【金學(xué)案】高中數(shù)學(xué)（北師大版選修12精品學(xué)案第三章 推理與證明 第1課時(shí) 合情推理

1、第1課時(shí)合 情 推 理1.結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活實(shí)例,了解歸納推理與類比推理的含義.2.能利用歸納方法進(jìn)行簡單推理,體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.3.掌握類比推理的一般方法,會(huì)對(duì)一些簡單問題進(jìn)行類比,得出新的結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力.重點(diǎn):了解合情推理的含義,能利用歸納進(jìn)行簡單的推理.難點(diǎn):用歸納、類比進(jìn)行推理,作出猜想.歷史上,人們提出過許多永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用輪子慣性原理,有人利用水的浮力或毛細(xì)作用的原理,但均以失敗告終.于是人們紛紛認(rèn)為:不可能制造出永動(dòng)機(jī).問題1:他們?yōu)槭裁凑J(rèn)為不可能制造出永動(dòng)機(jī)?通過大量失敗的例子歸納推理得到的,并由

2、后人提出的能量守恒定律徹底說明永動(dòng)機(jī)不可制造.問題2:歸納推理、類比推理及其特點(diǎn)(1)歸納推理:根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性,我們把這種推理方式稱為歸納推理. 它具有以下幾個(gè)特點(diǎn):歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. 利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的,但是可以為我們的研究提供一種方向.(2)類比推理:由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特性,在此基礎(chǔ)上,根據(jù)一類對(duì)象的其他特征,推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征,我們把這種推理過程稱為類比推理. 它具有以下幾個(gè)特點(diǎn):類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究的

3、事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性,是一種從特殊到特殊的推理. 類比的結(jié)果不一定正確,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.問題3:歸納推理、類比推理的一般步驟(1)歸納推理:通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想);如果歸納的個(gè)別情況越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題就越可能為真.歸納推理的一般思維過程:實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論(2)類比推理:找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征;用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征,從而得出一個(gè)猜想;檢驗(yàn)猜想.類比推理的一般思

4、維過程:觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論問題4:合情推理及其意義歸納推理和類比推理都是最常見的合情推理.合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等),推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式. 盡管合情推理的結(jié)果不一定正確,但是,在數(shù)學(xué)、科學(xué)、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的歷史發(fā)展中,合情推理有非常重要的價(jià)值,它是科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)中有一條三角形定理:三角形的兩邊之和大于第三邊,根本不存在一條邊大于其他兩邊之和的三角形.這個(gè)數(shù)學(xué)原理被一位科學(xué)家成功地運(yùn)用到社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域.他認(rèn)為,歷史上如果三個(gè)割據(jù)勢(shì)力并存,就形成了三足鼎立,這是一種比較穩(wěn)定的結(jié)構(gòu).如果

5、強(qiáng)者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就會(huì)與另一個(gè)弱者聯(lián)合起來.結(jié)盟之后,兩邊之和大于第三邊,穩(wěn)定的三足結(jié)構(gòu)就不會(huì)被破壞.只有當(dāng)強(qiáng)者的力量超過了兩個(gè)弱者之和,三國鼎立的局面才會(huì)結(jié)束.這位科學(xué)家利用類比推理表達(dá)自己的思想,使抽象的道理具體化,使論述更加形象,收到了良好的表達(dá)效果.1.數(shù)列an的前四項(xiàng)為,1,由此可以歸納出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為().A.an=B.an=C.an=D.an=【解析】將前四項(xiàng)分別寫成,即可作出歸納.【答案】B2.由數(shù)列1,10,100,1000,猜測(cè)該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是().A.10nB.10n-1C.10n+1D.11n【答案】B3.已知點(diǎn)A(x1,)、B(x2,)是函數(shù)y=

6、x2的圖像上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖像可知,線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方,因此有結(jié)論>()2成立.運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn)C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函數(shù)y=lg x(x>0)的圖像上的不同兩點(diǎn),則類似地有成立. 【解析】因?yàn)榫€段總是位于C、D兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.觀察圓周上n個(gè)點(diǎn)之間所連的弦,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)可以連一條弦,3個(gè)點(diǎn)可以連3條弦,4個(gè)點(diǎn)可以連6條弦,5個(gè)點(diǎn)可以連10條弦,由此可以歸納出什么規(guī)律?【解析】設(shè)f(n)為n個(gè)點(diǎn)可連的弦的條數(shù),則f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,

7、f(5)=10=,故f(n)=.歸納推理的應(yīng)用已知函數(shù)f(x)=,設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1fn-1(x)(n>1,nN+),則f3(x)的表達(dá)式為,猜想fn(x)(nN+)的表達(dá)式為. 【方法指導(dǎo)】寫出f1(x),f2(x),f3(x),觀察fn(x)的特點(diǎn),從而歸納出fn(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1f1(x)=,f3(x)=f2f2(x)=,由此猜想fn(x)=(nN+).【答案】f3(x)=fn(x)=(nN+)【小結(jié)】歸納推理的一般步驟:(1)經(jīng)過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)有明確結(jié)論的一

8、般性命題.利用類比推理猜想結(jié)論在等差數(shù)列an中,若a10=0,則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n<19,nN+)成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列bn中,若b9=1,則有等式成立. 【方法指導(dǎo)】尋找類比對(duì)象,理解等差數(shù)列性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)給出結(jié)論.【解析】等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述(若m,n,p,qN+,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq);等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述(若m,n,p,qN+,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq).由此,猜測(cè)本題的答案為b1b2bn=b1b2b17-n(n<17,nN+

