高三文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、蘭州一中20112012-1學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試卷（文）注意：該試卷總分 150分，考1間120分鐘，交卷時(shí)只交答題卡.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把答案直接涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合 A =-1,1, B=xw R|1 <2x <4,則 AB=（）A. 0,2）B. 1C. -1,1D. 0,12.下列命題中錯(cuò)誤的是（）A .如果平面口 1平面口，那么平面Q內(nèi)一定存在直線平行于平面 口B.如果平面c（不垂直于平面 P ,那么平面豆內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 口C.如果平面a _L平面?，平面

2、P _L平面可，a c P =1 ,那么直線l 1平面,/D.如果平面a _L平面P ,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面 P3 .已知an為等差數(shù)列，其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和， *.n w N ，則Si。的值為（）A. -110B. -90C. 90D. 1104 .若實(shí)數(shù)a, b滿足a之0,b之0,且ab = 0,則稱a與b互補(bǔ)，記中（a,b）= Ja2 +b2 a-b, 那么9（a, b） =0是a與b互補(bǔ)的（）A .充分非必要條件B .必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件5 .若a,bw R ,且ab0 ,則下列不等式中，恒成立的是（

3、）A. a2+b2 a2abB . a+b 之 2J0bC.D.b旦一2 a b0<x<V26 .已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy上的區(qū)域D由不等式組y <2 給定。若M （x, y）為D、x M 72y的最大值為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為 詆1 ,則z=OM OAA. 3B. 4C. 3亞7.函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)=f(2x),且當(dāng) xW(-«,1)時(shí)，(x-1)f/(x) <0 ,設(shè)2 = f (0), b = f(1),c = f(3),則2A . a<b<c B. c <b < aC. c <a <bn8

4、. y =sin(2x+-)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移后所得的圖像關(guān)于點(diǎn)D. b <c < a(,0)中心對(duì)稱(12A,向左平移三個(gè)單位12C.向右平移二個(gè)單位12B.向左平移£個(gè)單位6D.向右平移二個(gè)單位6致是(1o(D)(C)(B)1, 2, 3, 4, 5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中取出 4個(gè)，則取出的編號(hào)互不相同的概率為5A.212B.一72x11.已知 Fi(c,0), F2(c,0)為橢圓 丁ab2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且 PF1 -PF2 = c2,一、1 x-、9 .已知f(X)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)XA0時(shí)，f (X) = (-) +1 ,則f(X)的反函

5、數(shù)的圖像大f A)10 .有編號(hào)分別為( )8D.21則此橢圓的離心率的取值范圍是A. 力3 、2C.一,一32、2D-(0,y12 .已知球的直徑SC= 4, A, B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=J3, /ASC = /BSC = 301則棱錐S-ABC的體積為A. 19B.石C. 273D. 3近二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng) 位置上.13 .已知 |a|=|b|=2 , (a + 2b)(ab) = 2 ,則 a 與 b 的夾角為 .,.1一 ，八二、,cos2：14 .已知 sinot = +cosu ,且 o( w (0,一),則的值為 .22

6、二sin(-)215 .若一個(gè)圓的圓心在拋物線 y =Yx的焦點(diǎn)處，且此圓與直線x+y-1 = 0相切，則這個(gè)圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程是.16 .函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若X3X2W A且f(x1)= f(x2)時(shí)總有X =刈，則稱f(x)為單 函數(shù).例如，函數(shù) f (x) = 2x+1(xw R)是單函數(shù).下列命題：函數(shù)f (x) =x2(x W R)是單函數(shù)；若 f (x)為單函數(shù)，Xi, x2 W A 且 Xi 豐 x2 則 f (Xi) ¥ f (x2)；若f: AT B為單函數(shù)，則對(duì)于任意 bB,它至多有一個(gè)原象；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是該區(qū)間上的單函數(shù).

