【創(chuàng)新方案】2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)教案理新人教版

1、第 2 講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)【2013 年高考會(huì)這樣考】1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2 由函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求參數(shù)的范圍.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理順導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí) 的工具性作用，重點(diǎn)解決利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.IK AOJIIZIZHUDAOXIUE -冷考基自主導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)梳理1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)f(xo)是曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,f(xo)處切線I的斜率，切線I的方程是y_f(xo) =f(xo)(x_xo) 2.導(dǎo)數(shù)的物理意義若物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為s=

2、f(t)，則f(to)是物體運(yùn)動(dòng)在t=to時(shí)刻的瞬時(shí)速度.3 函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0.f (x)0?函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增;f (x)0?函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減.助摩 一 o.在(a,b).上成立是,f(x).在(a,b)上單調(diào)遞增的充分.條件(2) 對(duì)于可導(dǎo)函.數(shù).f.(x)., f .Lx?) = o 是函數(shù). .f.(.x)在.x=xo.處有極值的必要不充分條件:.三個(gè)步驟求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟;(1) .確定函.數(shù).f(.x)的定義域;.(2) 一 .求導(dǎo)數(shù).f(.x).；(.3).由.f.(_x

3、.)_ .o(.f.(.X) 一 Q 時(shí)，f.(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)； 當(dāng).f 0 解得xv0，或x 2.答案(30),(2,+3)扶鼻”首先要分清是求曲線y=f(x)在某處的切線還是求過(guò)某點(diǎn)曲線的切線.(1)求曲線y=f(x)在x=xo處的切線方程可先求f(xo)，利用點(diǎn)斜式寫出所求切線方程；(2) 求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程要先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后再寫切線方程.【訓(xùn)練 1】 若直線y=kx與曲線y=x3 3x2+ 2x相切，試求k的值.解 設(shè)y=kx與y=x3 3x2+ 2x相切于P(xo,yo)則yo=kxo，32B. 3D. 15x的遞減區(qū)間是().B. 1,+3)D. 1,

4、0) , (0,1y=x2 Inx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x 2B. 2D. 3xxHHKAOXIANGTAN JIUDOXII一一一八一一八一一一八一一 一-一一一 “ +八八一八一一八八一八亠八02 $薯向探究導(dǎo)桁研折君向例靈碟考向一求曲線切線的方程_32【例 1】？已知函數(shù)f(x) =x-4x+ 5x 4.(1) 求曲線f(x)在x= 2 處的切線方程；求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2 , 2)的曲線f(x)的切線方程.審題視點(diǎn)由導(dǎo)數(shù)幾何意義先求斜率，再求方程，注意點(diǎn)是否在曲線上，是否為切點(diǎn).2解f(x) = 3x 8x+ 5f (2) = 1,又f(2) = 2曲線f(x)在x= 2 處的切線方程為

5、y ( 2) =x 2,即卩xy 4= 0.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(Xo,X0 4X0+ 5xo 4)2f(xo) = 3xo 8xo+ 5則切線方程為2y ( 2) = (3xo 8xo+ 5)(x 2),又切線過(guò)(xo,xo 4xo+ 5xo 4)點(diǎn),322則xo 4xo+ 5xo 2 = (3xo 8xo+ 5)(xo 2),整理得(xo 2)* vii(xo 1) = o,解得Xo= 2,或xo= 1 ,因此經(jīng)過(guò)A(2 , 2)的曲線f(x)的切線方程為xy 4 = o,或y+ 2= o.yo=xo 3xo+ 2xo，又y= 3x2 6x+ 2,.k=yIx=xo= 3x 6xo+ 2，vi程為

6、y 1 =x 1，即xy= 0.兩直線xy= 0,xy 2= 0 之間的距離為d= =2.2答案 B4._ (人教 A 版教材習(xí)題改編)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，ts 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度(單位：m)是t1(t) = 4.9t2+ 6.5t+ 10,高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在t= 1 s 時(shí)的瞬時(shí)速度為 _ .答案3.3 m/svii32由得：(3xo 6xo+ 2)xo=xo 3xo+ 2xo,2即(2xo 3)xo= o.(1)若f(X)在1 ,)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若x= 3 是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.審題視點(diǎn)函數(shù)單調(diào)的充要條件是f(x)0或f(x)W0且不恒等于 0.解對(duì)f

7、(x)求導(dǎo)，得f(x) = 3x- 2ax 3. t(x)min= |(1 1) = 0.aw0.由題意，得f (3) = 0,即 27 6a 3 = 0,| 2 2a= 4. f(x) =x 4x 3x,f(x) = 3x 8x 3.1令f(x) = 0，得viii ix x xi xii xiii xiv xvi= 3，X2= 3.當(dāng)x變化時(shí),f(X)、f(x)的變化情況如下表:x(-8,-3)13:-33)3(3, +m)f (X)+00+f(x)極大值極小值當(dāng)xJm, 3 I, 3,+8)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x 3, 3 時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.又一 2x3,. e_2exe3，只需