9、).【答案】b1b2bn=b1b2b17-n(n<17,nN+)【小結(jié)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比.類比問題的關(guān)鍵是找好對(duì)應(yīng)的類比對(duì)象,理解類比前問題成立的條件也是個(gè)關(guān)鍵.通過類比方法解題通過計(jì)算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1(n+1)2-n2=2×n+1將以上各式分別相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+n)+n,即1+2+3+n=.類比上述求法,請(qǐng)你求出12+22+32+n2的值.【方法指導(dǎo)】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,

10、再疊加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1將以上各式分別相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+n2)+3×(1+2+3+n) +n,所以12+22+32+n2=(n+1)3-1-n-3··n=n(n+1)(2n+1).【小結(jié)】類比推理是由特殊到特殊的推理,其關(guān)鍵就是注重本質(zhì)的推導(dǎo)方式,通過這種推導(dǎo)方式對(duì)解決另一個(gè)問題起到指導(dǎo)作用.(1)設(shè)函數(shù)f(x)

11、=(x>0),觀察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)nN+且n2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x)=. (2)觀察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根據(jù)上述規(guī)律,第五個(gè)等式為. 【解析】(1)觀察給定的各個(gè)函數(shù)解析式,可知分子都為x,分母都為關(guān)于x的一次式的形式且各個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)分別為2,4,8,16,這樣fn(x)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的分母的常數(shù)為2n,x的系數(shù)比常數(shù)少1即為2n-1,因此fn(x)=f(fn-1(

12、x)=.(2)由題中等式可知第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和,右邊為1+2+(i+1)的平方,所以第五個(gè)等式為 13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用類比法進(jìn)行猜測(cè)的幾個(gè)結(jié)論:由“a=bac=bc”類比得到“a>bac>bc”;由“a(b+c)=ab+ac”類比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;由“=(a>0,b>0,c>0)”類比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;由“分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非零的數(shù),分?jǐn)?shù)值不變”類比得到“分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非

13、零的式子,分?jǐn)?shù)值不變”.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為().A.0B.1C.2D.3【解析】當(dāng)c0時(shí),類比的結(jié)論不正確;類比的結(jié)論是學(xué)生剛學(xué)習(xí)三角時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤;類比的結(jié)論也是學(xué)生在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)時(shí)常犯的錯(cuò)誤,即類比推理的結(jié)論不一定正確;類比的結(jié)論是正確的.【答案】B在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長之比為12,則它們的面積比為14,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長的比為12,求它們的體積之比.【解析】由類比推理得,若兩個(gè)正四面體的棱長的比為12,則它們的體積比為18.下面計(jì)算驗(yàn)證,假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長分別為1和2,如圖,正四面體ABCD的棱長為1,取BC的中點(diǎn)E,作AOED于O,則OD=ED=

14、15;=,又在RtAOD中,AO=,則V正四面體ABCD=SBCD·AO=××=.同理,可算得棱長為2的正四面體的體積V正四面體A'B'C'D'=2.V正四面體ABCDV正四面體A'B'C'D'=18.1.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113

15、【答案】B2.對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”,可類比猜想出:正四面體的內(nèi)切球切于四面體().A.各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B.各正三角形的某高線上的點(diǎn)C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某點(diǎn)【解析】正四面體的四個(gè)面都是正三角形,其內(nèi)切球與正四面體的四個(gè)面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=(nN+),可以猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)an的表達(dá)式為. 【答案】an=(nN+)4.如圖,在三棱錐S-ABC中,SASB,SBSC,SASC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為1、2、3,三側(cè)面SBC、SAC、SAB的面積分別為S1、S2、S3,類比三角形中的

16、正弦定理,給出空間情形的一個(gè)猜想.【解析】在DEF中,由正弦定理得=,于是類比三角形中的正弦定理,在四面體S-ABC中,猜想:=.(2022年·陜西卷)觀察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為. 【解析】設(shè)等式右邊的數(shù)的絕對(duì)值構(gòu)成數(shù)列an,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n,以上所有等式相加可得an-a1=2+3+4+n,即an=1+2+3+n=,再觀察各式的符號(hào)可知第n個(gè)等式為12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+3

17、2-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1·    1.觀察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)等于().A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】由給出的例子可以歸納推理得出:若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),即函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),即有g(shù)(-x)=-g(x),故選D.

18、【答案】D2.下圖所示的是一串白黑相間排列的珠子,若按這種規(guī)律從左往右排起來,則第36顆珠子的顏色為().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三顆白珠子與兩顆黑珠子看作一個(gè)整體,即5個(gè)珠子一個(gè)周期,故第36顆珠子與第1顆珠子的顏色相同.【答案】A3.已知經(jīng)過計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式:+<2,+<2,+<2,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,寫出對(duì)正實(shí)數(shù)m,n成立的條件不等式:. 【答案】當(dāng)m+n=20時(shí),有+24.將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:13 57 9 1113151719按照以上規(guī)律的排列,求第n(n3)行從左向右的第3個(gè)數(shù).【解析】前n

19、-1行有1+2+3+(n-1)=個(gè)數(shù),加上第n行(n3)從左向右的3個(gè)數(shù)共有(-+3)個(gè)數(shù),故第n(n3)行從左向右的第3個(gè)數(shù)為2(-+3)-1=n2-n+5.5.觀察下列各式:72=49,73=343,74=2401,則72022的末兩位數(shù)字為().A.01B.43C.07D.49【解析】75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,發(fā)現(xiàn)74k-2的末兩位數(shù)字為49,74k-1的末兩位數(shù)為43,74k的末兩位數(shù)為01,74k+1的末兩位數(shù)為07,kN+,72022=74×504-2,末兩位數(shù)為49.【答案】D6.觀察式子:1+<,1+<,1+<,則可歸納出的式子為().A.1+<(n2)B.1+<(n2)C.1+<(n2)D.