7、其中的真命題是 .(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程.17 .(本小題滿分 10分)在 MBC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a,b,c, a = 2石，A B Ctan+tan =4, 2sin BcosC =sin A,求 A, B及b,c.2218 .本本小題滿分12分)如圖，已知正三棱柱 ABC - ABiG的各棱長(zhǎng)都是4, E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合.(I)當(dāng) CF =1 時(shí)，求證：EF _L A1c ；(II)設(shè)二面角C -AF -E的大小為0 ,求tan9的最小值.19 .本本小題滿分12分)某

8、會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同，假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為 p1 ,壽命為2年以上的概率為 p2,從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換.2只燈泡的概率;(I)在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換(II)在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率;(ni)當(dāng)p1 =0.8, p2 =0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率(結(jié)果只保留兩個(gè)有效數(shù)字). 1.20 .本本小題滿分12分)已知關(guān)于x的函數(shù)f(x) = x +bx+c

9、x+bc,其導(dǎo)函數(shù)f (x).34(I)如果函數(shù) f (x)在x=1處有極值-,試確定b、c的值；3(n)設(shè)當(dāng)xw (0,1)時(shí)，函數(shù)y = f (x) c(x + b)圖象上任一點(diǎn)P處的切線斜率為k,若kwi, 求實(shí)數(shù)b的取值范圍.a 1anan 121 .(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,若Sn = 2an + n ,且bn =一數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n.(I)求證：an 1為等比數(shù)列;(n)求 Tn.22_ x yE : -2 2" = 1(a>0, b>0)上一點(diǎn), a bM、N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線 PM、7 .，1PN的斜率之積為5

10、22 .(本小題滿分12分)P(x0,y0)(x0 # ±a)是雙曲線(I)求雙曲線的離心率;E于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C(II)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線T r T為雙曲線上一點(diǎn)，滿足 OC =九OA +OB ,求九的值.數(shù)學(xué)試卷（文）參考答案、1.B 2.、13. 314.3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C11422-15.(x 1) y =216.9. A 10. D 11.C 12. B、17.由A B CC Ctan。B+tanC=4得 cotC+tanC=4,C . C cos sin -22.C sin 2cosCsinC 12，又

11、CW(0,n),1二 4.CCsin cos22即 sin(B-C) =0 ,由 2sin BcosC =sin A得 2sin BcosB =sin(B +C),B=C,nB =C = ，A -二-(B C)=6由正弦定理sin A sin B sinCsin B 彳導(dǎo)b = c = asin A1= 2、32 =2.3-218.解法一：過(guò)E作EN _L AC于N,連結(jié)EF.（I）如圖1,連結(jié)NF、AG,由直棱柱的性質(zhì)知,底面ABC，側(cè)面 AC .又底面ABC。側(cè)面A1C =AC,且ENU底面ABC,所以EN _L側(cè)面AC , NF是EF在側(cè)面AC內(nèi)的射影,在 RUCNE 中，CN =CEc

12、os60, =1，則由 更CC1CNCA1一,得 NF/AC1 , 4又ACi _L A1C ,故NF -L AiC ,由三垂線定理知EF AiC .(II)如圖2,連結(jié)AF,過(guò)N作NM -L AF于M,連結(jié)ME,由（I）知EN _L側(cè)面AC ,根據(jù)三垂線定理得 EM _L AF ,所以NEMN是二面角CAF E的平面角，即EMN =9 .設(shè) /FAC =a,則0 °<a <45 :在 RtACNE 中，NE = EC sin 60 '=向,在 RT4AMN 中，MN =AN sina=3sinu,故 tanB=-NEMN3sin :又0< ,-, 0 &l

13、t;sin a < ,故當(dāng)sin a =叵,即當(dāng)a =45,時(shí)，tan6達(dá)到最小值,此時(shí)F與Ci重合.解法二：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0), A(0,0,4), E( . 3,3,0),F(0,4,1),于是羨=(0, -4,4),EF=(-73,1,1).CA EF =(0,4) (J3,1,1)=0 4+4 = 0,故 EF _ AC.(II)設(shè) CF =Z(0<4)平面 AEF 的一個(gè)法向量為 m =(x, y,z),則由(I)得 F(0,4,九),AE =(*3,0), AF =(0,4, X),于

