概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷及答案

1、模擬試題一一、 填空題（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|) = 0.85, 則P(A|) = P( AB) = 2、設(shè)事件A與B獨(dú)立，A與B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相等，則A發(fā)生的概率為：；3、一間宿舍內(nèi)住有6個(gè)同學(xué)，求他們之中恰好有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率：；沒(méi)有任何人的生日在同一個(gè)月份的概率；4、已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：, 則常數(shù)A=, 分布函數(shù)F(x)= , 概率；5、設(shè)隨機(jī)變量X B(2，p)、Y B(1，p)，若，則p = ，若X與Y獨(dú)立，則Z=max(X,Y)的分布律：；6、設(shè)

2、且X與Y相互獨(dú)立，則D(2X-3Y)=, COV(2X-3Y, X)=；7、設(shè)是總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，；8、設(shè)總體為未知參數(shù)，為其樣本，為樣本均值，則的矩估計(jì)量為：。9、設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體，計(jì)算得樣本觀察值，求參數(shù)a的置信度為95%的置信區(qū)間：；二、 計(jì)算題（35分）1、 (12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為： 求：1）；2）的密度函數(shù)；3）；2、(12分)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為1） 求邊緣密度函數(shù)；2） 問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？是否相關(guān)？3） 計(jì)算Z = X + Y的密度函數(shù)； 3、（11分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為： X1,X2,Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。1） 求參數(shù)的

3、極大似然估計(jì)量；2） 驗(yàn)證估計(jì)量是否是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。三、 應(yīng)用題（20分）1、（10分）設(shè)某人從外地趕來(lái)參加緊急會(huì)議，他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)來(lái)的概率分別是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飛機(jī)來(lái)，不會(huì)遲到；而乘火車、輪船或汽車來(lái)，遲到的概率分別是1/4，1/3，1/2?，F(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？2（10分）環(huán)境保護(hù)條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質(zhì)不得超過(guò)0.5，假定有害物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在取5份水樣，測(cè)定該有害物質(zhì)含量，得如下數(shù)據(jù)： 0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否據(jù)此抽樣結(jié)果說(shuō)明有害物質(zhì)含量超過(guò)了規(guī)定()？附

4、表：模擬試題二一、填空題(45分，每空3分) 1設(shè) 則 2設(shè)三事件相互獨(dú)立，且，若，則。 3設(shè)一批產(chǎn)品有12件，其中2件次品，10件正品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取3件，若用表示取出的3件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，則的分布律為。4設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 則，的密度函數(shù)。 5設(shè)隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的密度函數(shù) 6設(shè)的分布律分別為 -1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2且，則的聯(lián)合分布律為。和 7設(shè)，則，。8設(shè)是總體的樣本，則當(dāng)，時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從自由度為2的分布。 9設(shè)是總體的樣本，則當(dāng)常數(shù)時(shí)，是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。 10設(shè)由來(lái)自總體容量為9的樣本，得樣本均值=5，則參數(shù)的置信度為0.95的

5、置信區(qū)間為。二、計(jì)算題(27分) 1(15分)設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為（1） 求的邊緣密度函數(shù)；（2） 判斷是否獨(dú)立？為什么？（3） 求的密度函數(shù)。 2(12分)設(shè)總體的密度函數(shù)為其中是未知參數(shù)，為總體的樣本，求（1）參數(shù)的矩估計(jì)量； （2）的極大似然估計(jì)量。三、應(yīng)用題與證明題(28分) 1(12分)已知甲，乙兩箱中有同種產(chǎn)品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中僅有3件正品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，（1）求從乙箱中任取一件產(chǎn)品為次品的概率；（2）已知從乙箱中取出的一件產(chǎn)品為次品，求從甲箱中取出放入乙箱的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率。 2(8分)設(shè)某一次考試考生的成績(jī)服從正態(tài)分

6、布，從中隨機(jī)抽取了36位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)分，標(biāo)準(zhǔn)差分，問(wèn)在顯著性水平下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分，并給出檢驗(yàn)過(guò)程。3(8分)設(shè)，證明：相互獨(dú)立。附表：模擬試題三一、填空題（每題3分，共42分） 1設(shè) 若互斥，則；獨(dú)立，則；若，則。 2在電路中電壓超過(guò)額定值的概率為，在電壓超過(guò)額定值的情況下，儀器燒壞的概率為，則由于電壓超過(guò)額定值使儀器燒壞的概率為； 3設(shè)隨機(jī)變量的密度為，則使成立的常數(shù)； 4如果的聯(lián)合分布律為 Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 則應(yīng)滿足的條件是，若獨(dú)立，。5設(shè)，且 則，。6設(shè)，則服從的分布為。7測(cè)量鋁的比重16次，得，

7、設(shè)測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，參數(shù)未知，則鋁的比重的置信度為95%的置信區(qū)間為。二、（12分）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度為： （1）求常數(shù)； （2）求分布函數(shù)； （3）求的密度三、（15分）設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為（1）求常數(shù)； （2）求的邊緣密度；（3）問(wèn)是否獨(dú)立？為什么？（4）求的密度； （5）求。四、（11分）設(shè)總體X的密度為其中是未知參數(shù)，是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，求（1） 參數(shù)的矩估計(jì)量；（2） 參數(shù)的極大似然估計(jì)量；五、（10分）某工廠的車床、鉆床、磨床和刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1，它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1，當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí)，求這臺(tái)機(jī)床是車床的概率

