概率論課外自學(xué)指導(dǎo)

1、概 率 論課外自學(xué)指導(dǎo) 第一章 事件與概率內(nèi) 容 提 要    基本內(nèi)容：隨機(jī)事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算，概率的概念和基本性質(zhì)，古典概率，幾何概率，條件概率，與條件概率有關(guān)的三個(gè)公式，事件的獨(dú)立性，貝努里試驗(yàn). 1、隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件  （1）隨機(jī)試驗(yàn)：具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為.1）  試驗(yàn)可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2）  每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，但試驗(yàn)之前可確知試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；3）  每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).（2）樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成

2、的集合稱為的樣本空間記為；試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，即中的元素，稱為樣本點(diǎn)，記為.（3）隨機(jī)事件：在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機(jī)事件，簡稱事件；也可表述為事件就是樣本空間的子集，必然事件（記為）和不可能事件（記為）.2、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含關(guān)系與相等：“事件發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生”，記為或；且.（2）互不相容性：；互為對(duì)立事件且.  （3）獨(dú)立性：1）設(shè)為事件，若有，則稱事件與相互獨(dú)立. 等價(jià)于：若().    2）多個(gè)事件的獨(dú)立：設(shè)是n個(gè)事件，如果對(duì)任意的，任意的，具有等式，稱個(gè)事件相互獨(dú)立3、事件的運(yùn)算（1）和事件（并）：“事件與至少有一個(gè)發(fā)生”，

3、記為.（2）積事件（交）：“ 事件與同時(shí)發(fā)生”，記為或.（3）差事件、對(duì)立事件(余事件)：“事件發(fā)生而不發(fā)生”，記為稱為與的差事件；稱為的對(duì)立事件；易知：.4、事件的運(yùn)算法則 1) 交換律：，；2) 結(jié)合律：，；3) 分配律：，；4) 對(duì)偶(De Morgan)律：，可推廣      5、概率的概念（1）概率的公理化定義：（2）頻率的定義：事件在次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)次，則比值稱為事件在次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為，即.（3）統(tǒng)計(jì)概率：稱為事件的（統(tǒng)計(jì)）概率.在實(shí)際問題中，當(dāng)很大時(shí)，?。?）古典概率： 若試驗(yàn)的基本結(jié)果數(shù)為有限個(gè)，且每個(gè)事件

4、發(fā)生的可能性相等，則（試驗(yàn)對(duì)應(yīng)古典概型）事件發(fā)生的概率為：           .（5）幾何概率：若試驗(yàn)基本結(jié)果數(shù)無限，隨機(jī)點(diǎn)落在某區(qū)域g的概率與區(qū)域g的測(cè)度(長度、面積、體積等)成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則（試驗(yàn)對(duì)應(yīng)幾何概型），“在區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)落在區(qū)域中”這一事件發(fā)生的概率為：.（6）主觀概率：人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)該事件發(fā)生的可能性所給出的個(gè)人信念. 6、概率的基本性質(zhì)（1）不可能事件概率零：0.（2）有限可加性：設(shè)是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即，（），則有.（3）單調(diào)不減性：若事

5、件，且.（4） 互逆性：且.（5） 加法公式：對(duì)任意兩事件，有；此性質(zhì)可推廣到任意個(gè)事件的情形.（6）可分性：對(duì)任意兩事件，有，且7、條件概率與乘法公式 （1）條件概率：設(shè)是兩個(gè)事件，即，則稱為事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率（2）乘法公式：設(shè)且則 稱為事件的概率乘法公式.8、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式 （1）全概率公式：設(shè)是的一個(gè)劃分，且，則對(duì)任何事件，有稱為全概率公式.（2）貝葉斯(Bayes)公式：設(shè)是的一個(gè)劃分，且，則對(duì)任何事件，有稱為貝葉斯公式或逆概率公式.9、貝努里(Bernoulli)概型（1）只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)稱為貝努里試驗(yàn)，常記為

6、也叫做“成功失敗”試驗(yàn),“成功”的概率常用表示，其中“成功”.（2）把重復(fù)獨(dú)立地進(jìn)行次，所得的試驗(yàn)稱為重貝努里試驗(yàn)，記為（3）把重復(fù)獨(dú)立地進(jìn)行可列多次，所得的試驗(yàn)稱為可列重貝努里試驗(yàn)，記為以上三種貝努里試驗(yàn)統(tǒng)稱為貝努里概型（4）中成功次的概率是：其中.  疑 難 分 析1、必然事件與不可能事件    必然事件是在一定條件下必然發(fā)生的事件，不可能事件指的是在一定條件下必然不發(fā)生的事件.它們都不具有隨機(jī)性，是確定性的現(xiàn)象，但為研究的方便，把它們看作特殊的隨機(jī)事件.2、互逆事件與互斥（不相容）事件如果兩個(gè)事件與必有一個(gè)事件發(fā)生，且至多有一個(gè)事件發(fā)生，

