第四章聯(lián)立方程模型

1、Chapter4聯(lián)立方程模型本章關(guān)注的目標不止一個，而是多個?；蛘咂渲嘘P(guān)注的某一目標與其它目標有內(nèi)在聯(lián)系，如果我們不知道其它的目標，就不可能知道要關(guān)注的目標。例如，我們要知道某一商品的市場價格，我們必須要同時知道該商品的供給曲線和需求曲線。自然也就存在多因多果的關(guān)系問題。從內(nèi)生性問題角度看，某一解釋變量從另一方面考察可能成為的結(jié)果，那么就是原因，因為中有的成分，從而不成立，產(chǎn)生內(nèi)生性問題的第3種情形，聯(lián)立性問題。在第二章現(xiàn)代觀點理念的陳述中，把Y看成是一個隨機向量，所有的語言經(jīng)過適當?shù)男拚耆梢灶愃浦貜?。但由于因變量Y的個數(shù)的增加，也就帶來了許多“單方程線性回歸模型”不曾有的問題。本章主要

2、討論聯(lián)立的線性系統(tǒng)。內(nèi)容有，聯(lián)立方程模型的表述，各種估計和檢驗的假設(shè)條件，系統(tǒng)的可識別，以及一些專題。其中GMM方法是本章的特色。它把2SLS的方法又提高了一步。一、基本概念和模型系統(tǒng)：多個變量間的相互聯(lián)系，一般用方程表述。線性系統(tǒng)則認為它們的聯(lián)系是線性的。變量：描述系統(tǒng)狀態(tài)的基本要素。變量分成兩類。一類是內(nèi)生變量，含義是，一旦系統(tǒng)變量間的相互聯(lián)系確定，這些變量的值就是完全確立的。內(nèi)生變量一般是系統(tǒng)要關(guān)注的對象。另一類是先決變量，含義是，它們的值不是由系統(tǒng)直接確定。它又分成：（1）外生變量，它的值由系統(tǒng)的外部給定；（2）滯后的內(nèi)生變量，它的值由內(nèi)生變量的前期確定。有時，（1）（2）不加區(qū)分統(tǒng)稱

3、為外生變量。不過這兩種內(nèi)生變量有實質(zhì)性區(qū)別，后一種滯后變量會帶來內(nèi)生性問題。線性模型：系統(tǒng)中的變量通過線性方程或加上隨機誤差項聯(lián)系，稱為聯(lián)立系統(tǒng)的線性模型。模型分成簡約式（reduced formed）和結(jié)構(gòu)式（structure form）兩種：1、簡約式：每個內(nèi)生變量由系統(tǒng)的先決變量的線性式加隨機項構(gòu)成，先決變量前的系數(shù)稱為簡約系數(shù)。2、結(jié)構(gòu)式：每個方程由內(nèi)生變量和先決變量的混合線性式或加隨機項構(gòu)成。結(jié)構(gòu)式有以確定的經(jīng)濟內(nèi)內(nèi)涵，它們從理論模型簡化而成。一般把結(jié)構(gòu)式分成四類：可加隨機項（1） 行為方程（2） 技術(shù)方程不可加隨機項（3） 平衡方程（4） 定義方程每個結(jié)構(gòu)方程中，變量前的系數(shù)稱為

4、結(jié)構(gòu)參數(shù)。系統(tǒng)的描述：Y表示內(nèi)生變量，設(shè)共有G個內(nèi)生變量：X表示先決變量，設(shè)有M個先決變量：U表示隨機誤差，誤差項的個數(shù)隨行為和技術(shù)方程的個數(shù)來定。例：簡單的宏觀消費投資模型：消費方程：投資方程：平衡方程：則：內(nèi)生變量：，先決變量：隨機誤差：。聯(lián)立方程模型主要分成三類：（1） 似無關(guān)模型（Seemingly Unrelated Regression）(SUR模型)模型中每個方程都是reduced form,且有不同的先決解釋變量和因變量，并有各自的參數(shù)值G。相關(guān)聯(lián)的僅是不可觀測的誤差項。可以理解為系統(tǒng)有一個共同的環(huán)境，且系統(tǒng)因果關(guān)系由隨機項構(gòu)成。由此設(shè)定：，=1G。這是一個很強的假定，意味著任

