第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽筆試試題及詳細(xì)解答(高年級(jí))

1、第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽筆試試題A（小學(xué)高年級(jí)組）（時(shí)間: 2012年4月21日10:0011:30）一、填空題（每小題 10分, 共80分）1. 算式 的值為 .2. 箱子里已有若干個(gè)紅球和黑球, 放入一些黑球后, 紅球占全部球數(shù)的四分之一；再放入一些紅球后, 紅球的數(shù)量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和紅球數(shù)量相同, 則原來(lái)箱子里的紅球與黑球數(shù)量之比為 .3. 有兩個(gè)體積之比為5:8的圓柱, 它們的側(cè)面的展開(kāi)圖為相同的長(zhǎng)方形, 如果把該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬同時(shí)增加6, 其面積增加了114. 那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為 .4. 甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)原來(lái)各存有整袋的糧食, 如果從甲糧庫(kù)調(diào)90袋到乙

2、糧庫(kù), 則乙糧庫(kù)存糧的袋數(shù)是甲糧庫(kù)的2倍如果從乙糧庫(kù)調(diào)若干袋到甲糧庫(kù), 則甲糧庫(kù)存糧的袋數(shù)是乙糧庫(kù)的6倍那么甲糧庫(kù)原來(lái)最少存有 袋的糧食.5. 現(xiàn)有211名同學(xué)和四種不同的巧克力, 每種巧克力的數(shù)量都超過(guò)633顆. 規(guī)定每名同學(xué)最多拿三顆巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的種類和數(shù)量都是否相同分組, 則人數(shù)最多的一組至少有 名同學(xué).6. 張兵1953年出生，在今年之前的某一年, 他的年齡是9的倍數(shù)并且是這一年的各位數(shù)字之和，那么這一年他 歲.7. 右圖是一個(gè)五棱柱的平面展開(kāi)圖, 圖中的正方形邊長(zhǎng)都為2. 按圖所示數(shù)據(jù), 這個(gè)五棱柱的體積等于 . 8. 在乘法算式中, 漢字代表非零數(shù)字,

3、不同漢字代表不同的數(shù)字, 那么所代表的四位數(shù)最小是 .二、解答下列各題（每題10分, 共40分, 要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）9. 如右圖, ABCD 是平行四邊形, E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn), K為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn).連接BK, DE相交于一點(diǎn)O. 問(wèn): 四邊形ABOD與四邊形ECKO的面積是否相等? 請(qǐng)說(shuō)明理由.10. 能否用500個(gè)右圖所示的的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)的大長(zhǎng)方形, 使得的長(zhǎng)方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個(gè)星? 請(qǐng)說(shuō)明理由. 11. 將一個(gè)2n位數(shù)的前位數(shù)和后位數(shù)各當(dāng)成一個(gè)位數(shù), 如果這兩個(gè)位數(shù)之和的平方正好等于這個(gè)2n位數(shù), 則稱這個(gè)2n位數(shù)為卡布列克 (Kabulek) 怪?jǐn)?shù)，例如，, 所以30

4、25是一個(gè)卡布列克怪?jǐn)?shù). 請(qǐng)問(wèn)在四位數(shù)中有哪些卡布列克怪?jǐn)?shù)?12. 已知98個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù), 記 , 問(wèn): N被3除的余數(shù)是多少？三、解答下列各題（每小題 15分，共30分，要求寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程）13. 小李和小張?jiān)谝粋€(gè)圓形跑道上勻速跑步, 兩人同時(shí)同地出發(fā), 小李順時(shí)針跑,每72秒跑一圈; 小張逆時(shí)針跑, 每80秒跑一圈. 在跑道上劃定以起點(diǎn)為中心的圓弧區(qū)間, 那么兩人同時(shí)在劃定的區(qū)間內(nèi)所持續(xù)的時(shí)間為多少秒?14. 把一個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)的長(zhǎng)方體的表面都涂上紅色, 然后切割成棱長(zhǎng)為1的小立方塊, 其中, 兩面有紅色的小立方塊有40塊, 一面有紅色的小立方塊有66塊, 那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少?第