7、則、為互逆事件；如果兩個(gè)事件與不能同時(shí)發(fā)生，則、為互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個(gè)事件時(shí)，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個(gè)事件的情形.作為互斥事件在一次試驗(yàn)中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個(gè)且只發(fā)生一個(gè).3、兩事件獨(dú)立與兩事件互斥兩事件、獨(dú)立，則與中任一個(gè)事件的發(fā)生與另一個(gè)事件的發(fā)生無關(guān)，這時(shí)；而兩事件互斥，則其中任一個(gè)事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個(gè)事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時(shí).4、條件概率與積事件概率是在樣本空間內(nèi)，事件的概率，而是在試驗(yàn)增加了新條件發(fā)生后的縮減的樣本空間中計(jì)算事件的概率.雖然、都發(fā)生，但兩者是不同的，一般說來，

8、當(dāng)、同時(shí)發(fā)生時(shí)，常用，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時(shí)，用.如袋中有9個(gè)白球1個(gè)紅球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率.問題（1）求的就是一個(gè)積事件概率的問題，而問題（2）求的就是一個(gè)條件概率的問題.5、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式當(dāng)所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡單地看作這諸多事件之和時(shí)，可考慮用全概率公式，在對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分時(shí)，一定要注意它必須滿足的兩個(gè)條件.貝葉斯公式用于試驗(yàn)結(jié)果已知，追查是何種原因（情況、條件）下引發(fā)的概率.  例 題 解 析

9、【例1】寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件包含的樣本點(diǎn)：（1）擲一棵骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn).（2）投擲一枚均勻硬幣兩次：1）第一次出現(xiàn)正面；2）兩次出現(xiàn)同一面；3）至少有一次出現(xiàn)正面.（3）在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍.（4）將a,b兩只球隨機(jī)地放到3個(gè)盒子中去，第一個(gè)盒子中至少有一個(gè)球.分析：可對(duì)照集合的概念來理解樣本空間和樣本點(diǎn)：樣本空間可指全集，樣本點(diǎn)是元素，事件則是包含在全集中的子集.解:(1) 擲一棵骰子，有六種可能結(jié)果，如果用“1”表示“出現(xiàn)1點(diǎn)”這個(gè)樣本點(diǎn)，其余類似.則樣本空間為：=1，2，3，4，5，6，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的事件為：1，3，5.（2

10、）投擲一枚均勻硬幣兩次，其結(jié)果有四種可能，若用（正，反）表示“第一次出現(xiàn)正面，第二次出現(xiàn)反面”這一樣本點(diǎn)，其余類似.則樣本空間為：=（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反），用分別表示上述事件1）、2）、3），則事件=（正,正）,（正,反）；事件=（正,正），（反,反）；事件=（正,正）,（正,反）,（反,正）.（3）在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個(gè)數(shù)，共有種可能，若用表示“第一次取數(shù)，第二次取數(shù)”這一樣本點(diǎn)，則樣本空間為：=；其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的事件為：（1,2）,（2,1）,（2,4）,（4,2）.(4)三個(gè)盒子分別記為甲、乙、丙，將a,b兩只球隨機(jī)地放到3個(gè)盒子中去

11、共有九種結(jié)果.若用（甲、乙）表示“a球放入甲盒，b球放入乙盒”這一樣本點(diǎn)，其余類似.則樣本空間為：=（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）；第一個(gè)盒子中至少有一個(gè)球的事件為：（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲）. 【例2】設(shè)為三個(gè)事件，用的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：（1）僅發(fā)生；            （2）與都發(fā)生，而不發(fā)生；（3）所有三個(gè)事件都不發(fā)生；（4）至少有一個(gè)事件發(fā)生；（5）至