5、意與不相關(guān)，弱一些的假定是：，=1G,但不要求不相關(guān)?？傮w上，可能與其他外生變量（不等于j）相關(guān)，似無關(guān)的含義是指后一種含義。（2）面板數(shù)據(jù)模型（Panel Data）（PD模型），=1,2。這里，先決解釋變量，因變量和參數(shù)值都相同，區(qū)別的僅在于,一般理解為不同時段，也可以是其它指標如不同地區(qū)、城市等，可理解為不同的導致不同的隨機誤差。故和可以不獨立，也可以不同分布等，視各種實際情況而定。注：1、這種簡單形式的面板數(shù)據(jù)模型，可以看成是一類特殊的聯(lián)立方程。其他各種特征的面板數(shù)據(jù)模型將在第五章中介紹。SUR和PD是聯(lián)立方程的特殊形式，其特點為每個內(nèi)生變量都可以寫成單方程的多元線性回歸形式，且都是正

6、確設(shè)定的。區(qū)別是，SUR模型每個有自己的外生變量，而PD則是所有都有相同的外生變量。2、另一種介于SUR和PD模型的聯(lián)立式稱為跨方程的聯(lián)立式，含義是：如果某與中有相同的先決變量，且參數(shù)值相同，那么可將與合并成跨方程的聯(lián)立式，如：，并將其看成是一個整體。（3）同時性模型（Simultanious Equation）(SEM)這里，是指不包括在內(nèi)的其它變量的部分（）；是指先決變量的部分（）；和是變量和的參數(shù)；是隨機誤差。即同時性模型是把每個內(nèi)生變量寫成其它部分內(nèi)生變量和先決變量的線性式。因為SEM模型中右邊方程中含有其它內(nèi)生變量，所以內(nèi)生變量是同時確定的。它不能象模型（1）和（2）那樣，單獨就可以

7、確定。如果我們能夠通過線性變換把SEM中右邊的內(nèi)生變量部分消去，得到它的簡約式，那么SEM也可以象SUR和PD那樣處理。我們把SEM左邊的每個都移到方程的右邊，使其得到按行排列的統(tǒng)一的緊湊形式：。這里，是1×矩陣，是1×M矩陣，且可以觀測抽樣；是G×G矩陣，是M×G矩陣，是未知參數(shù)；是1×矩陣，是隨機誤差。注：緊湊式也可按列排成按行的轉(zhuǎn)置形式：。采取那種方式視方便而定。假定可逆，否則內(nèi)生變量中的選擇至少有一個是多余的，且是隨機誤差的協(xié)方差陣，為G×G的非奇異矩陣。那么模型可以方便地轉(zhuǎn)化成簡約式：。但是，將SEM寫成簡約式面臨一個問題：

8、當我們從簡約式得到的估計，在什么條件下，我們可以從得到和的估計和，稱為系統(tǒng)的可識別問題。這個問題不是顯然的，甚至有點微妙。因為與是原模型的未知參數(shù)，有其經(jīng)濟含義，如果從得不到和的估計和，的估計就沒有意義。這個問題我們放到后面討論，先討論聯(lián)立方程模型的估計和檢驗。二、.聯(lián)立方程的估計和檢驗為要利用單方程的多元回歸方法，我們先把聯(lián)立方程中的三種形式統(tǒng)一處理成的矩陣形式。（1）SUR模型。（2）模型。（3）SEM模型。這里是G×K矩陣，G、K視不同聯(lián)立形式而定。加上下標表示第次隨機抽樣。類似于單方程模型，對聯(lián)立式的估計與檢驗我們有如下假定：假定：Sols1:成立；Sols2:非奇異 成立。

