華中科技大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析真題答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2008年華中科技大學(xué)招收碩士研究生.入學(xué)考試自命題試題數(shù)學(xué)分析一、 求極限 解: 一方面顯然另一方面，且由迫斂性可知。注：可用如下兩種方式證明1） 令，則即，從而2） 由有。二、證明為某個(gè)函數(shù)的全微分，并求它的原函數(shù)。證明：記，則，是某個(gè)函數(shù)的全微分設(shè)原函數(shù)為，則三、設(shè)是空間區(qū)域且不包含原點(diǎn)，其邊界為封閉光滑曲面：用表示的單位外法向量，和，證明：證明：設(shè)的方向余弦為。因?yàn)榈姆较蛴嘞覟?，所以，由于原點(diǎn)不在空間區(qū)域，根據(jù)高斯公式，有注：當(dāng)原點(diǎn)也在該區(qū)域時(shí)，結(jié)論也成立，詳細(xì)參考課本P296第8題答案。四、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明：證明：記，由于為連續(xù)函數(shù)，故在上連續(xù)，從而在上可

2、積。而對(duì)每個(gè)，存在，從而累次積分也存在，同理也存在。于是即五、設(shè)，證明收斂并求其極限。證明：一方面由歸納法易知，即有界。另一方面于是單調(diào)，從而收斂。設(shè)，則解得六、設(shè)反常積分絕對(duì)收斂且，證明收斂。證明：由于，故，當(dāng)時(shí)，此時(shí)再由絕對(duì)收斂知，對(duì)，有取，則故收斂。注：這里還差0不是 的瑕點(diǎn)這一條件，若不然討論由下題可知絕對(duì)收斂，但發(fā)散。這是因?yàn)榘l(fā)散；收斂。七、討論反常積分的斂散性（包括絕對(duì)收斂、條件收斂和發(fā)散），其中為常數(shù)。解：記1） 先討論（可以用瑕積分收斂判別的推論）由可知，當(dāng)時(shí)，是定積分，只需考慮當(dāng)時(shí)，由收斂知收斂，且絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，由發(fā)散知發(fā)散。2） 再討論當(dāng)時(shí)，由收斂知絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，條件收斂，這是由于對(duì)任意，有，而單調(diào)趨于0，由狄利克雷判別法知收斂。另外，其中滿(mǎn)足狄利克雷條件，是收斂的。但是發(fā)散的。所以當(dāng)時(shí)，是條件收斂的。綜上所述， 當(dāng)時(shí)，條件收斂；當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散。八、將函數(shù)展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。解：對(duì)作偶式周期延拓，則的傅里葉系數(shù)為：即，（）九、證明函數(shù)在上可微證明：對(duì)，收斂記，則。與在上均連續(xù)由于對(duì)，因此即在上收斂故在上可微且十、設(shè)在上二階可導(dǎo)，且在上成立