極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程

1、一、坐標(biāo)系1、數(shù)軸它使直線上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定2、平面直角坐標(biāo)系在平面上，當(dāng)取定兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系。它使平面上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)對(duì)x,y確定。3、空間直角坐標(biāo)系在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)取定這三條直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系。它使空間上任一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)對(duì)x,y,z確a£o二、平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換Xx,(0)定義：設(shè)Px,y是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：,')的作用下，yy(0).點(diǎn)Px,y對(duì)應(yīng)到點(diǎn)

2、P'x',y'，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。三.例題講解例1在平面直角坐標(biāo)系中，求以下方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過丁伸縮變換后的圖形。12x+3y=0;2x2+y2=1三、極坐標(biāo)系1、極坐標(biāo)系的建立：(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,自點(diǎn)O引一條射線OX同時(shí)確定一個(gè)單位長度和計(jì)算角度的正方向通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。其中O稱為極點(diǎn)，射線OX稱為極軸。2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,用表示線段OM的長度，用表示從OX到OM的角度，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)，就叫做M的極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：由

3、極徑的意義可知>0;當(dāng)極角的取值范圍是0,2)時(shí)，平面上的點(diǎn)，建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.們約定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)是極徑=0,極角是任意角.3、負(fù)極徑的規(guī)定在極坐標(biāo)系中，極徑允許取負(fù)值，極角也可以去任意的正角或負(fù)角當(dāng)0時(shí)，點(diǎn)“，位于極角終邊的反向延長線上，且OM二。M,也可以表示為(，2k)或(，(2k1)(kz)4、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1寫出以下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)A4,0B2CDEFG規(guī)定：極點(diǎn)的極坐標(biāo)是=0,可以取任意角。變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系里描出以下各點(diǎn)A3,0B6,2C3,D5,上E3,5_F4,G6,5-2363例2在極坐標(biāo)系中，(1) 已知兩點(diǎn)P55,5，鼠1,),求線段PQ的長度；44(2) 已知M

4、的極坐標(biāo)為，且=§，R，說明滿足上述條件的點(diǎn)M的位置。變式訓(xùn)練一557.1、假設(shè)ABC的的三個(gè)頂點(diǎn)為A(5,)，B(8,),C(3,工判斷二角形的形狀.2662、假設(shè)A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為(1,i),(2,2)求AB的長以及AOB的面積。為極點(diǎn)例3已知Q，分別按以下條件求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)。(1) P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)；(2) P是點(diǎn)Q關(guān)于直線一的對(duì)稱點(diǎn)；2(3) P是點(diǎn)Q關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)。變式訓(xùn)練1.在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)(8,1)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)是()5 5A(8,),B(8,),C(8,),D(8,)6 66652在極坐標(biāo)系中，如果等邊ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A(2,),B(2

5、,一),求第二個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)。44四、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位。平面內(nèi)任意一點(diǎn)P的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x,y)和(,),則由三角函數(shù)的定義可以得到如下兩組公式：222xcosxyysintan-(x0)x說明1上述公式即為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式2通常情況下，將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，取>0,0<<2o3化公式的三個(gè)前提條件1 .極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；2 .極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；3 .兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用極坐標(biāo)。例11把點(diǎn)M的極坐標(biāo)(8,紅)化成直角坐標(biāo)；2

6、把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(J6,J2)化成3變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系中，已知A(2,-),B(2,),求A,B兩點(diǎn)的距離66例2假設(shè)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系.一，.，一5、(1)已知A的極坐標(biāo)(4,),求它的直角坐標(biāo),3(2)已知點(diǎn)B和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2,2)和(0,15)求它們的極坐標(biāo).(>0,0W<2)變式訓(xùn)練把以下個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定>0,0w<2)A(1,1),B(0,2),C(3,4),D(3,4)2例3在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(6,忍)，B(6,3-).求A,B中點(diǎn)的極坐標(biāo).變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn) M (2,-),N(2,0),

7、P(23,).判斷 M ,N,P6三點(diǎn)是否在一條直線上五、常用曲線的極坐標(biāo)方程1、假設(shè)直線l經(jīng)過M( 0, 0)且極軸到此直線的角為，求直線l的極坐標(biāo)方程。變式訓(xùn)練：直線l經(jīng)過M (3,)且該直線到極軸所成角為 一，求此直線l的極坐標(biāo)方程。242、假設(shè)圓心的坐標(biāo)為 M (0),圓的半徑為r ,求圓的方程。運(yùn)用此結(jié)果可以推出哪些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。3、在圓心的極坐標(biāo)為A(4,0),半徑為4的圓中，求過極點(diǎn)O的弦的中點(diǎn)的軌跡。、穩(wěn)固與練習(xí)在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C(3,)，半徑r361求圓C的極坐標(biāo)方程。2假設(shè)Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)，P在OQ的延長線上，且OQ:OP3:2,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

8、1、圓錐曲線的統(tǒng)一方程設(shè)定點(diǎn)的距離為P,求到定點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程分析：建系設(shè)點(diǎn)列出等式用極坐標(biāo)表示上述等式，并化簡得極坐標(biāo)方程說明：為便于表示距離,e表示離心率，2、例題講解取F為極點(diǎn)，垂直于定直線l的方向?yàn)闃O軸的正方向。P表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。例1.2003年10月1517日，我國自主研制的神舟五號(hào)載人航天飛船成功發(fā)射并按預(yù)定方案安全、準(zhǔn)確的返回地球，它的運(yùn)行軌道先是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，橢圓的近地點(diǎn)離地面最近的點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)距離地面分別為200km和350km,然后進(jìn)入距地面約球半徑取6378km，試寫出神舟五號(hào)航天飛船運(yùn)行的橢圓軌道的極

9、坐標(biāo)方程。343km的圓形軌道。假設(shè)地例2.求證：過拋物線的焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù)。變式訓(xùn)練設(shè)P、Q是雙曲線2x2a241(0ab)上的兩點(diǎn)，假設(shè)OPOQob21求證：2|OP|21|OQ|2為定值;三、穩(wěn)固與練習(xí)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F。以F為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標(biāo)方程;2斜角。過取F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)|AB|=16,運(yùn)用拋物線的極坐標(biāo)方程，求直線l的傾基礎(chǔ)訓(xùn)練直線cos()m(kz）的斜率是2.極坐標(biāo)方程表示的曲線是sin3.曲線sin4sin(0,02）的交點(diǎn)坐標(biāo)4.在極坐標(biāo)系中與圓4sin相切的一條直線方程為5.A、sin2B、cos2C、cos4D、cos橢圓54cos二、講解新課：的長軸長例1.求曲線cos10關(guān)于直線一對(duì)稱的曲線方程。4例2.求以下兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)。