12、多有兩個(gè)事件發(fā)生；  （6）至少有兩個(gè)事件發(fā)生；（7）恰有兩個(gè)事件發(fā)生；    （8）恰有一個(gè)事件發(fā)生.分析：利用事件的運(yùn)算關(guān)系及性質(zhì)來描述事件.解：（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）或；（6）或；（7）；（8）. 【例3】把個(gè)不同的球隨機(jī)地放入個(gè)盒子中，求下列事件的概率：（1）某指定的個(gè)盒子中各有一個(gè)球；（2）任意個(gè)盒子中各有一個(gè)球；（3）指定的某個(gè)盒子中恰有個(gè)球.分析：這是古典概率的一個(gè)典型問題，許多古典概率的計(jì)算問題都可歸結(jié)為這一類型.每個(gè)球都有種放法，個(gè)球共有種不同的放法.“某指定的個(gè)盒子中各有一個(gè)球”相當(dāng)于個(gè)球在個(gè)盒子中的全排

13、列；與（1）相比，（2）相當(dāng)于先在個(gè)盒子中選個(gè)盒子，再放球；（3）相當(dāng)于先從個(gè)球中取個(gè)放入某指定的盒中，再把剩下的個(gè)球放入個(gè)盒中.解：樣本空間中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為.（1）該事件所含的樣本點(diǎn)數(shù)是，故：；（2）在個(gè)盒子中選個(gè)盒子有種選法，故所求事件的概率為：；（3）從個(gè)球中取個(gè)有種選法，剩下的個(gè)球中的每一個(gè)球都有種放法，故所求事件的概率為：.【例5】設(shè)事件與互不相容，且，求下列事件的概率：.分析：按概率的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.解：與互不相容，所以，；由于與互不相容，這時(shí)，從而；由于，從而. 【例6】某住宅樓共有三個(gè)孩子，已知其中至少有一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)是男孩的概率（假設(shè)一個(gè)小孩為男或?yàn)榕堑?/p>

14、可能的）.分析：在已知“至少有一個(gè)是女孩”的條件下求“至少有一個(gè)是男孩”的概率，所以是條件概率問題.根據(jù)公式，必須求出.解：設(shè)=至少有一個(gè)女孩，=至少有一個(gè)男孩，則=三個(gè)全是男孩，=三個(gè)全是女孩，于是，事件為“至少有一個(gè)女孩且至少有一個(gè)男孩”，因?yàn)?，且，所?#160;    =，從而，在已知至少有一個(gè)為女孩的條件下，求至少有一個(gè)是男孩的概率為：. 【例7】某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)(表1-1).表1-1元件制造廠次品率提供晶體管的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠

15、的產(chǎn)品在倉庫中均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志.（1）在倉庫中隨機(jī)地取一只晶體管，求它是次品的概率.（2）在倉庫中隨機(jī)地取一只晶體管，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少.試求這些概率.分析：事件“取出的一只晶體管是次品”可分解為下列三個(gè)事件的和：“這只次品是一廠提供的”、“這只次品是二廠提供的”、“這只次品是三廠提供的”，這三個(gè)事件互不相容，可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算.一般地，當(dāng)直接計(jì)算某一事件的概率比較困難，而比較容易計(jì)算，且時(shí)，可考慮用全概率公式計(jì)算.（2）為條件概率，可用貝葉斯公式進(jìn)行計(jì)算.解：設(shè)表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第家

16、工廠提供的”.易知，是樣本空間的一個(gè)劃分，且有     =.（1）由全概率公式：     .（2）由貝葉斯公式：.以上結(jié)果表明，這只次品來自第二家工廠的可能性最大. 【例8】一名工人照看三臺(tái)機(jī)床，已知在1小時(shí)內(nèi)三臺(tái)機(jī)床各自不需要工人照看的概率為.求1小時(shí)內(nèi)三臺(tái)機(jī)床至多有一臺(tái)需要照看的概率.分析：每臺(tái)機(jī)床是否需要照看是相互獨(dú)立的，這樣，可根據(jù)事件的獨(dú)立性性質(zhì)及加法公式進(jìn)行計(jì)算.解：各臺(tái)機(jī)床需要照看的事件是相互獨(dú)立的，而三臺(tái)機(jī)床至多有一臺(tái)需要照看的事件可寫成：，則由加法公式與獨(dú)立性性質(zhì)得： 

