級數(shù)及其應(yīng)用

1、第四講 級 數(shù)一、 級數(shù)的概念及收斂級數(shù)的性質(zhì)1）級數(shù)和的定義：對于級數(shù)，是其前項的和，我們定義。例1：設(shè)，求級數(shù)的和。解：因為 所以 。2）收斂級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)：（柯西收斂準則）如果級數(shù)收斂，是其前項的和，則對任意的正數(shù)有。例2：設(shè)是單調(diào)增加的正數(shù)數(shù)列，證明：級數(shù)與級數(shù)同斂散。證明：（1）因為，所以級數(shù)收斂則級數(shù)一定收斂；（2）又因為 由收斂級數(shù)的性質(zhì)，如果級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂，由比較判別法級數(shù)收斂，因此級數(shù)收斂。例3：判別級數(shù)的斂散性。解：因為 所以級數(shù)發(fā)散。二、 常數(shù)項級數(shù)1）正項級數(shù)斂散判別法：比較判別法、比之判別法、根式判別法。定理1：（拉貝判別法）對于正項級數(shù)，如果，則當(dāng) （1）時

2、，正項級數(shù)收斂； （2）時，正項級數(shù)發(fā)散； （3）時，不能確定正項級數(shù)的斂散性。證明：我們證明2）如果取使得，由極限的定義，存在自然數(shù)，當(dāng)時，有 因為發(fā)散，由比較判別法，可得級數(shù)發(fā)散。例4：判別正項級數(shù)的斂散性。解：利用拉貝判別法，因為 所以正項級數(shù)發(fā)散。下面是以上極限的算法用替換，則時， 所以 2）一般項級數(shù)審斂法：萊布尼茨判別法、條件收斂和絕對收斂。例5：判別下列級數(shù)的斂散性 （1） （2）解：（1）因為而級數(shù)都收斂所以收斂。（2）因為而級數(shù)收斂，級數(shù)發(fā)散所以發(fā)散。三、 函數(shù)項級數(shù)1）函數(shù)項級數(shù)的一般概念2）冪級數(shù)：收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、冪級數(shù)求和、函數(shù)展成冪級數(shù)。函數(shù)的麥克勞琳級數(shù)

3、 注意運用好冪級數(shù)逐項求導(dǎo)、逐項積分的性質(zhì)函數(shù)展成冪級數(shù)常用公式 3）傅立葉級數(shù)例6：設(shè)函數(shù)，求。解：因為所以例7：設(shè) （1）證明：； （2）計算。解：（1）設(shè)，因為 所以在上恒為常數(shù)。又因為函數(shù)的傅立葉級數(shù)為 當(dāng)時，可得，設(shè)，則有 .（2） 由（1）可得，即。例8：證明：。證明：利用泰勒公式其中在之間，當(dāng)時， 取時， 當(dāng)時，。例9：求冪級數(shù)的收斂域。解：因為，此冪級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，因為當(dāng)時，級數(shù)收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，對于級數(shù)當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時，因為，級數(shù)發(fā)散；由以上討論可得，當(dāng)時，級數(shù)收斂域為；當(dāng)時，級數(shù)收斂域為。例10：設(shè)為整數(shù)，證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根。證明：因為，當(dāng)時，所以 利用介值定理，方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根。四、 練習(xí)題1）證明級數(shù)收斂并求其和。2）設(shè)是單調(diào)增加的正數(shù)列，證明：級數(shù)收斂的充分必要條件是有界。