9、那么，。從總體中隨機N次抽樣，由得到：寫成矩陣表達，Sols，與單方程形式上一致，但矩陣、的內(nèi)涵是不一樣的。這里，,，。對SUR，是NG×K矩陣，對PD，是NT×K矩陣。同樣有，。又記，殘差，將排成列得，。那么，。于是，的漸近協(xié)方差估計，稱為穩(wěn)健的協(xié)方差估計。且值。當N很大，近似于標準正態(tài)分布。注：1）在聯(lián)立方程模型中，對誤差項協(xié)差矩陣是沒有任何限制的。故僅是一個正定陣，所以方法僅能保證是一致的，不一定是有效的。由于的復雜性，如果未知，一般方法估計的效果是很差的，只是作為其他估計方法的過渡。 2）關(guān)于檢驗，利用Wald統(tǒng)計量，秩。對不同的問題選擇適當?shù)暮?，可進行的有關(guān)線性組

10、合的檢驗，不再需要任何其它假定。2、聯(lián)立方程的GLS估計與檢驗Sols估計盡管皮實，條件要求少，但畢竟有效性差。如果對隨機誤差項有更強的假定條件，則可對Sols估計做進一步的改進，稱為廣義最小二乘估計。假定：SGLS1：0,。含義是中每個元素同中每個元素都不相關(guān)。是Kronecker乘積：，。的含義是對矩陣的線性變換。與SGLS1等價的條件是：， ；假定SGLS2：正定，且非奇異。那么對，用乘兩邊得，即。于是有，。隨機抽取樣本N，對變換后新的模型做，得廣義最小二乘估計，記成SGLS。，是一致估計。再寫成矩陣式：。這里是NG×K矩陣，是NG×1矩陣。并仍可以證明，SGLS是漸

11、近正態(tài)的。即，。由于一般未知，用SOLS殘差,由向量組的弱大數(shù)定律（WLLN），我們有：。把作為的一致估計，代入到上述表達式當中，便可得到可行的廣義最小二乘估計FGLS：。當N相對G不是很大，有很差的有限樣本性質(zhì)。我們需要獲取更多關(guān)于的信息，才能得到更好的的形式。如獨立性、序列相關(guān)性，等等。獲取FGLS的步驟：（1）得殘差和、；（2）再由公式立得?？梢宰C明，即FGLS與GLS漸近等價。從而有漸近正態(tài)性。FGLS與SOLS相比，在充分信息條件下：，含義是中每一分量的方差和它們的協(xié)方差與無關(guān)。這是系統(tǒng)同方差假設(shè)的一種表示。直觀講就是如果，那么FGLS有更好的有效性?？傻脻u近方差估計：=。一般條件太

12、強，減弱為下面的：假定SGLS3:，。有關(guān)FSGLS的線性組合的假設(shè)檢驗：一般用Wald檢驗，與OLS類似。但當SGLS13成立，一種類似單方程基于殘差形式的F檢驗則更方便。設(shè)對有Q個約束條件，是帶約束條件下的FGLS的殘差，是不帶約束下FGLS的殘差，是無約束下的用SOLS殘差平方和做的估計。那么，可以證明：進一步，在有限樣本條件下有類似殘差形式的F統(tǒng)計量： 利用F統(tǒng)計量可以方便地做的部分參數(shù)為0的檢驗。注：SOLS和SGLS只能用于單方程是正確設(shè)定的聯(lián)立方程，對SEM由于內(nèi)生性基本不能用。FGLS本質(zhì)是解決聯(lián)立方程估計的有效性問題，但需要有更多的信息條件。當是對角陣時SOLS和SGLS沒有