17、0;  =0.902. 【例9】某車間有10臺(tái)同類型的設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備的電動(dòng)機(jī)功率為10千瓦.已知每臺(tái)設(shè)備每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)12分鐘，它們的使用是相互獨(dú)立的.因某種原因，這天供電部門只能給車間提供50千瓦的電力.問該天這10臺(tái)設(shè)備能正常運(yùn)作的概率是多少？分析：由題意知，所要求的概率就是求“該天同時(shí)開動(dòng)的設(shè)備不超過5臺(tái)”這一事件的概率.因?yàn)槊颗_(tái)設(shè)備的使用是相互獨(dú)立的，且在某一時(shí)刻，設(shè)備只有開動(dòng)與不開動(dòng)兩種情況，所以本題可視為10重貝努里試驗(yàn)，可用二項(xiàng)概率公式進(jìn)行求解.解：設(shè)表示事件“設(shè)備開動(dòng)”，表示“同時(shí)開動(dòng)的設(shè)備數(shù)”，則由二項(xiàng)概率公式得：，同時(shí)開動(dòng)不超過5臺(tái)的概率：；故該天這10

18、臺(tái)設(shè)備能正常運(yùn)作的概率為0.994. 第二章  離散型隨機(jī)變量內(nèi) 容 提 要    基本內(nèi)容：離散型隨機(jī)變量的概率分布，常見隨機(jī)變量的分布，數(shù)學(xué)期望與方差，條件分布列，條件數(shù)學(xué)期望 1、隨機(jī)變量設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，如果對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為定義在上的隨機(jī)變量，簡記為.隨機(jī)變量通常用大寫字母等表示. 2、離散型隨機(jī)變量及其分布列如果隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可列個(gè)可能值，則稱為離散型隨機(jī)變量.如果的一切可能值為，并且取的概率為，則稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)（概率分布或分布律）.也稱分布列，常

19、記為其中  .3、常見的離散型隨機(jī)變量的分布有：（1）兩點(diǎn)分布（0-1分布）：記為，分布列為或                 （2）二項(xiàng)分布：記為，概率函數(shù)（3）泊松分布，記為，概率函數(shù)泊松定理  設(shè)是一常數(shù)，是任意正整數(shù)，設(shè)，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)，有.當(dāng)很大且很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似代替，即其中（4）超幾何分布：記為，概率函數(shù)其中為正整數(shù)，且.當(dāng)很大，且較小時(shí)，有（5）幾何分布：記為，概率函數(shù).&#

20、160;4、隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其分布列為(表2-2)：表2-2                                           

21、0;               則任為離散型隨機(jī)變量，其分布列為(表2-3)：表2-3                                 

22、60;           有相同值時(shí)，要合并為一項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的概率相加. 疑 難 分 析1、隨機(jī)變量與普通函數(shù)隨機(jī)變量是定義在隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間上，對(duì)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).從定義可知：普通函數(shù)的取值是按一定法則給定的，而隨機(jī)變量的取值是由統(tǒng)計(jì)規(guī)律性給出的，具有隨機(jī)性；又普通函數(shù)的定義域是一個(gè)區(qū)間，而隨機(jī)變量的定義域是樣本空間.【例1】設(shè)1小時(shí)內(nèi)進(jìn)入某圖書館的讀者人數(shù)服從泊松分布.已知1小時(shí)內(nèi)無人進(jìn)入圖書館的概率為0.01.求1小時(shí)內(nèi)至少有2個(gè)讀者進(jìn)入圖書館的概率.

23、分析：1小時(shí)內(nèi)進(jìn)入圖書館的人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，且.這樣，表示在1小時(shí)內(nèi)無人進(jìn)入圖書館，表示在1小時(shí)內(nèi)至少有2人進(jìn)入圖書館.通過求參數(shù)，進(jìn)一步，求.解：設(shè)為在1小時(shí)內(nèi)進(jìn)入圖書館的人數(shù)，則，這時(shí)：已知，故.所求概率為：. 【例2】設(shè)的分布律為(表2-6):表2-61        2       3        4      &#

24、160; 5       6                              求的分布律.分析：是離散型隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量.當(dāng)取不同值時(shí)，將那些取相等的值分別合并，并把相應(yīng)的概率相加.從而得到的分布律.解：與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表2-7

25、：表2-71        2       3        4        5       60       -1       0 &#

26、160;      1        0      -1                              由上表可知，的取值只有-

27、1，0，1三種可能，由于，所以，的分布律為(表2-8)：    表2-8-1                  0                 1       

28、60;                         多維隨機(jī)變量及其分布1、二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)為n維(n元)隨機(jī)變量或隨機(jī)向量.聯(lián)合分布函數(shù)的定義  設(shè)隨機(jī)變量,為隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)二維聯(lián)合分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1）單調(diào)性  是變量或的非減函數(shù)；（2）有界性  ；（3）極限性（3）連續(xù)性  關(guān)于

