弱所具有的確定的分布。三、駐波、駐波：振動相同而傳播方向相反的兩列簡諧相干波疊加得到的振動，稱為駐波。、 駐波方程：設(shè)兩列波： 相遇處各體元的合位移為：將： 代入上式得： (1)(1)式振動介于 之間，(1)式就是駐波方程。駐波方程的特點：（） 振幅：令： ,對于不同 處的質(zhì)元，振幅不同，介于 之間當 時， (2)即：處于(2)式中 處的質(zhì)元的振幅為2A，最大振幅，稱為駐波的波腹，用（）表示。當 時, (3)即：處于(3)式中處的質(zhì)元的振幅為0，最小振幅，稱為相鄰兩波節(jié)，用（）表示。（） 由(2)式知：相鄰兩波腹間的距離為 

10、0;     由(3)式知：相鄰兩波節(jié)間的距離為       由(2),(3)式知：相鄰波節(jié)和波腹之間則為： （）  相位（駐波各點振動的相位關(guān)系）（a）相鄰波節(jié)之間各點質(zhì)元的相位關(guān)系：由： ，取兩相鄰的波節(jié)處的質(zhì)元：， 代入駐波方程中的振幅因子 得：， 由此可知：處于兩波節(jié)之間的各點的 值不是第2、3象限就是第1、4象限，即 符號不變化。由此可知：處于兩波節(jié)間各點質(zhì)元具有相同的相位 。（ b）相鄰兩波腹處質(zhì)元的相位關(guān)系：由：相鄰兩波腹：和和 由此可知：相鄰兩波腹的相位是相反的，又由：相鄰波節(jié)之

11、間的質(zhì)元的相位相同，可以得知：波節(jié)兩側(cè)各體元的振動相位相反；波腹兩側(cè)各體元的振動相位相同。4、駐波中的能量駐波中的能量以形變勢能集中于波節(jié)附近，以動能形式集中于波腹附近，某些時刻，動能和勢能并存；總之，駐波中不斷進行著動能和勢能之間的轉(zhuǎn)換和在波腹與波節(jié)之間的轉(zhuǎn)移，然而沒有能量的定向傳播。5、行波與駐波的區(qū)別： 行波駐波波方程 （ ）振幅所有質(zhì)元處都為A 各質(zhì)元處的振幅不同： 相位：各處的相位不同 或 ：同相位或反相位能量由近向遠傳播（沿波傳播方向）波節(jié)或波腹之間的能量交換和轉(zhuǎn)移（沒有定向的傳播）經(jīng)常見到的駐波是：一列前進波與它在某一界面的反射波疊加而形成的。、舉例：半波損失：反射波在

12、邊界處引起的分震動比入射波在此引起的分振動在相位上落后 ，即：波傳播中此處相距半個波長，故這種現(xiàn)象稱半波損失。如：一金屬絲上傳播波，金屬絲兩端固定，在固定端處將發(fā)生半波損失。如：兩端固定的弦振動，入射波與反射波在該處引起的分振動因半波損失而反相位，所以如形成駐波，兩端點必是波節(jié)，設(shè)弦長為 ，則有如下關(guān)系： （n=1、2、3） 如：兩端自由，反射波與入射波在該處引起的分振動無半波損失，則端點是同相位，即：端點處是波腹。練習(xí)題：圖表示某一瞬時入射波的波形圖，在固定端反射，試畫出此瞬時反射波的波形圖。（無振幅損失）多普勒效應(yīng)（縱向）（橫向多普勒效應(yīng)為零）多普勒效應(yīng)：由于波源或觀察者的運動而出現(xiàn)觀測頻

13、率與波源頻率不同的現(xiàn)象。一、波源靜止而觀察者運動討論：靜止點波源的振動在均勻各向同性媒質(zhì)中傳播的情況：O點為波源，相位差為 ， 設(shè)：波相對于靜止媒質(zhì)以波速 傳播， ：波源振動的頻率，則波長： 設(shè)：觀測者觀測到的波速 ，波長 ，觀測頻率 ，即： （1）當：波源和觀察者都相對于媒質(zhì)靜止，則： 設(shè)：觀測者以 相對于媒質(zhì)朝波源O運動，觀測到的波長 ，觀測到的波速 ，則觀測頻率 將 代入得： （2）若：觀測者背離波源而運動，則：觀測到的波速 ，則：觀測頻率 與波源頻率 的關(guān)系為： （3）合并（2）和（3）式得： （4）若：觀測者朝波源運動，式中取正號，觀測頻率高于波源頻率；若：觀測者背離波源運動，式中取負號，觀測頻率低于波源頻率。二、 觀測者靜止而波源運動設(shè)：波源的速度為 ，假設(shè)波源靜止于A點，發(fā)射的波在一個周期T內(nèi)到達B點，則： （ 是波速）而：波源以速度 運