高數(shù)習(xí)題課（課堂PPT）

1、.1習(xí)習(xí) 題題 課課.2一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念（三）連續(xù)的概念.3函函 數(shù)數(shù)的定義的定義函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)（一）函數(shù)（一）函數(shù).41.1.函數(shù)的定義函數(shù)的定義函數(shù)的分類函數(shù)的分類2.2.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期有界、單調(diào)、奇偶、周期3.3.反函數(shù)反函數(shù)4.4.隱函數(shù)隱函數(shù)5.5.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪、指、反、對、

2、三冪、指、反、對、三6.6.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)7.7.初等函數(shù)初等函數(shù).5數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfx )(limAxfxx )(lim0左右極限左右極限極限存在的極限存在的充要條件充要條件無窮大無窮大 )(limxf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小0)(lim xf判定極限判定極限存在的準(zhǔn)則存在的準(zhǔn)則兩個重要兩個重要極限極限無窮小的比較無窮小的比較等價無窮小等價無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)唯一性唯一性（二）極限（二）極限.61 1、極限的定義：、極限的定義：定義定義N 定義定義 定定義義X

3、單側(cè)極限單側(cè)極限2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大無窮??；無窮小； 無窮大；無窮大； 無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì)3 3、極限的性質(zhì)、極限的性質(zhì)四則運算、復(fù)合函數(shù)的極限四則運算、復(fù)合函數(shù)的極限極限存在的條件極限存在的條件.74 4、求極限的常用方法、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.5 5、判定極限存在

4、的準(zhǔn)則、判定極限存在的準(zhǔn)則夾逼定理、單調(diào)有界原理夾逼定理、單調(diào)有界原理.86 6、兩個重要極限、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx(1)1sinlim0 xxx; 1sinlim 某某過過程程(2)exxx )11(lim(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim.)1(lim1e 某過程某過程7 7、無窮小的比較、無窮小的比較8 8、等價無窮小的替換性質(zhì)、等價無窮小的替換性質(zhì)9 9、極限的唯一性、局部有界性、保號性、極限的唯一性、局部有界性、保號性.9（三）連續(xù)（三）連續(xù)連連續(xù)續(xù)定定義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連連續(xù)續(xù)定定義義0lim0 yx)

5、()(lim00 xfxfxx 左右連續(xù)左右連續(xù)連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件間斷點定義間斷點定義 振蕩間斷點振蕩間斷點 無窮間斷點無窮間斷點 跳躍間斷點跳躍間斷點 可去間斷點可去間斷點第一類第一類 第二類第二類在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)運算性質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性非初等函數(shù)非初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì).101 1、連續(xù)的定義、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件連續(xù)的充要條件 閉區(qū)間的連續(xù)性閉區(qū)間的連續(xù)性2 2、間斷點的定義、間斷點的定義間斷點的分類間斷點的分類第一類、第二類第一類、第二類3 3、初等函數(shù)的連續(xù)

6、性、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運算性質(zhì)連續(xù)性的運算性質(zhì) 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性4 4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點定理最值定理、有界性定理、介值定理、零點定理.11二、典型例題二、典型例題例例1 1).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中設(shè)設(shè) 解解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得.12,)1(2)1()1

7、1(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(. 1111)( xxxxf.13A、數(shù)列極限的求法、數(shù)列極限的求法利用數(shù)列極限的四則運算法則、性質(zhì)以及已知極限求極限。1.nn 若數(shù)列通項的分子、分母都是關(guān)于 的多項式，則用分子 分母中 的最高次項的冪函數(shù)數(shù)同除分子分母，然后由四 則運算法則求極限。例例5 5 求下列數(shù)列極限：23225lim353nnnnnn(1) ；2221lim534nnnnn(2) ；21lim32nnnn(3) .14解解2323125lim

8、03531nnnnnnn(1) 原式 ；221122lim3455nnnnn(2) 原式 ；211lim1321nnnn(3) 原式 .152、若通項中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 極限的方法。22lim(1) 求 。nnnn例例6 6對通項式有理化得222222(1)(1)lim1nnnnnnnnnn原式2221111limlim211111nnnnnnnnn 。解解.163、若所求極限是無窮項之和，通常先利用等差或等比數(shù)列的 前n項和公式求和，再求極限。231111lim 1( 1)2222 求 nnn 例例7 7解解11112aqn 先求由，所構(gòu)成的等比數(shù)列的前項和，再求極