29、右連續(xù)，關(guān)于也右連續(xù)；（4）非負(fù)性  對(duì)任意點(diǎn)，若，則.上式表示隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為：.2、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布列如果二維隨機(jī)變量所有可能取值是有限對(duì)或可列對(duì)，則稱為二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量,它的所有可能取值為將或表3.1稱為的聯(lián)合分布列.表3.1                            &#

30、160;                                                    

31、0;                                                      

32、0;                                            聯(lián)合分布列具有下列性質(zhì)：（1）；（2）.5、二維隨機(jī)變量的條件分布（了解）離散型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合

33、分布律和邊緣分布列分別為，則當(dāng)固定，且時(shí)，稱為條件下隨機(jī)變量的條件分布律.同理，有 例 題 解 析【例1】設(shè)一盒內(nèi)有2件次品，3件正品，進(jìn)行有放回的抽取和無放回的抽取.設(shè)為第一次抽取所得次品個(gè)數(shù)，為第二次抽取所取得次品個(gè)數(shù).試分別求出兩種抽取下：（1）的聯(lián)合分布律；  （2）二維隨機(jī)變量的邊緣分布律；  （3）與是否相互獨(dú)立.分析：求二維隨機(jī)變量的邊緣分布律,僅需求出概率.由二維隨機(jī)變量的邊緣分布律的定義， 將聯(lián)合分布律表中各列的概率相加，即得關(guān)于的邊緣分布律；將聯(lián)合分布律表中各行的概率相加，即得關(guān)于的邊緣分布律.關(guān)于與是否相互獨(dú)立問題可由二維離散型隨機(jī)

34、變量與相互獨(dú)立的充要條件來驗(yàn)證.解：都服從0-1分布，分別記（1）在有放回抽樣時(shí)，聯(lián)合分布律為：，可列成表，如表3-1所示.在不放回抽樣時(shí)，聯(lián)合分布律為：，可列成表，如表3-2所示.表3-1                                   

35、表3-20          1                0          1  0  19/25       6/256/25    &#

36、160;  4/25013/10       3/103/10       1/10（2）在有放回抽樣時(shí)，對(duì)表3-1，按各列、各行相加，得關(guān)于、的邊緣分布律為表3-3、表3-4.在不放回抽樣時(shí)，對(duì)表3-2，按各列、各行相加，得關(guān)于、的邊緣分布律為表3-5、表3-6.    表3-3              

37、                  表3-40         1 0       13/5      2/53/5    2/5    表3-5 &

38、#160;                              表3-60         1 0       13/5   

39、;   2/53/5    2/5（3）在有放回抽樣時(shí)，因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立；在不放回抽樣時(shí)，因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為，如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)：（1）設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，則；（3）若是隨機(jī)變量，則；對(duì)任意個(gè)隨機(jī)變量，有；（4）若相互獨(dú)立，則；對(duì)任意個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有.2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，式中級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.3、隨機(jī)變量的方差設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱為的方差.稱為的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.計(jì)算方差

40、也常用公式.方差具有如下性質(zhì)：（1）設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，則；（3）若相互獨(dú)立，則；對(duì)任意個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有；（4）的充要條件是：存在常數(shù)，使.4、幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 5、矩設(shè)是隨機(jī)變量，則稱為的階原點(diǎn)矩.如果存在，則稱為的階中心矩.設(shè)是二維隨機(jī)變量，則稱為的階混合原點(diǎn)矩；稱為的階混合中心矩.6、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1) 的數(shù)學(xué)期望；若是離散型隨機(jī)變量，則，.    （2）的方差若是離散型隨機(jī)變量，則，.7、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量的協(xié)方差為.它是1+1階混合中心矩，有計(jì)算公式：.隨機(jī)變

41、量的相關(guān)系數(shù)為.相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）；（2）存在常數(shù)，使=1，即與以概率1線性相關(guān)；（3）若獨(dú)立，則，即不相關(guān).反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality)   設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,若X與Y的方差都存在,則     例 題 解 析【例1】設(shè)隨機(jī)變量的分布律為求和.分析：可直接按離散型隨機(jī)變量的期望和方差的定義進(jìn)行計(jì)算.解: ；同理，所以. 【例2】設(shè) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且.記.證明（1）；（2）.分析：運(yùn)用隨機(jī)變量數(shù)字特征的某些性質(zhì)及一定的技巧進(jìn)行證明證明：（1），；（2）.第三章&#

