線性代數向量復習題答案

1、第三章 向量復習題一、填空題：1.當_時，向量線性無關.3. 如果線性無關，且不能由線性表示，則 的線性 無關4. 設 , ，當 時，線性相關.5. 一個非零向量是線性 無關；的，一個零向量是線性 相關的.6. 設向量組A: 線性無關，線性 相關7. 設為階方陣，且， 是AX=0的兩個不同解，則一定線性 相關8. 向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是 等于 。(填大于，小于或等于)9.設向量組 , ,線性相關，則的值為 。 二、選擇題： 1. . 階方陣的行列式,則的列向量（ A ）線性相關線性無關2. 設為階方陣，則的行向量中（A ） A、必有個行向量線性無關 B、任意個行向量構成極大線

2、性無關組 C、任意個行向量線性相關 D、任一行都可由其余個行向量線性表示3. 設有維向量組（）：和（）：，則（ B ） A、向量組（）線性無關時，向量組（）線性無關 B、向量組（）線性相關時，向量組（）線性相關C、向量組（）線性相關時，向量組（）線性相關D、向量組（）線性無關時，向量組（）線性相關4. 下列命題中正確的是( C ) (A)任意個維向量線性相關 (B)任意個維向量線性無關(C)任意個 維向量線性相關(D)任意個維向量線性無關5. 向量組線性相關且秩為s，則( D )（A）(B) (C) (D) 6. 維向量組 (3£ s£ n）線性無關的充要條件是（ B ）.

3、(A）中任意兩個向量都線性無關(B) 中任一個向量都不能用其余向量線性表示(C) 中存在一個向量不能用其余向量線性表示(D) 中不含零向量7. 向量組線性無關的充要條件是（D ） A、任意不為零向量 B、中任兩個向量的對應分量不成比例 C、中有部分向量線性無關 D、中任一向量均不能由其余n-1個向量線性表示8. 設為階方陣，則的行向量中（A ） A、必有個行向量線性無關 B、任意個行向量構成極大線性無關組 C、任意個行向量線性相關 D、任一行都可由其余個行向量線性表示9. 設為階方陣，且秩是非齊次方程組的兩個不同的解向量,則的通解為( C )A、 B、 C、 D、10. 已知向量組的秩為2，則

4、（ A）.A、3 B、-3 C、2 D、-211. 設為階方陣，則的行向量中（ A ） A、必有個行向量線性無關 B、任意個行向量構成極大線性無關組 C、任意個行向量線性相關 D、任一行都可由其余個行向量線性表示12. 設向量組A: 線性無關，則下列向量組線性無關的是（C ） A、， B、，C、，D、，14. 已知向量組A 線性相關，則在這個向量組中(C )(A)必有一個零向量 .(B)必有兩個向量成比例 .（C)必有一個向量是其余向量的線性組合 .(D)任一個向量是其余向量的線性組合 .15. 設為階方陣，且秩,是非齊次方程組的兩個不同的解向量, 則 的通解為 ( )（A） （B) （C)

5、(D) 16. 已知向量組 線性相關， 則（C ） （A）該向量組的任何部分組必線性相關 .（B) 該向量組的任何部分組必線性無關 .（C) 該向量組的秩小于 . (D) 該向量組的最大線性無關組是唯一的. 17已知則 ( C )（A） 線性無關 （B) 線性相關（C) 能由 線性表示 (D) 能由 線性表示18. 若有 則k 等于(A) 1 (B) 2 (C) (D) 4第三題 計算題： 1. 已知向量組（1）求向量組的秩以及它的一個極大線性無關組；（2）將其余的向量用所求的極大線性無關組線性表示。解: ： 其極大線性無關組可以取為且：，2. 求向量組： a ，a，的一個極大無關組，并將其余

6、向量由它線性表示.解：由題意， 故向量組A的一個極大無關組為，其中 3. 設1) a為何值時, 線性無關.2) a為何值時, 線性相關.4. 求向量組的極大無關組，并把其余向量用極大無關組線性表示.解 第一步先用初等行變換把矩陣化成行 (最簡形) 階梯形矩陣 即，或均為的極大無關組，記，由矩陣F可見，則有.5. 已知，問為何值時，可由唯一線性表示？并寫出表示式解 （1） 當時，線性相關. 當時，線性無關.班級（學生填寫）： 姓名： 學號： -密-封-線- （答題不能超出密封線）7. 求向量組: ，的一個極大無關組，并將其余向量由它線性表示.解：由題意， 故向量組A的一個極大無關組為，其中，8.

7、 試求向量組=(1,1,2,2)T,=(0,2,1,5)T,=(2,0,3,-1)T,=(1,1,0,4)T的秩和該向量組的一個最大無關組，并將其他向量用此最大無關組表示。解:以,作為列構造矩陣A,即A=(,) 用初等行變換化A為行階梯形矩陣T,則T的非零行的行數r即為R(A),再化T為行最簡形T0,則T0中任意r個線性無關的向量所對應的向量組即為該向量組的最大無關組. A=(,)=T, 所以R(A)=3. 故R(,)=3. 四、證明題：（10分）1、 設向量組：線性無關，求證：，線性無關.證明：設存在數，使成立。 由得，。2分 線性無關 4分 ，線性無關.2.已知向量組線性無關，線性無關.證：因為 因而向量組線性無關. 3. 若向量組 線性無關， 而，試 證： 線性無關。證明：設存在常數，使得 得 由