第十九講 正態(tài)總體均值及方差的區(qū)間估計

1、第十九講 正態(tài)總體均值及方差的區(qū)間估計1. 單個正態(tài)總體方差的區(qū)間估計設(shè)總體， 為來自的一個樣本，已給定置信度（水平）為，求的置信區(qū)間。當已知時，由于，因此，（）。由分布的定義知：，據(jù)分布上分位點的定義，有：從而 故的置信度為的置信區(qū)間為：當未知時，據(jù)抽樣分布有：類似以上過程，得到的置信度為的置信區(qū)間為：的置信度為的置信區(qū)間為：例有一大批袋裝糖果, 現(xiàn)從中隨機地取出16袋, 稱得重量(以克計)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,求總體標準差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解：總體均值未知，的置

2、信度為的置信區(qū)間為：此時， ，查表得 由給出的數(shù)據(jù)算得因此，的一個置信度為0.95的置信區(qū)間為（4.58，9.60）.2. 兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計設(shè)總體，且與相互獨立，來自的一個樣本，為來自的一個樣本，且設(shè)分別為總體與的樣本均值與樣本方差，對給定置信水平，求的一個置信區(qū)間。（1）當已知時，由第六章定理1知，又與相互獨立，所以，即；所以可以得到的一個置信水平為的置信區(qū)間為：（2）當，但未知時，由第六章定理4知： 其中，從而可得：的一個置信水平為的置信區(qū)間為：例:為比較，兩種型號步槍子彈的槍口速度，隨機地取型子彈10發(fā)，得到槍口平均速度為，標準差，取型子彈20發(fā)，得到槍口平均速度為，標準差，

3、假設(shè)兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過程可認為它們的方差相等，求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：結(jié)合實際，可認為來自兩個總體的樣本相互獨立。因兩個總體的方差相等，卻未知，所以的一個置信水平為的置信區(qū)間為：其中，此處， ,查表得，又,，故所求置信區(qū)間為：即 3. 兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計設(shè)總體，且與相互獨立，來自的一個樣本，為來自的一個樣本，且設(shè)分別為總體與的樣本均值與樣本方差，對給定置信水平，求的一個置信區(qū)間。據(jù)抽樣分布知：由分布的上分位點的定義知，即于是得的一個置信水平為的置信區(qū)間為：例:研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑, 隨機地抽取機器A生產(chǎn)的管子18只,

4、測得樣本方差抽取機器B生產(chǎn)的管子13只, 測得樣本方差設(shè)兩樣本相互獨立,且設(shè)兩機器生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布和, 這里均未知,求方差比的置信度為0.90的置信區(qū)間.解：記機器A生產(chǎn)的鋼管為總體X, 機器B生產(chǎn)的鋼管為總體Y，由題意知，且來自與的兩個樣本相互獨立，因此，的一個置信水平為的置信區(qū)間為此處，查表求能夠得到數(shù)據(jù)，采用線性插值方法有得。又由F函數(shù)的性質(zhì)得.于是所求置信區(qū)間為即 由于的置信區(qū)間包含1，在實際中我們認為兩者沒有顯著差別。第七章 參數(shù)估計第5節(jié) 正態(tài)總體均值及方差的區(qū)間估計單個正態(tài)總體均值的區(qū)間估計當已知時，的置信水平為的置信區(qū)間為： （5.1）當未知時，的置信水平為的置

5、信區(qū)間為.（5.4）注意：當分布不對稱時，如分布和分布，習(xí)慣上仍然取其對稱的分位點，來確定置信區(qū)間，但所得區(qū)間不是最短的。在實際中常遇到下面的問題：已知產(chǎn)品的某一質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，但由于原料、設(shè)備條件、操作人員不同，或工藝過程的改變等因素，引起總體均值、總體方差有所改變，我們需要知道這些變化有多大，這就需要考慮兩個正態(tài)總體均值差或方差比的估計問題。在該題中所得置信區(qū)間的下限大于0，在實際中我們就認為比大（可信度為95%）；相反，若下限小于0，則認為與沒有顯著的差別。（課間休息）4. （01）分布參數(shù)的區(qū)間估計問題：設(shè)有一容量的大樣本，它來自（01）分布的總體X，X的分布律為，其中為未知參數(shù)

6、?，F(xiàn)在來求的置信水平為的置信區(qū)間。易知（01）分布的均值和方差分別為設(shè)大樣本來自（01）分布的總體X，由中心極限定理知于是有從而得到的一個置信水平為的置信區(qū)間為，其中，。例:從一大批產(chǎn)品中任取100件產(chǎn)品進行檢驗，發(fā)現(xiàn)其中有 60 件是一級品。試求這批產(chǎn)品的一級品率 p 的置信度為 95%的置信區(qū)間.解：產(chǎn)品的一級品率p是(01)分布的參數(shù)，且樣本的容量較大，因此，一級品率 p 的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為其中，。此處，由P61頁查表得，于是，一級品率 p 的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為.5. 單側(cè)置信區(qū)間 正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間 例:設(shè)從一批燈泡中, 隨機地取5只作壽

7、命試驗,測得壽命(以小時計)為 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布, 求燈泡壽命平均值的置信水平為 0.95 的單側(cè)置信下限.解：為(獨立同分布的中心極限定理)（林德伯格勒維定理）設(shè)相互獨立，服從同一分布, 且具有數(shù)學(xué)期望和方差： , 則中心極限定理的另類描述：均值為, 方差為的獨立同分布的隨機變量的算術(shù)平均值, 當充分大時近似地服從均值為,方差為的正態(tài)分布.由于不等式等價于，將不等式化簡，以為自變量的函數(shù)對應(yīng)于一個開口朝上的拋物線。設(shè)該拋物線與坐標橫軸軸的交點分別為（），則等價于。以隨機變量X表示某件產(chǎn)品是否是一級品（X=1表示產(chǎn)品是一級品，X=0表示產(chǎn)品不是一級品），則X服從（01）分布，分布律為請大家思考如何從正態(tài)分布表中查