42、160; 連續(xù)型隨機(jī)變量內(nèi) 容 提 要基本內(nèi)容：隨機(jī)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)，常見隨機(jī)變量的分布，數(shù)字特征，條件分布1、隨機(jī)變量 2、分布函數(shù)及其性質(zhì)分布函數(shù)的定義：設(shè)為隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，函數(shù) 稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，具有以下性質(zhì)：（1）有界性  ；（2）單調(diào)性  如果，則；（3）右連續(xù)， 即；（4）極限性  ；（5）完美性 . 3、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布如果對(duì)于隨機(jī)變量的分布函數(shù)，存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)于任一實(shí)數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.函數(shù)稱為的概率密度函數(shù).概率密度函數(shù)

43、具有以下性質(zhì)：（1）；                  （2）；（3）；   （4）；（5）如果在處連續(xù)，則.常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：（1）均勻分布：記為，概率密度為分布函數(shù)為              （2）指數(shù)分布：記為，概率密度為分布函數(shù)為   &#

44、160;                （3）正態(tài)分布：記為，概率密度為，相應(yīng)的分布函數(shù)為      當(dāng)時(shí)，即時(shí)，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.這時(shí)分別用和表示的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即具有性質(zhì)：.一般正態(tài)分布的分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)有關(guān)系：.4、隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，則的概率密度有兩種方法可求.1）定理法：若在的取值區(qū)間內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且單調(diào)時(shí)，是連續(xù)型隨機(jī)

45、變量，其概率密度為.其中是的反函數(shù).2）分布函數(shù)法：先求的分布函數(shù)然后求.疑 難 分 析分布函數(shù)的連續(xù)性定義左連續(xù)或右連續(xù)只是一種習(xí)慣。有的書籍定義分布函數(shù)左連續(xù)，但大多數(shù)書籍定義分布函數(shù)為右連續(xù). 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計(jì)算時(shí)，點(diǎn)的概率是否計(jì)算在內(nèi).對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，由于，故定義左連續(xù)或右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對(duì)于離散型隨機(jī)變量，由于，則定義左連續(xù)或右連續(xù)時(shí)值就不相同，這時(shí)，就要注意對(duì)定義左連續(xù)還是右連續(xù).例 題 解 析【例1】分析下列函數(shù)是否是分布函數(shù).若是分布函數(shù)，判斷是哪類隨機(jī)變量的分布函數(shù).（1）（2）（3）分析：可根據(jù)分布函數(shù)的定義及性質(zhì)進(jìn)行判斷.解：（1）在上單調(diào)不減且右連續(xù).同

46、時(shí)， .故是隨機(jī)變量的分布函數(shù).有的圖形可知是階梯形曲線，故是離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)；（2）由于在上單調(diào)下降，故不是隨機(jī)變量的分布函數(shù).但只要將中的改為，就滿足單調(diào)不減右連續(xù)，且，這時(shí)就是隨機(jī)變量的分布函數(shù).由可求得顯然，是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)；（3）在上單調(diào)不減且右連續(xù)，且，是隨機(jī)變量的分布函數(shù).但在和處不可導(dǎo)，故不存在密度函數(shù)，使得.同時(shí)，的圖形也不是階梯形曲線，因而既非連續(xù)型也非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù). 【例2】盒中裝有大小相等的球10個(gè)，編號(hào)分別為0、1、2、9.從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情況.試定義一個(gè)隨機(jī)變量，求其分布律和分布函數(shù)

47、.分析：“任取1球的號(hào)碼”是隨機(jī)變量，它隨著試驗(yàn)的不同結(jié)果而取不同的值.根據(jù)號(hào)碼是“小于5”、“等于5”、“大于5”的三種情況，可定義該隨機(jī)變量的取值.進(jìn)一步，可由隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)的定義，求出其分布律與分布函數(shù).解:分別用表示試驗(yàn)的三種結(jié)果“小于5”、“等于5”、“大于5”，這時(shí)試驗(yàn)的樣本空間為，定義隨機(jī)變量為：，取每個(gè)值的概率為：，；故的分布律為(表2-4)：     表2-4          0    

48、0;     1          2                                    當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)