13、區(qū)別。具體到SUR或PD，對誤差項的設(shè)定還要具體分析。3、聯(lián)立方程的工具變量估計和GMM方法正如單方程模型會遇到內(nèi)生性問題，聯(lián)立方程模型更容易遇到內(nèi)生性問題。特別對于SEM模型，內(nèi)生性是不可避免的。因為結(jié)構(gòu)式中已包含有其它的內(nèi)生變量，從而從結(jié)構(gòu)式到簡約式的轉(zhuǎn)化中，自然也把誤差項帶入了其它的結(jié)構(gòu)式中。由于內(nèi)生性的存在，我們知道，這使得SOLS和FGLS是有偏和不一致的。SOLS和FGLS方法基本不能用。我們把單方程模型中消除內(nèi)生性的工具變量法引入到聯(lián)立方程模型中來，并由此引入更一般的廣義矩（GMM）方法。另外，從聯(lián)立方程的可識別中，合理安排每個方程的外生變量還可以自己解決工具變量的尋找問題。把聯(lián)

14、立模型形式的寫成類似SUR模型的形式：；，。對每一個，是1×向量，既包含有外生變量，也包含有內(nèi)生變量。從而與有相關(guān)性。如同單方程工具變量法一樣，對每一結(jié)構(gòu)方程，選擇工具變量是1×向量，它們是可觀測的外生變量，且，中包含單位和其中的外生變量。滿足工具條件：SIV1：，；SIV2：秩，。對任意的觀測,用下標包裝成矩陣形式：，；, 。相應(yīng)的， L。如果，。由假定SIV2，非奇異，從而，是K×K非奇異矩陣。對兩邊乘上，取期望得。對隨機抽樣，。仍設(shè)和是NG×K的樣本觀測矩陣。那么可得聯(lián)立方程模型的工具變量估計，并由假定SIV1，知。但是，如果，那么就不再是一個方陣

15、，我們無法直接得到SIV。或者說，我們可以在L中任意選擇K個工具變量，選擇哪個？回憶，對過度識別的工具變量集，我們選擇的是它們的線性組合作為新工具變量，這事實上是對進行了特殊的線性變換。下面，我們換一種思路，即所謂的廣義矩陣估計（GMM漢森1982）方法。該方法的基本思路是，如果我們引入了外生的工具變量替代了原方程的某些內(nèi)生變量，那么選擇原方程殘差平方和最小的標準就不一定最合理。由于工具帶來了“信息”，應(yīng)當選擇與工具變量相關(guān)的“加權(quán)”的殘差平方和最小。討論如下：由SIV1，。再由大數(shù)律：。但固定N， ，這樣的不一定存在。退一步，選擇使得：以為“權(quán)”的平方和取最小值。這種思想是OLS方法的自然推

16、廣。特別當，就是OLS方法。還應(yīng)當考慮誤差方差對估計的不均勻影響，類似于GLS方法，如果已知的有關(guān)信息，找“權(quán)”作為工具使得方差影響變得均勻。為此，一般的定義，找一個與工具變量和工具變量協(xié)方差相關(guān)的矩陣作為“權(quán)”。定義：設(shè)是一個L×L的已知正定矩陣，如果是求解下式二次型的最優(yōu)解，則稱是廣義矩估計GMM。因為正定，故有分解=，令，。則：。故得：?？梢宰C明，是一致和漸近正態(tài)的，且,其中，。這里是一非隨機的給定的與工具的方差信息有關(guān)的矩陣。我們補充假定：SIV3：是一已知的隨機矩陣序列，且有。特別，取，則。類似于單方程的2SLS估計，故稱聯(lián)立的S2SLS。S2SLS滿足SIV13的條件，故

17、有一致性和漸近正態(tài)性，但不一定是漸近有效的。下面的問題是，我們需要尋找一個更好的序列，使得估計具有最小方差性，稱該為最優(yōu)權(quán)矩陣。最優(yōu)權(quán)矩陣的求法：1） 設(shè)是的一個任意一致估計，大部分情況下，取是聯(lián)立的S2SLS最方便；2） 有了，對每個，得到G×1的殘差向量：；3) 再得到，且；4）選取；補充假定SIV4：W，。，則為漸近有效的GMM估計，稱為最小“卡方”估計，記成，或。證明：因為滿足SIV13條件下，的協(xié)差矩陣，而滿足SIV14條件下，的協(xié)差矩陣簡化為。要說明是漸近有效的，即要證半正定，即要證半正定。注意到，正定，。是冪等矩陣，它是半正定的，半正定。又，如果我們有關(guān)于工具變量與誤差