5、十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽筆試試題A參考答案（小學(xué)高年級(jí)組）一、填空（每題 10 分, 共80分）題號(hào)12345678答案9.31:24015371874396二、解答下列各題（每題 10 分, 共40分, 要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程） 9. 答案：是. 解答. 連接AC. 則所以 .因此 即四邊形ABOD的面積=四邊形ECKO的面積.10. 答案：能解答. 首先構(gòu)造的長(zhǎng)方形如下:然后用50個(gè)的即可拼成的長(zhǎng)方形. 11. 答案：2025, 3025, 9801. 解答. 設(shè)一個(gè)四位卡布列克怪?jǐn)?shù)為 , 其中. 則由題意知 , 兩邊模99得, 因此 , 故與中有一個(gè)能被9整除, 也有一個(gè)能被11整除

6、（可能是同一個(gè)數(shù)）, 且有，即. （*）若能被99整除，由（*）知只能是99，滿足條件的四位數(shù)是9801；若1能被99整除，由（*）, 顯然沒(méi)有滿足條件的四位數(shù)；此外，可設(shè)9m，111n，則有9m-11n=1, 由（*）, m和n均為小于12的正整數(shù)，故得到m5，n4， 只能是45，滿足條件的四位數(shù)是2025；反之，可設(shè)19m，11n，滿足條件的四位數(shù)是3025.故四位數(shù)中有三個(gè)卡布列克怪?jǐn)?shù), 它們分別為2025, 3025和9801.12. 答案：1或2解答. 對(duì)于質(zhì)數(shù)3, 被3整除. 其余的質(zhì)數(shù), 要么是型的數(shù), 要么是型的數(shù). 由于被3除余1, 且, 被3除也余1. 因此有（1）若這98

7、個(gè)質(zhì)數(shù)包含3時(shí), N被3除的余數(shù)等于97被3除的余數(shù), 等于1.（2）若這98個(gè)質(zhì)數(shù)不包含3時(shí), N被3除的余數(shù)等于98被3除的余數(shù), 等于2.三、解答下列各題（每題 15 分, 共30分, 要求寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程） 13. 答案：解答. 設(shè)起跑時(shí)間為0秒時(shí)刻, 則小李和小張?jiān)趧澏▍^(qū)間跑的時(shí)間段分別為, , ,和, , .其中 a, b 表示第a秒時(shí)刻至第b秒時(shí)刻. 顯然 即前9秒里兩類時(shí)間段的公共部分. 此外, 考慮和的公共區(qū)間, 為正整數(shù), 分兩種情況:1) , 即小李和小張分別跑了圈和圈同時(shí)回到起點(diǎn), 他們二人同時(shí)在劃定區(qū)域跑了18秒.2) , 例如 .兩人同時(shí)在劃定區(qū)域內(nèi)跑了. 由知, . 于是兩人同時(shí)在劃定區(qū)域內(nèi)跑持續(xù)時(shí)間為11秒或3秒. 其它情況類似可得同樣結(jié)果.綜上, 答案為.14. 答案: 150解答. 設(shè)立方體的長(zhǎng), 寬, 高分別為, 其中, 且為整數(shù). 注意, 兩面有紅色的小立方塊只能在長(zhǎng)方體的棱上出現(xiàn).如果, 則沒(méi)有兩面為紅色的立方塊, 不符合題意. 如果, 則沒(méi)有只有一面為紅色的立方塊, 不符合題意. 因此. 此時(shí)兩面出現(xiàn)紅色的方塊只能與長(zhǎng)方體的棱共棱. 一面出現(xiàn)紅色的方塊只與立方體的面共面. 有下面的式子成立, （1）. （2）由（1）得到, （3）由（2）得到. （4）由（3）和（4）可得，這樣 . 由（4）得到. （5）若,