49、，；當(dāng)時(shí)，；由此求得分布函數(shù)為：. 【例3】設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，試求：（1）常數(shù)；（2）；（3）的分布函數(shù).分析：由密度函數(shù)的性質(zhì)可求得常數(shù)；對(duì)密度函數(shù)在上積分，即得；根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義可求的分布函數(shù).解：（1）由得：                 ； （2）；（3）當(dāng)時(shí)，是不可能事件，所以；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，的分布函數(shù)為： . 【例4】設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，

50、其概率密度為 ，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，以表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出的分布律，并求.分析：顯然，為隨機(jī)變量，取值為0、1、2、3、4、5，且.由及分布律的定義，可求得的分布律，進(jìn)而求.解：的取值為0、1、2、3、4、5，.由題意得：，故的分布律為：，即(表2-5):表2-50            1          &

51、#160;  2              3       5   所以，.【例5】某單位招聘2500人，按考試成績從高分到低分依次錄用，共有10000人報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者的成績，已知90分以上有359人，60分以下有1151人，問被錄用者中最低分為多少？分析：已知成績，但不知的值，所以，本題的關(guān)鍵是求，再進(jìn)一步根據(jù)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化方法進(jìn)行求解.解：根據(jù)題意：，故

52、0;                ，而，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得：                                 

53、;     （1）同樣，            ，而，通過反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得：                              

54、;          （2）由（1）、（2）兩式解得：，所以；已知錄用率為，設(shè)被錄用者中最低分為，則，而反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得：，解得：，故：被錄用者中最低分為79分.【例6】設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度.    分析：由于函數(shù)在上單調(diào)增加，且可導(dǎo)，故可按公式法求的概率密度.解：由知，所以的取值區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有反函數(shù)，從而，由此得隨機(jī)變量的概率密度為：. 【例7】已知，求的概率密度.    分析：根據(jù)分布函數(shù)

55、的定義，先求的分布函數(shù)，然后對(duì)其求導(dǎo)，即可得到的概率密度.解：若，則是不可能事件，因而，若，則有，從而，的概率密度為：. 3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù),使得二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)有  ，則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的聯(lián)合密度函數(shù)（或概率密度函數(shù)）.聯(lián)合密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）非負(fù)性  對(duì)一切實(shí)數(shù)，有；（2）規(guī)范性  ；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在處連續(xù)，則  .4、二維隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)為二維隨機(jī)變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣（邊際）分布函數(shù).當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，則稱分別為關(guān)于

56、和關(guān)于的邊緣分布列.當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣密度函數(shù). 5、二維隨機(jī)變量的條件分布（了解）連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)分別為：.則當(dāng)時(shí)，在和的連續(xù)點(diǎn)處，在條件下，的條件概率密度函數(shù)為.同理，                  . 6、隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)及分別是的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).如果對(duì)任何實(shí)數(shù)有則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.設(shè)為二維連

57、續(xù)型隨機(jī)變量，與相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)任何實(shí)數(shù)，有.【例1】設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為  試求：（1）常數(shù)；（2）；（3）與是否相互獨(dú)立.分析：由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)確定常數(shù)，由邊緣密度函數(shù)的定義：計(jì)算廣義積分得.關(guān)于與是否相互獨(dú)立的問題，可用二維連續(xù)型隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件來驗(yàn)證.解: （1）因?yàn)橐虼?；?）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)為其它情況時(shí)，所以；同理    ；（3）      則有，因此，與相互獨(dú)立.【例2】設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求的分布函數(shù).分析：根據(jù)密度函數(shù)的定義可以看出分布函數(shù)與所在的區(qū)域有

58、關(guān)，可分區(qū)域分別進(jìn)行討論.解：當(dāng)時(shí)，于是；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以 【例3】隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求條件下的條件分布密度.分析：通過的聯(lián)合密度和邊緣密度函數(shù)，來求在條件下條件分布密度.解：當(dāng)時(shí)，有；故 【例4】隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求.分析：先求得邊緣密度函數(shù)，再根據(jù)條件概率的定義進(jìn)行求解.解：因?yàn)楣视炙?#160;          . 【例5】設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，有求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).分析：可按分布函數(shù)的定義先求得，再進(jìn)一步求得概率密度函

59、數(shù)；在計(jì)算累次積分時(shí)要分各種情況進(jìn)行討論.解：，積分僅當(dāng)時(shí)才不為0，考慮的區(qū)域與的取值，分四種情況計(jì)算（如圖3-1）.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；圖 3-1   當(dāng)時(shí)，；所以  7、兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，是的函數(shù)，則的分布函數(shù)為.（1）的分布若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，則的概率函數(shù)為：.    （2）的分布若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，則的概率函數(shù)為：. 8最大值與最小值的分布   則9數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布  （1）正態(tài)分布： （2