8、。六、（10分）測(cè)定某種溶液中的水份，設(shè)水份含量的總體服從正態(tài)分布，得到的10個(gè)測(cè)定值給出，試問(wèn)可否認(rèn)為水份含量的方差？（）附表：模擬試題四一、填空題（每題3分，共42分） 1、 設(shè)、為隨機(jī)事件，則與中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為；當(dāng)獨(dú)立時(shí)，則2、 椐以往資料表明，一個(gè)三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：=0.6，=0.5，=0.4，那么一個(gè)三口之家患這種傳染病的概率為。3、設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為：，則=_。4、若連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則常數(shù)，密度函數(shù)5、已知連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則， 。 。6、設(shè)， ，且與獨(dú)立， 則)=。7、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，同服從參數(shù)為分布的指數(shù)分布，令的相

9、關(guān)系數(shù)。則, 。（注：）二、計(jì)算題（34分）1、 （18分）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 （1）求邊緣密度函數(shù)； （2）判斷與的獨(dú)立性； （3）計(jì)算；（3）求的密度函數(shù)2、（16分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且同分布于。令。（1）求的分布律； （2）求的聯(lián)合分布律；（3）問(wèn)取何值時(shí)與獨(dú)立？為什么？三、應(yīng)用題（24分）1、 （12分）假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.2。若一周5個(gè)工作日內(nèi)無(wú)故障則可獲10萬(wàn)元；若僅有1天故障則仍可獲利5萬(wàn)元；若僅有兩天發(fā)生故障可獲利0萬(wàn)元；若有3天或3天以上出現(xiàn)故障將虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)的期望利潤(rùn)。2、 （12分）將、三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為

10、0.8，而輸出為其它一字母的概率都為0.1。今將字母，之一輸入信道，輸入，的概率分別為0.5，0.4，0.1。已知輸出為，問(wèn)輸入的是的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的）。答 案（模擬試題一）四、 填空題（每空3分，共45分）1、0.8286 ，0.988 ；2、2/3 ；3、，；4、1/2, F(x)= ， ；5、p = 1/3， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)=43.92, COV(2X-3Y, X)=3.96 ；7、當(dāng)時(shí)，；8、的矩估計(jì)量為：。9、9.216，10.784； 五、 計(jì)算題（35分）1、

11、解 1） 2） 3）2、解：1）2）顯然，所以X與Y不獨(dú)立。 又因?yàn)镋Y=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X與Y不相關(guān)。 3）3、解1） 令 解出： 2）的無(wú)偏估計(jì)量。 六、 應(yīng)用題（20分）1解：設(shè)事件A1，A2，A3，A4分別表示交通工具“火車、輪船、汽車和飛機(jī)”，其概率分別等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B表示“遲到”，已知概率分別等于1/4，1/3，1/2，0 則，由概率判斷他乘火車的可能性最大。2解：（）， 拒絕域?yàn)椋?計(jì)算， 所以，拒絕，說(shuō)明有害物質(zhì)含量超過(guò)了規(guī)定。 附表：答 案（模擬試題二）一、填空題(45分，每空3分)123 0 1 26/11 9/

12、22 1/224， 56 0 1 -1011/4 00 1/21/4 078；9； 10. 二、計(jì)算題(27分)1（1）（2）不獨(dú)立 （3）2（1）計(jì)算 根據(jù)矩估計(jì)思想，解出：； （2）似然函數(shù) 顯然，用取對(duì)數(shù)、求導(dǎo)、解方程的步驟無(wú)法得到的極大似然估計(jì)。用分析的方法。因?yàn)?，所以，即所以，?dāng)時(shí)，使得似然函數(shù)達(dá)最大。極大似然估計(jì)為。三、1解：（1）設(shè)表示“第一次從甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3） 設(shè)表示“第二次從乙箱任取一件為次品”的事件； （2）2解： （）， 拒絕域?yàn)椋?根據(jù)條件，計(jì)算并比較所以，接受，可以認(rèn)為平均成績(jī)?yōu)?0分。 3(8分)證明：因?yàn)橄嗷オ?dú)立 答 案（

13、模擬試題三）一、填空題（每題3分，共42分） 1 0.5 ； 2/7 ； 0.5 。 2； 3； 15/16； 4， 2/9 ， 1/9 ， 17/3 。5 6 ， 0.4 。6。7 (2.6895, 2.7205) 。二、解：（1）（2）（3）Y的分布函數(shù)三、解：（1）， （2）（3）不獨(dú)立； （4）（5）四、解：（1） 令，即 解得。 （2），解得五、解：設(shè)=某機(jī)床為車床，；=某機(jī)床為鉆床，；=某機(jī)床為磨床，；=某機(jī)床為刨床，； =需要修理， 則。六、解：拒絕域?yàn)椋河?jì)算得，查表得樣本值落入拒絕域內(nèi)，因此拒絕。附表：答 案（模擬試題四）一、填空題（每題3分，共42分） 1、 0.4；0.8421 。2、0.12。3、， 。4、， 。5、3， 5 ，0.6