【2020年高考必備】衡水獨(dú)家秘籍之高中期末復(fù)習(xí)專題五函數(shù)與方程問(wèn)題求解舉例

1、衡水獨(dú)家秘籍之 2019 高中期末復(fù)習(xí)專題五函數(shù)與方程問(wèn)題求解舉例【方法綜述】函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)(如果y=ax2+bx+c可以寫成f(x)=ax2+bx+c,即y=f(x)的形式)，當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f

2、(x)看作二元方程yf(x)=0，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系很重要，我們應(yīng)熟練掌 握.下面我們就具體看一下函數(shù)與方程的應(yīng)用舉例.【要點(diǎn)回顧】1.函數(shù)零點(diǎn)的理解：(1)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是 同一個(gè)問(wèn)題的三種不同表達(dá)形式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)的曲線， 且f(a)f(b)v0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，反之不成立.2.函數(shù)零點(diǎn)的判定常用方法：(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合法；(3)解方程f(x)=0.3.曲線的交點(diǎn)問(wèn)題：(1)曲線交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，從而轉(zhuǎn)化為方程的根；(2)求曲線y=f(x)與y=g(x)的交

3、點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù)y=f(x)g(x)的零點(diǎn)，即求f(x)g(x)=0的根.【典型例題】1求函數(shù)的零點(diǎn)例1.求函數(shù)f(x)=x33x+2的零點(diǎn).解令f(x)=x3x+2=0，(x+2)(x1)2=0. x=2或x=1，3函數(shù)f(x)=x3x+2的零點(diǎn)為一2,1.評(píng)注 求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求f(x)=0的根，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想， 把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 方程根的問(wèn)題，或利用數(shù)形結(jié)合思想把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題.2判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)x2例2.已知函數(shù)f(x)=ax+r(a1)，判斷函數(shù)f(x)=0的根的個(gè)數(shù).x rIx一2解 設(shè)f1(x)=ax(a1),f2(x)=-，貝

4、Uf(x)=0的解，即為(x)=f2(x)的解，即為z. I I函數(shù)f1(x)與f2(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).x一2在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)f1(x)=ax(a1)與f2(x)=- 的圖象(如圖所示).x1所以方程f(x)=0的根有一個(gè).評(píng)注 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決，在同一坐標(biāo)系下作出f1(x)與f2(x)兩函數(shù)的圖象，從而觀察出兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(即為原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù))3.確定零點(diǎn)所在的區(qū)間例3.設(shè)函數(shù)y=x3與y=一2的圖象的交點(diǎn)為(xo,yo)，貝Uxo所在的區(qū)間是()A. (0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi).答案B評(píng)注 本題考查函數(shù)零

5、點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想， 體現(xiàn)對(duì)運(yùn)算能力和理 解能力的要求.4利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)范圍例4.關(guān)于x的二次方程x2+(m1)x+1=0在0,2上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解設(shè)f(x)=x2+(m1)x+1,x0,2,又f(0)=10,由題意得解得一3wnW1,解得n0,02,(m- 1j40,= =y yX X= =y y的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為2 21 1 - - 2 2的零點(diǎn)，f(1)=1故m的取值范圍為nW1.評(píng)注本題實(shí)質(zhì)是對(duì)一元二次方程根的個(gè)數(shù)的討論，解題過(guò)程中利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、分類討論思想、方程與不等式的轉(zhuǎn)化等知識(shí)，對(duì)運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力有很高的要求4

6、.判斷方程解的存在性例5.已知函數(shù)f(x)=3x32x2+1，判斷方程f(x)=0在區(qū)間1,0內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)解？分析 可通過(guò)研究函數(shù)f(x)在1,0上函數(shù)的變化情況判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，從而判定方程是否有解.32解 因?yàn)閒(1)=3X(1)2X(1)+1= 40,所以f(1)f(0)1 ,f(6)1,f( 6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6) 0時(shí)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x)為單調(diào)函數(shù)，故g(x)僅有一個(gè)零點(diǎn).因此方程f(x)=1僅有一個(gè)根故選A.答案A評(píng)注 在區(qū)間a,b上單調(diào)且圖象連續(xù)的函數(shù)y=f(x)，若f(a)f(b)0時(shí)，f(x)=x3x，則函

7、數(shù)g(x)=f(x)x+3的零點(diǎn)的集合為()A. 1,3 B.3,1,1,3C. 2 一，1,3 D.2 一，1,3【答案】D【解析】/是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，令 V ,則 ,()() (),()令()，當(dāng) 時(shí)，解得，或，解得當(dāng) V 時(shí),在區(qū)間上有解，則的取值范圍是()C.D.函數(shù) ()故選：D.的零點(diǎn)的集合為4若關(guān)于x的方程的一個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，另個(gè)根在區(qū)間A.內(nèi),【答案】【解析】則實(shí)數(shù) 的取值范圍為2=7x-(m+13 x m2,設(shè)函數(shù)f(x)(0,1) 上，另一根在區(qū)間V ,(1,2),即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-4,故選：A.5.設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)函數(shù)方程V ，解得：-4vm2,-2);，給出

8、下列四個(gè)命題:是奇函數(shù);時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;可能是上的偶函數(shù);最多有兩個(gè)實(shí)根其中正確的命題是(A.BC.D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)曰 K疋奇函數(shù)，故正確當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，且值域?yàn)?，則方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，不存在等式在上成立，故錯(cuò)誤當(dāng)，時(shí)，方程有二個(gè)實(shí)根：，/ ,因此，方程最多有兩個(gè)實(shí)根錯(cuò)誤綜上所述，正確的命題有故選6.已知函數(shù)，則方程在內(nèi)方程的根的個(gè)數(shù)是()A. 0 B.1 C.2 D.3【答案】D_.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則 入的取值范圍是 _，則由圖象可得時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn),有兩個(gè)根.時(shí)，由圖象可得有一個(gè)交點(diǎn),有一個(gè)根.綜上，方程

9、內(nèi)方程的根的個(gè)數(shù)是，故選D.7.已知入R,函數(shù)f(x)=，當(dāng)入=2時(shí)，不等式f(x)0的解集是【解析】(n)要使在區(qū)間上恒成立，需滿足【答案】(1,4)【解析】由題意得或，所以或，即，不等式f(x)0的解集是當(dāng)時(shí)，,此時(shí),即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得綜上，的取值范圍為&已知函數(shù)，若f(0)=-2,f(1)=1，則函數(shù)g(x)=f(x)+x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】3【解析】由已知當(dāng)xw0時(shí)f(x)=-x2+bx+c,由待定系數(shù)得：解得c=-2,b=-4:)，令f (x)+x=0,分別解之得xi=2,X2=-1,X3=-2，即函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn).故答案為：3.9.已知函數(shù).(I)若函數(shù) 在區(qū)間和 -上各有一個(gè)零點(diǎn)，求 的取值范圍;(n)若在區(qū)間上恒成立，求 的取值范圍.【答案】；(2)-.【解析】(I)因?yàn)楹瘮?shù) 在區(qū)間和 -上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以有所以的取值范圍為：-解得-解得：無(wú)解或-或 無(wú)解 所以-所以的取值范圍為：- -.10.如圖所示，定義域?yàn)樯系暮瘮?shù)是由一條射線及拋物線的一部分組成利用該圖提供的信息解決下面幾個(gè)問(wèn)題(1)求的解析式；(2)若 關(guān)于的方程有一個(gè)不冋解，求 的取值范圍；(3)若-，求x的取值集合【答案】(1)_-；(2)-；(3