14、是由m _L AE,m _L AF可得m AE =0,3x 3y =0,即<m AF =0, 4y z =0.取 m =( .3 1,；,4).又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為n =(1,0,0)，于是由日為銳角可得MF16tan -3,sin 二-2. 2 4荊J1由0 九E4,得丁1.至一，即tan日之42 2 4故當(dāng)九二4,即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，tanH取得最小值 5P1 ,需要更換2只燈泡的319.解：（I）在第一次燈泡更換工作中，不需要更換燈泡的概率為概率為 C；Pi3(1 - pi)2.(II)對(duì)該盞燈來(lái)說(shuō)，在第一、二次都更換了燈泡的概率為(1-P1)2;在第一

15、次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為pi(1- P2),故所求概率為P = (1 - Pl)2 + Pl(1 - P2).(m)至少換4只燈泡包括換4只和換5只兩種情況.換5只的概率為p5 (其中P為(II)中所求，下同)，換4只的概率為C5p4(1-p),故至少換4只燈泡的概率為 p3 = p5 +c5 p4(i - p).一.、2._2_又當(dāng) pi =0.8, p2 =0.3時(shí)，p =(1-pi) +pi(1-p2) = 0.2 +0.8M0.7 = 0.6. 54J.p3=0.6 +5x0.6 m0.4%0.34.即滿2年至少需要換4只燈泡的概率為0.34.,. . . .2 一2

16、0.解：f'(x) =x +2bx+c4(I)因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在x=1處有極值43f'(1) = -1 2b c=0b =1 - b - -1所以14，解得i 或4.f(1) = -b c bcc = -1c = 333(i)當(dāng) b =i,c = _i 時(shí)，f'(x) = (x1)2 <0,所以f (x)在R上單調(diào)遞減，不存在極值.(ii)當(dāng) b = 1,c = 3時(shí)，f'(x) = (x+3)(x1),xW(3,1)時(shí)，f'(x)A0, f(x)單調(diào)遞增；xW (1,")時(shí)，f'(x)<0, f (x)單調(diào)遞減；所以f

17、(x)在x =1處存在極大值，符合題意.綜上所述，滿足條件的值為b = -1,c =3.1 o c(n)當(dāng) x = (0,1)時(shí)，函數(shù) y= f(x)c(x+b) =&x3+bx2, 2_設(shè)圖象上任意一點(diǎn) P(x0,y°),則 k=y'|xf = x0+2bx0,x0u (0,1),2因?yàn)閗 Ei,所以對(duì)任意x0 = (0,1) , -x0 +2bx0 <1恒成立，一x2 1所以對(duì)任意Xo W (0,1),不等式b <一 恒成立.2x0X2 111設(shè)g(x) =(x+),故g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,2x2x所以對(duì)任意 x°W(0,1),

18、 g(xo) Ag(1)=1，所以 bW1.Sn =2an n,/日21 .解：由士(n 之2),信 an 1 =20,一1),Sn2a.(n-1),又因?yàn)?S1 =2a1 +1 ,所以 a = 1 1 = 2#0,所以an -1是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹U,所以 an -1 = -2 2n,=-2n.(II)由(I)知，bn- 2n11(1 -2n)(1 -2n 1) - 2n 1 -1 - 2n -1故 Tn "(12 -122 -1) (22 -1123 -112n -112n 1 -1)-1.222222 .解：丁點(diǎn) P(x0, y0 )(x0 # ±a)在雙曲線 - - 4 = 1 上，空-白=1.2222 一.c =a +b =5b ,則a ba b由題意0- =L 可得a2 -5b2,x° - a x0 a 52« 2 _ «卜2(II)由, ,'得4x2 10cx + 35b2 = 0.y =x -c,+ 5cX +x2 =,設(shè)慶漢"。，B(x2, y2),則35bx1 x2 =.L4九 d / xc