9、限，112lim112原式nn 212lim1 ( 1)332nnn .174、利用兩邊夾逼定理求數(shù)列極限，方法是將極限式中的每一項 放大或縮小，并使放大、縮小后的數(shù)列具有相同的極限。222lim2 求 nnnnnnnn例例8 8解解2222(1,2, ),(1,2, )nnnnininninnnin因為222222nnnnnnnnnnnnnn所以 2222211limlim1limlim111nnnnnnnnnnn而 ， 222lim1.2nnnnnnnn故 .185.11lim 1e 若通項式為形如形式的不定式，一般采用重要極限 求極限。nnn例例9 9 求下列極限：31lim 11nnn

10、(1) ；3lim.1nnnn(2) 解解1lim 1e.nnn用重要極限求極限1 21lim 11(1) 原式nnn 1211lim 1lim 1e11 ；nnnnn.1921 1222lim 1lim111nnnnnn (2) 原式21122222lim11e .11nnnn 五、函數(shù)極限的求法五、函數(shù)極限的求法 函數(shù)的極限比數(shù)列的極限復(fù)雜，原因有兩個，一是自變量的變化過程多；二是函數(shù)式復(fù)雜；因此，求函數(shù)的極限首先要觀察自變量的變化和函數(shù)表達(dá)式，然后選擇適當(dāng)方法.一般地，函數(shù)極限有以下幾種求法：.20 數(shù)列極限的求法也適合求函數(shù)的極限. 000lim. 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限，即若

11、在 處連續(xù)，則有 xxf xxxf xf x241lim.54 求 xxxx例例1 10 0解解21454xxxx因為函數(shù)在處連續(xù)， 2411lim4.854xxfxx所以 若求分段函數(shù)在分界點處的極限，則利用極限存在的充 要條件求極限。即函數(shù)在某一點極限存在的充要條件是 函數(shù)在該點的左右極限存在且相等。.21例例1111 已知 213231113limlim.sin13xxxxxf xxxf xf xxx，求，解解 1xf x在處，求的左右極限 211limlim230 xxf xxx ， 11limlim10 xxf xx ， 1lim0 xf x所以 ； 3xf x在處，求的左右極限 3

12、3limlim12xxf xx ， 33limlim sin1sin3 1xxf xx ， 3limxf x所以 不存在. 33limlimxxf xf x因為 ，.220100sinlim111111lim 1e 利用兩個重要極限求函數(shù)的極限。即若所求極限為形如 形式的不定式，并且極限式中含有三角函數(shù)，一般通 過三角函數(shù)的恒等變換再利用重要極限 求 極限；若所求極限為形如 形式的不定式，并且所求函 數(shù)易轉(zhuǎn)化為 或 的形式，通常采用 求極限。xuuxxxxuux.230sin7lim.arcsin5 求 xxx例例1 12 2解解00因為已知極限為形式不定式，且含有三角函數(shù)，則有0sin757

13、lim7arcsin55xxxxxxx原式00sin arctan5sin777limlim.7arcsin555xxxxxx1cos10lim cos. 求 xxx例例1313解解101lim 1exxx因為所求極限為形式不定式，由得1cos10lim 1cos1e.xxx原式.24 利用無窮小量的特性以及無窮小量與無窮大量的關(guān)系求極 限。即無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；有限個無 窮小量之積仍是無窮小量；有限個無窮小量之代數(shù)和仍為 無窮小量等。無窮小量與無窮大量的關(guān)系是互為倒數(shù)。例例1414 求下列函數(shù)的極限：201limsincos(1) ；xxxx22223lim4(2) .xxx

14、x解解(1) 利用無窮小量的性質(zhì)求該極限，201limsincos0所以 ；xxxx210sincos因為當(dāng)時， ，均是無窮小量，而為有界變量，xxxx.25(2) 利用無窮大量與無窮小量的關(guān)系求該極限。22223540因為當(dāng)時，xxxx2224lim023所以 ， xxxx22223lim4所以 ，極限不存在。xxxx xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x常用等價無窮小: .26 220210202352 討論 在，處的連 續(xù)性.xexf xxxxxxxx 例例1 15 5解解02由已知，均