18、項乘積方差可分離的信息，一個條件期望下的充分條件是：。令。補充假定SIV5：?，F(xiàn)在用，是S2SLS殘差。知。選取。（注意與不同）那么，在SIV15條件下：。（不必記憶）稱為的GMM三階段最小二乘估計，記成。3SLS是無偏、一致、漸近有效的。注1.當條件SIV5不成立時，3SLS就不如最小卡方Kai-來得好。即使SIV5成立，3SLS也不一定比最小卡方Kai-表現(xiàn)好。但現(xiàn)在仍多用3SLS，部分是歷史原因，另外在相對少的樣本量情況下，3SLS有效性比最小卡方Kai-表現(xiàn)好。 2.傳統(tǒng)觀點下，3SLS與上述的GMM方法得到的3SLS有所不同。傳統(tǒng)的3SLS方法是：1第一階段,得；2第二階段，和，得2

19、SLS殘差和；3第三階段對做GLS，得。注意，在SIV1SIV3假定下，G3SLS是一致的，但傳統(tǒng)的3SLS不一定是一致的。3 聯(lián)立方程模型有多種估計方法，對模型的要求是，估計精度越高，要求越高。我們不一定要一味追求高精度。例如我們僅關(guān)注第一個結(jié)構(gòu)式的，那么我們僅按單方程模型要求和秩就可得的2sls，而不必對系統(tǒng)的其它方程尋找更多的工具變量。具體問題要具體分析。由于某些方程的設(shè)定采用了3SLS方法，會導致問題復雜化。數(shù)據(jù)、模型、計算機是為人服務(wù)的，在熟練掌握計算機軟件的前提條件下，把多種估計方法加以比較，并做出合理解釋。大量的實踐經(jīng)驗是必不可少的。具體舉例略。我們知道，是在給定工具變量集下的最

20、優(yōu)權(quán)矩陣。進一步的問題是，選擇滿足什么條件的工具變量集是最優(yōu)的。換句話說，工具變量并不是越多越好，因為太多的工具變量造成過度識別，產(chǎn)生非常差的有限樣本性質(zhì)。（減少自由度，有效性降低。）關(guān)于最優(yōu)工具變量集，我們有陳述如下的定理：最優(yōu)工具變量定理：如果對某一向量集滿足：，。即對每個結(jié)構(gòu)方程都是外生的。那么，取，其中，若秩，則是最優(yōu)工具變量。 該定理說明，一旦我們得到，所有其它有關(guān)的函數(shù)作為工具變量加入是多余的。例如，GLS方法。，且。那么最優(yōu)工具是。問題是和的驗證，如果沒有更多的信息假定，我們沒有更多的手段。4 聯(lián)立方程模型的假設(shè)檢驗（1）有了Kai-和漸近方差=。這里，有時直接用2SLS代替，也

21、不受影響。又當SIV5成立，有3SLS和漸近方差=。這里，。那么，對一切的線性約束檢驗問題：?？刹捎肳ald統(tǒng)計量進行檢驗，其中R是Q×K矩陣，且秩RQ，W。（2）另一種類似F檢驗，用殘差表達的統(tǒng)計量。如果在約束條件下采用GMM方法，估計易得，如約束為部分系數(shù)為零，那么更為方便。采用最優(yōu)權(quán)矩陣（）得到無約束的Kai-估計，殘差為，又是同樣采用最優(yōu)權(quán)矩陣，但是在滿足個線性約束條件下得到的估計，殘差為。可以證明，為真，那么：，又在SIV5成立的條件下，上式可約化成：，其中，是聯(lián)立方程的2SLS的殘差。（3）過度識別的檢驗如果工具集的個數(shù)大于的個數(shù)，那么存在過度識別的問題。用統(tǒng)計量：，拒絕