8、ae【當(dāng)a= e3時(shí)f(x) = ex e3在x ( 2,3)上，f(x)0(或f(x)x0)即可.【訓(xùn)練 2】已知函數(shù)f(x) = exax 1.(1) 求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 是否存在a,使f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.解f(x) = exa,(1)若aw0,貝 yf(x) = exa0, 即f(x)在 R 上遞增，xvx右a0, e a0, e a,xlna.因此f(x)的遞增區(qū)間是Ina,+).由f(x) = exawo在(一 2,3)上恒成立.aex在x ( 2,3)上恒成立.由f(x)0,得aw2xx.記t(x) = 2x-x

9、，當(dāng)x1時(shí)，t(x)是增函數(shù), ae3.故存在實(shí)數(shù)ae3,使f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減.考向三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題【例 3】？設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) = ex 2x+ 2a,x R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；求證：當(dāng)a In 2 1 且x0 時(shí)，exx2 2ax+1.x2審題視點(diǎn)第問(wèn)構(gòu)造函數(shù)h(x) = e x+ 2ax 1,利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(1)解 由f(x) = ex 2x+ 2a,x R 知f(x) = ex 2,x R令f(x) = 0，得x= In 2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表x(a,In 2)In 2(In 2,+a)f (X)一0+

10、f(x)單調(diào)遞減2(1 In 2 +a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一R,In 2，單調(diào)遞增區(qū)間是In 2 ,+),f(x)在x= In 2 處取得極小值，極小值為f(ln 2) = eln 2 2ln 2 + 2a= 2(1 In 2 +a).XQ證明設(shè)g(x) = e x+ 2ax 1,x R,于是g(x) = ex 2x+ 2a,x R由(1)知當(dāng)aIn 2 1 時(shí)，g(x)的最小值為g (In 2) = 2(1 In 2 +a) 0.于是對(duì)任意x R,都有g(shù)(x)o,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.于是當(dāng)aIn 21 時(shí)，對(duì)任意x(0,+s)，都有g(shù)(x)g(0).而g(0) =

11、0,從而對(duì)任意x (0,+s),g(x) 0.即 exx2+ 2ax 1 0，故 exx2 2ax+ 1.*”利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問(wèn)題.比如要證明對(duì)？x a,b都有f(x) g(x)，可設(shè)h(x) =f(x) g(x)只要利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明h(x)在a,b上的最小值為 0 即可.【訓(xùn)練 3】 已知 R,函數(shù)f(x) = (x2+m灶m)ex(1)若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；當(dāng) m= 0 時(shí)，求證f(x) x2+x3.(1)解 由已知條件f(x) = 0 無(wú)解， 即x2+mx+ n= 0 無(wú)實(shí)根，則=m 4n0,解得 0g(0)即 ex

12、x 1 0,因此x2(exx 1) 0,整理得2 x 323xe x+x,即f(x) x03渺 考題專項(xiàng)突破老題展示名肺站諺閱卷報(bào)告2-書(shū)寫不規(guī)范失分【問(wèn)題診斷】 利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類問(wèn)題求解并不難，即只需由f x 0 或fl xv0,求其解即得但在求解時(shí)會(huì)因書(shū)寫不規(guī)范而導(dǎo)致失分【防范措施】 對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間，中間用“，”或“和”連接，而不能用符號(hào)“U”連接 1【示例】？設(shè)函數(shù)f(x) =x(ex 1)于2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.錯(cuò)因結(jié)論書(shū)寫不正確，也就是說(shuō)不能用符號(hào)“U”連接，應(yīng)為(R, 1)和(0 ,+)實(shí)錄f(x) = ex

13、 1 +xexx= (ex 1) (x+ 1)，令f(x) 0 得，xv1 或x 0. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一a, 1)U(0,+).1正解因?yàn)閒(x) =x(ex 1) qx2,所以f(x) = ex 1 +xexx= (ex 1) (x+1).令f(x) 0，即(ex1)(x+ 1) 0,得xv1 或x 0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a, 1)和(0，+a).【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x) =ax3 3x2, (a R)，且x= 2 是y=f(x)的極值點(diǎn)，求函數(shù)g(x)=exf(x)的單調(diào)區(qū)間.嘗試解答f(x) = 3ax2 6x= 3x(ax 2).因?yàn)閤= 2 是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).所以f (2) = 0，即 6(2a 2) = 0，因此a= 1,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a= 1 時(shí)，x= 2 是函數(shù)