15、是分界點.xx 00000limlim 21 limlim 21101在處，而，xxxxxxf xef xxf 0所以在處連續(xù)；f xx 222222limlim 215limlim353在處， ，xxxxxf xxf xxx 2lim2.所以極限不存在，故在處不連續(xù)xf xf xx.27 1sin000.1sin0 討論當(dāng) ， 為何值時，函數(shù) ，在處連續(xù)abxxxf xaxxxbxx例例1616解解0在分界點處x 000011limlimsin1limlimsin0.， ，xxxxf xxf xxbbxxfa 000limlim0 若使在處連續(xù)，必須使 成立，xxf xxf xf xf110

16、.即，所以當(dāng)時，函數(shù)在處連續(xù)baabx .28例例2 求下列極限求下列極限)11()311)(211(lim222nn nnnnn1134322321lim 原原式式nnn1lim21 21 P59 5(2)1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnnxxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim22原式原式xxnn 11lim12x 11.2921lim nnnnn 121lim2)1(lim nnnnnnn原原式式 202212 1lim21 xnxxxnx1)1()1()1(lim21 xxxxnx原式原式.301)2()1()1(lim121 xxxnxnnxnx)

17、2()1(lim121 nxxxnxnn12)1( nn2)1( nnP59 5(3)0( ,2cos2cos2coslim2 xxxxnnnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim2 原式原式nnnnxxxxx2sin22sin22cos4cos2coslim211 .31nnnxx2sin2sinlim nnnxxxx2sin2limsin xxsin 例例3ccxcxxx，求，求設(shè)設(shè)4lim 解一解一xxxxcxccxcx 21limlim ccccxxcxccxc2121lim22.32ce2 4 2ln22 c2ln c得得解二解二xxxxxxcxccxcx

18、 11limlimccee ce2 例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求.33解解解法討論解法討論則則設(shè)設(shè),)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge )()(1ln(xfxf .)()(limxfxge 310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx .34301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例

19、例5求極限求極限 nnnnnnnnn2222211lim.35 分析分析 要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮1)()1(22 nnnnnnnn 1)1(lim2 nnnnn但但21)(lim2 nnnnn不能這樣用夾逼定理，不能這樣用夾逼定理，解解注意到分子成等差數(shù)列注意到分子成等差數(shù)列 nnnnnn2)()2()1(1)()2()1(2 nnnnn.36)1(2)13()(2)13(22 nnnnnnn 即即23)(2)13(lim2 nnnnn23)1(2)13(lim2 nnnn232211lim222 nnnnnnnnn.37例例10 求下列極限求下列極限xxx1)1(l

20、im0 xexx1lim)1ln(0 )1ln(1()1ln(xex xxx)1ln(lim0 xx 1)1( xxxexxsinsinlim0 xxeexxxxsin1limsinsin0 1 .38xxx2sintanlim 212lim xxx 只記住了重要極限的形式，而沒有掌握其實質(zhì)只記住了重要極限的形式，而沒有掌握其實質(zhì)xxx2sintanlim )22sin()tan(lim0ttxtt 令令ttt2sintanlim0 212lim0 ttt例例111, 0)1)()(, xxxaxbxxfba，有有可可去去間間斷斷點點間間斷斷點點有有無無窮窮的的值值，使使確確定定.39解解因因

21、f(x)在在x=0處為無窮間斷，即處為無窮間斷，即 )(lim0 xfxbxxaxxfxx )1)(lim)(1lim000bxaxx 0lim0, 0 ba又又x=1為可去間斷，為可去間斷，存在存在故故)(lim1xfx)(lim11bxbx )1)()(lim1 xaxxfx)1)(lim)(lim11 xaxxfxx0 1 b.40) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點 ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在0)(lim1bexx

22、eebxx1limP60 11 . 設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .41P60 14. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且對任意實數(shù)證明: f (x) 對一切 x 都連續(xù) .42上連續(xù), 且 a c d b ,P60 16. 設(shè))(xf在,ba必有一點證證:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba證明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(.43閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)1. 求的間斷點, 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點)(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點, 1)(lim0 xfx,