22、原假設(shè)表示過度識別。三、聯(lián)立方程模型的可識別回憶在2SLS的理論中，要求選擇工具變量Z滿足秩，。否則就有可能不能識別，即不一定能得到IV。這種問題在聯(lián)立方程模型中，由于內(nèi)生變量允許在其它方程中出現(xiàn)，存在的可能性幾乎肯定，而且表現(xiàn)更復雜。例：供給方程：需求方程：其中，。平衡方程：。那么，由于和是隨機變量，故，不可觀測。我們無法得到內(nèi)生變量，的結(jié)構(gòu)參數(shù)的任何信息。現(xiàn)在，在需求方程中引入外生變量收入，且可觀測。考慮：，。那么可解得：， 。得到：，。由于，可觀測，通過OLS方法可求得參數(shù)估計：，。又由于，這意味著供給方程是可識別的。因為供給方程中不包含有外生變量，它的信息可對供給方程提供幫助，但需求方

23、程仍無法識別，沒有系統(tǒng)的外生信息可以利用。如果再引入外生變量稅收，且放到供給方程中：供給方程：需求方程：；則可解得：，。同樣通過OLS方法可得：，并通過，可等到 結(jié)構(gòu)參數(shù)和。但是，不是在供給方程中加入稅收，而是在需求方程中再加入新的外生變量，如金融資產(chǎn)，那么供給方程就會多增加一個外生信息來源的選擇，而需求方程仍沒有外生信息來源可利用?？梢姡?lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)式的某方程的參數(shù)可識別與其它方程引入的外生變量和本方程的內(nèi)生變量的個數(shù)有一定關(guān)系。一般，識別問題的提法如下：定義：設(shè)聯(lián)立方程結(jié)構(gòu)式為，如果能從聯(lián)立方程模型的簡約式的估計中得到結(jié)構(gòu)式的參數(shù)和的估計和，則稱聯(lián)立方程模型是可識別的，否則稱為不可識

24、別的。又如果可識別的結(jié)構(gòu)參數(shù)存在唯一的取值，就稱模型是恰好識別的，否則稱為過度識別的。注：模型不可識別，指的是聯(lián)立方程中有某一方程無法從簡約式得出該方程的所有結(jié)構(gòu)參數(shù)，如例中的需求方程。過度識別則是得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)值不唯一。這就意味著，過度識別的模型有一個取優(yōu)的問題。如前述的GMM方法。現(xiàn)在，為要使聯(lián)立方程模型可識別，當且僅當每個結(jié)構(gòu)方程可識別，無妨考察第一個結(jié)構(gòu)方程可識別的必要條件。從的結(jié)構(gòu)式，把第一個結(jié)構(gòu)方程形式的寫為：。這里是1×的，是方程中內(nèi)生變量的個數(shù)，是1×的，是方程中外生變量的個數(shù)。又記；又從的簡約式得到的關(guān)系式為， 。這里是已選擇好的個所有外生變量作為工具變量

25、。又定義×選擇矩陣，它由0和1兩元素構(gòu)成，使得：成立。所以，。對第一個結(jié)構(gòu)方程作為單方程是可識別的，由條件：秩，。，由秩，秩。即是列滿秩的矩陣。，于是得到：定理1：可識別的階條件（必要條件）第i個結(jié)構(gòu)方程中，不包含在方程中的外生變量的個數(shù)必須大于等于方程右邊內(nèi)生變量的個數(shù)，。接下來討論充分條件?？勺R別的階條件并不充分，可以舉出滿足階條件，但不可識別的例子。問題的提法是，什么條件下能從的簡約式能回到結(jié)構(gòu)式？我們先看結(jié)構(gòu)式與簡約式的關(guān)系：結(jié)構(gòu)式，是1×G的向量誤差項，是G×G矩陣， 是M×G矩陣。假定：非奇異，。那么，可解得：。這里，V，又令。如果，且秩，那