60、）： （3）：  （4）： 疑 難 分 析1、事件表示事件與的積事件，為什么不一定等于？如同僅當(dāng)事件相互獨(dú)立時(shí)，才有一樣，這里依乘法原理.只有事件與相互獨(dú)立時(shí)，才有，因?yàn)?2、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布及條件分布之間存在什么樣的關(guān)系？由邊緣分布與條件分布的定義與公式知，聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，因而也唯一確定條件分布.反之，邊緣分布與條件分布都不能唯一確定聯(lián)合分布.但由知，一個(gè)條件分布和它對(duì)應(yīng)的邊緣分布，能唯一確定聯(lián)合分布.但是，如果相互獨(dú)立，則，即.說明當(dāng)獨(dú)立時(shí)，邊緣分布也唯一確定聯(lián)合分布，從而條件分布也唯一確定聯(lián)合分布.3、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念與兩

61、個(gè)事件相互獨(dú)立是否相同？為什么？兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，是指組成二維隨機(jī)變量的兩個(gè)分量中一個(gè)分量的取值不受另一個(gè)分量取值的影響，滿足.而兩個(gè)事件的獨(dú)立性，是指一個(gè)事件的發(fā)生不受另一個(gè)事件發(fā)生的影響，故有.兩者可以說不是一個(gè)問題.但是，組成二維隨機(jī)變量的兩個(gè)分量是同一試驗(yàn)的樣本空間上的兩個(gè)一維隨機(jī)變量，而也是一個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的兩個(gè)事件.因此，若把“”、“”看作兩個(gè)事件，那么兩者的意義近乎一致，從而獨(dú)立性的定義幾乎是相同的.4、隨機(jī)變量的數(shù)字特征在概率論中有什么意義？知道一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，就掌握了這個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.但求得一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是不容易的，而且往往也沒有這個(gè)必要.隨機(jī)變

62、量的數(shù)字特征則比較簡單易求，也能滿足我們研究分析具體問題的需要，所以在概率論中很多的應(yīng)用，同時(shí)也刻畫了隨機(jī)變量的某些特征，有重要的實(shí)際意義.例如，數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均值，表現(xiàn)為具體問題中的平均長度、平均時(shí)間、平均成績、期望利潤、期望成本等；方差反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度；偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)則反映了隨機(jī)變量取值的對(duì)稱性和集中性.因此，在不同的問題上考察不同的數(shù)字特征，可以簡單而切實(shí)地解決我們面臨的實(shí)際問題.5、在數(shù)學(xué)期望定義中為什么要求級(jí)數(shù)和廣義積分絕對(duì)收斂？首先，數(shù)學(xué)期望是一個(gè)有限值；其次，數(shù)學(xué)期望反映隨機(jī)變量取值的平均值.因此，對(duì)級(jí)數(shù)和廣義積分來說，絕對(duì)收斂保證了值的存在，且對(duì)

63、級(jí)數(shù)來說，又與項(xiàng)的次序無關(guān)，從而更便于運(yùn)算求值.而由于連續(xù)型隨機(jī)變量可以離散化，從而廣義積分與無窮級(jí)數(shù)有同樣的意義.要求級(jí)數(shù)和廣義積分絕對(duì)收斂是為了保證數(shù)學(xué)期望的存在與求出.6、相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量和之間的什么關(guān)系？相關(guān)系數(shù)是用隨機(jī)變量和的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差來定義的，它反映了隨機(jī)變量和之間的相關(guān)程度.當(dāng)時(shí)，稱與依概率1線性相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān)；當(dāng)時(shí)，又分為強(qiáng)相關(guān)與弱相關(guān).7、兩個(gè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立和不相關(guān)是一種什么樣的關(guān)系？（1）若、相互獨(dú)立，則、不相關(guān).因?yàn)椤ⅹ?dú)立，則，故，從而，所以、不相關(guān).（2）若、不相關(guān)，則、不一定獨(dú)立.如： 因?yàn)?，知、不相關(guān).但，,知、不獨(dú)立.（3）若、相關(guān)，則、一定不獨(dú)立.可由反證法說明.（4）若、不相關(guān)，則、不一定不相關(guān).因?yàn)?、不?dú)立，但若時(shí)，可以有，從而可以有、不相關(guān).    但是，也有特殊情況，如服從二維正態(tài)分布