線性代數復習題

1、一、n 階行列式1、n階行列式定義，n階排列的逆序數，展開式的項數及判斷某一項的符號，行列式性質及推論。2、n階行列式元素 的代數余子式 的概念及計算。n行列式按一行展開定理及推論。 展開定理。3、行列式計算（利用性質、按一行展開定理、 展開、利用已知行列式值，并含計算分塊矩陣及一些特殊方陣的行列式）。二、 n維向量1、向量定義及其運算。（向量的線性運算即加法和數乘、向量的內積的定義和運算規(guī)律）2、向量組的線性組合。一組（或一個）向量可由另一組向量線性表出、兩組向量等價。定義和判定定理及有關結論。3、向量組的線性相關性（定義、判定向量組線性相關或線性無關，及相關的定理和推論）。4、向量組的秩及

2、極大線性無關組。（定義、相關結論、求秩及極大線性無關組）5、標準正交向量組（正交向量組必是線性無關的）及施密特標準正交化（這是將一組線性無關的向量化為標準正交向量組的有效方法）。6*、n維向量空間 ：定義、維數、一組基、 中向量在一組基下的坐標。三、線性方程組（下述矩陣 為 矩陣）1、線性方程組有解的判定： 1）齊次線性方程組 有非零解 2）線性方程組 有解2、線性方程組解的性質：三條3、線性方程組解的結構1） 中 時，基礎解系通解：2）非齊次方程組 ，當 時， 為方程組一個特解， 為其導出組的一個基礎解系，則通解為4、線性方程組具體求解方法1）討論非齊次線性方程組 解的存在性。將增廣矩陣 經

3、過行初等變換化階梯形，從而可得知與 ，當且僅當 時 有解。2）齊次線性方程組 求通解的方法：（1） 階梯形，求出一般解。（2）求基礎解系，并寫出通解3）非齊次線性方程組 求通解的方法：（1） 階梯形，求出一般解。（2）求出一個特解。（3）寫出導出組的一般解，并求導出組的一個基礎解系。（4）寫出通解。四、矩陣1、矩陣運算及其運算法則：加法、數乘、乘法（沒有交換率、沒有消去率、由 得不出 或 ）、轉置、求逆。2、n階矩陣A的伴隨矩陣 （定義）。 性質：1） 2） 3） 4） 5）A 為n階矩陣：3、可逆矩陣： 1）矩陣A可逆的定義 2）A可逆，求 的方法： 3）矩陣A可逆的充分必要條件 4）化簡及

4、求解矩陣方程 4、矩陣的秩： 1）定義，由定義知 2）矩陣的秩等于它行（列）向量組的秩。 3）矩陣的秩的求法：矩陣經初等變換化階梯形。 4）A 為 矩陣，B為 矩陣，且 AB=0， 則 。 5）矩陣運算后秩的變化：數乘、轉置、求逆、加法、乘法。5、方陣運算后的行列式關系： A,B均為n階方陣， 。6、矩陣的初等變換。 1）矩陣的行（列）三種初等變換。 2）矩陣經初等變換，秩不變。 3）初等矩陣。（1）定義。（2）初等矩陣在將矩陣作初等變換轉化為矩陣乘法的等式時的特殊作用。 7、矩陣的分塊運算： 矩陣與向量組的轉化，矩陣方程和線性方程間的轉化。8、特殊矩陣（定義及性質）： 零矩陣、單位矩陣、數量

5、矩陣、上（下）三角矩陣、對角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣、正定矩陣。9、兩矩陣間的關系： 1）n階矩陣A與B相似：定義（ ）、性質。 2）n階矩陣A與B互為可逆矩陣。（AB=I） 3）n階矩陣A與B合同：定義（可逆矩陣C使 ）10、求n階矩陣A的 ： 1）若存在可逆矩陣U，使則 2） 則 五、矩陣的對角標準形1、n階矩陣A特征值與特征向量。 1）定義，及按定義求方陣A的特征值與特征向量的方法。 2）相關結論3）屬于A 的不同特征值的特征向量線性無關。2、n階方陣A能夠與對角形矩陣相似的充要條件為A有n個線性無關的特征向量。（若能，求可逆矩陣U，使 為A的對角標準形。） 判斷A與對角形矩

6、陣相似的方法： 1）若A的特征值均為單根，則A與對角形矩陣相似。 2）若A的特征值有重根，且 則A與對角形矩陣相似。 A 與對角形矩陣相似，那么A的k重根 對應的線性無關的特征向量個數 3、實對稱矩陣的標準形。 實對稱矩陣特征值均為實數，不同特征值對應的特征向量正交。 對于n階實對稱矩陣A，存在正交矩陣T使即實對稱矩陣必正交相似（或稱相似且合同）于實對角矩陣。六、二次型1、二次型定義及其相關概念：二次型的（系數）矩陣，矩陣表達式，二次型的秩，二次型的標準型、規(guī)范型，正慣性指數。2、可逆線性變換 （C為實可逆矩陣）。 二次型經可逆線性變換 ，得新的二次型的矩陣B與原二次型矩陣A合同，即有3、二次型化標準形 1）用正交變換