26、么由SOLS方法和隨機抽樣，可以得和的一致估計。問題是，從和能否回到結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣，和？條件顯然不夠。因為結(jié)構(gòu)式乘上任意非奇異G×G矩陣，得，即。它與原結(jié)構(gòu)方程它們是同解方程，有等同的簡約式。由的任意性，此意味著有個參數(shù)是自由的，又由于非奇異限制，加上誤差項方差陣的有關(guān)信息，個限制還可以減弱。于是，必須對模型中，和有所限制，一般歸結(jié)為以下四種：1歸一化約束：（normalization restriction），即。限制第個結(jié)構(gòu)式系數(shù)。將移到右邊，與相對應(yīng)。稱為是歸一化的約束。這共有G個約束條件，是一個自然約束。2同方程參數(shù)線性約束（homogeneous liner restrict

27、ion） 令是一個（G+M）×1的向量結(jié)構(gòu)參數(shù)，且滿足歸一化約束條件，從而有GM1個未定參數(shù)，假定關(guān)于的先驗知識可以寫成線性約束的形式：，。是×（GM）的已知矩陣， 是關(guān)于的約束數(shù)，并假定秩。例：一個三方程的聯(lián)立系統(tǒng)：G3和M4。設(shè)第一個結(jié)構(gòu)方程為：。那么：，。如果設(shè)定一個常數(shù)項，那么，又假定對的約束有：和，那么2,且，從而為滿足對的同方程線性約束條件?，F(xiàn)在令是（GM）×G矩陣，則就是的第列，又記，。則的第i列就是。限制。這是齊次線性方程組。例如，對第一個結(jié)構(gòu)式方程，如果可識別，意味的參數(shù)是確定的。因此，齊次方程組只有唯一的基礎(chǔ)解系。又由于有列，從而加在上的限制使

28、得可識別的充分必要條件是秩。定理2：（可識別的秩條件）滿足歸一化條件的結(jié)構(gòu)方程i的參數(shù)是可識別的，當且僅當加在上的同方程線性約束滿足秩。因為有G列，且秩（列滿秩，否則設(shè)定的某列參數(shù)無意義）。所以，我們必有秩，設(shè)秩，于是，我們得到另一種表述的階條件。定理3：（可識別的階條件）聯(lián)立方程第i個結(jié)構(gòu)式可識別的階條件是，加在第i個結(jié)構(gòu)式上參數(shù)的約束個數(shù)必須大于等于G1.從而，則第i個結(jié)構(gòu)式是不可識別的，則第i個結(jié)構(gòu)式是過度識別的。例：（滿足階條件但不滿足秩條件，不可識別的例）其中（為截距項），且。對第一個結(jié)構(gòu)方程，按歸一化約束，設(shè)和，方程右邊的內(nèi)生變量有兩個，但不含的外生變量也有2個，第一個結(jié)構(gòu)方程滿足

29、階條件。再檢查秩條件。的限制條件是和，于是，又從第二個結(jié)構(gòu)式知：，。， 秩，不滿足秩條件。 故第一個結(jié)構(gòu)方程不可識別。又第2個結(jié)構(gòu)方程可識別的條件為或，或作為的工具變量。第3個結(jié)構(gòu)式不含內(nèi)生變量是自然可識別的。3 跨方程的參數(shù)約束（Cross equation restriction）前述討論結(jié)構(gòu)參數(shù)的約束都在同方程中，毫無疑問，如果結(jié)構(gòu)參數(shù)的約束是跨方程的，也將為可識別問題提供幫助。我們不一般討論跨方程的約束的問題，因為太復雜。這里只是通過舉例說明： （1） （2）滿足、與、不相關(guān)，可以是常數(shù)項，無任何其它先驗信息。則第一結(jié)構(gòu)式是不可識別的，且第二個結(jié)構(gòu)式當且僅當是恰好可識別的。現(xiàn)在考慮一個

