南昌大學(xué)第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(數(shù)學(xué)專業(yè)類)試題答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上南昌大學(xué)第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（07、08級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)類）試卷答案 序號(hào)： 姓名： _ 學(xué)院: 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 考試日期： 2010年10月題號(hào)一二三四五六七八九總分累分人 簽名題分30999999 8 8 100得分考生注意事項(xiàng)：1、本試卷共 5 頁，請(qǐng)查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報(bào)告以便更換。 2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。一、 填空題(每空 3 分，共 30分) 1、=0；2、函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1；3、=；4、的收斂區(qū)域?yàn)椋?）；5、設(shè)，則；6、函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)為；7、設(shè)，則= ；8、若 （） ，則= ； 9、交換二次積分的次

2、序?yàn)椋?10、存在的充要條件是，,當(dāng)，時(shí)，有。二、證明：函數(shù)在上不一致連續(xù).證明：對(duì)， ，但是有 所以，函數(shù)在上不一致連續(xù).三、設(shè)函數(shù)在上有定義且在每一點(diǎn)處函數(shù)的極限存在，求證：在上有界.證明：，設(shè)在處的極限為，則，有，從而。由為的開覆蓋及有限覆蓋定理得，存在有限個(gè)小開區(qū)間也是的開覆蓋。記M為，中的最大數(shù)，則有，有，使得，于是四、設(shè)在上可導(dǎo)，且，試證：存在(0, ),使得. 令 所以在(0, )達(dá)到最大值，故存在(0, ),使得即五、已知曲線積分，其中是常數(shù)，有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，是繞(0，0)點(diǎn)一周的任一分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線.試求及. 如圖所示，設(shè)C是不包含原點(diǎn)在內(nèi)的任一分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線，在C上任意取定兩點(diǎn)A，B,作圍繞原點(diǎn)的閉曲線AKBNA,同時(shí)得到另一繞原點(diǎn)的閉曲線AKBMA，由題設(shè)條件知即 從而有 ， 則 ,由知，為了計(jì)算,取為單位圓周，則六、設(shè)在上可微，且，M是的上界，則M.由拉格朗日定理及，知存在c=于是，M七、設(shè)在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 （1）若 求（2）若 求. （1）兩端關(guān)于求導(dǎo)，得 當(dāng)時(shí)，=，又在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以= （2）由，知 又由，得 所以八、設(shè)，絕對(duì)收斂，則應(yīng)用積分中值公式，有 = 由在處連續(xù)可知，任意，存在,使得 （