30、跨方程的約束條件：假定。意味著解釋變量對因變量和的解釋作用是等同的。于是由（2），作為的工具變量，用2SLS，可得到，再對；用作為的工具變量，只要用2SLS，可得到，且估計是一致的。從而（1）可以識別。但是，用這種單方程方法得到的協(xié)方差估計和，標準差估計，由于初始估計的影響，可能不是漸近有效的，這會影響到檢驗。解決的辦法是：把跨方程約束代入，將原聯(lián)立方程改寫成如下形式：，參數(shù)不再在方程中出現(xiàn)。選擇工具矩陣，即用所有的外生變量作為每一個方程的工具變量，采用聯(lián)立方程的GMM方法或3SLS方法可得一致、有效的估計。4、協(xié)方差約束（Covarionance Restriction）聯(lián)立方程中誤差項之間

31、的有關(guān)信息也能為系統(tǒng)識別提供幫助，請看兩例：例1：（1） （2） 如果，則（1）是恰好可識別的，（2）是不可識別的?，F(xiàn)在假定對誤差項、有協(xié)方差限制：,設(shè)，則從限制知是對角矩陣。由于（1）可識別，從而可得到，的一致估計，并由此可得到的一致估計。由已知與不相關(guān)，且與必定偏相關(guān)，因此我們可以用，作為的工具變量估計（2）。所以（2）也是可識別的。我們可以用2個來完成估計。步驟：1。用，為的工具變量對（1）做，并得到殘差；2用，為的工具變量對（2）做。但是做檢驗，還要保證估計協(xié)差陣的一致性和漸近正態(tài)性。因為是一個廣義工具變量，涉及到非線性的問題，需要加強條件。（請參閱伍書P194195）例2：完全迭代（

32、遞歸）的系統(tǒng)模型（fully recursive system） (1)(2)(G)系統(tǒng)中，如果限制假定，。那么，從（1）開始做OLS，得到；代入到（2）,滿足OLS1和OLS2的條件，（2）再做OLS，得到；如此下去，可得到迭代系統(tǒng)是可識別的，且估計是一致的。但是，OLS方法得到的估計有效性較差，特別是方程個數(shù)G很大。注：協(xié)方差約束常用在向量時間序列的分析中，因為沒有其他的外生變量加入到中。最后舉一個例：同時考慮已婚工作婦女的勞動供給條件，與工資方程一起建立聯(lián)立結(jié)構(gòu)模型：。假定，這里是6至18歲孩子個數(shù)，是非勞動收入。注意，認為過去的經(jīng)驗對當年工作小時沒有影響，常被勞動經(jīng)濟學采用。故和不在供

33、給方程中出現(xiàn)。又供給方程只有一個內(nèi)生型變量，所以供給方程是含有一個過度識別的方程。又不在需求工資方程中出現(xiàn)，且需求也只有一個內(nèi)生性變量，所以需求方程是含有3個過度識別的方程。對第一個勞動供給方程，先不考慮內(nèi)生性問題，做。然后利用第二個方程的所有外生變量作為工具做，加以比較。數(shù)據(jù)來源是MROZ.RAW，樣本是428個已婚工作婦女的年工作小時。以下是回歸結(jié)果：;。關(guān)于，盡管統(tǒng)計顯著，但負號明顯不符合實際意義。有內(nèi)生性，估計不一致，不能用。關(guān)于，的回歸系數(shù)是單位小時。在樣本平均值處，1303。得到彈性。此說明，工資每增長1%，工作小時會增長1.2%。估計仍然偏大。因此，也不滿意。關(guān)于檢驗，用殘差對所有外生變量回歸，得，因此得，值。不能拒絕過度識別。又在第二個工資方程中，關(guān)于工具的聯(lián)合檢驗，值僅為0.0009。應(yīng)拒絕變量為0的假設(shè)，工具變量選擇有