第2章極限與連續(xù)00471

1、第二章 極限與連續(xù)第一講 數(shù)列的極限教學(xué)內(nèi)容1. 數(shù)列極限的定義;2收斂數(shù)列的性質(zhì).教學(xué)目的與要求1理解數(shù)列的概念； 2了解數(shù)列極限的的定義，在學(xué)習(xí)過程中要逐步加深對極限思想的理解； 3理解收斂數(shù)列的有界性，極限的唯一性等性質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)極限概念及其計(jì)算，極限的精確定義，利用定義求極限.教學(xué)學(xué)時(shí) 22.1 數(shù)列的極限一、數(shù)列數(shù)列 按照一定順序排列著的無窮多個(gè)數(shù)，記為， 叫數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).如： 1，-1，通項(xiàng)；，通項(xiàng).幾何上，數(shù)列可視為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上點(diǎn).從這個(gè)意義上講，數(shù)列又可視為定義在自然數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量依次取1，2，3，時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值就排成數(shù)列.二、數(shù)列的極

2、限直觀定義：極限是數(shù)列穩(wěn)定的變化趨勢.觀察數(shù)列，可見當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近1；即當(dāng)無限增大時(shí)，與1的距離無限接近0；也即是說，當(dāng)無限增大時(shí)，與1的距離可以任意??；即是說，無論事先給定一個(gè)怎樣小的正數(shù)，總可以在無限增大的過程中找到一個(gè)確定的，在項(xiàng)之后，距離很小并保持比事先給定的那個(gè)正數(shù)更小.具體說來，當(dāng)給定的正數(shù)為時(shí)，可取為大于10的整數(shù)；當(dāng)給定的正數(shù)為時(shí)，可取為大于100的整數(shù)；當(dāng)給定的正數(shù)為時(shí)，可取為大于10000的整數(shù)；當(dāng)給定時(shí)，取大于的整數(shù).精確定義（定義）：對數(shù)列，當(dāng)時(shí)有，則稱為的極限，記為.此時(shí)亦說收斂于，否則稱發(fā)散.注1：的理解，是事先給定的正數(shù)，它具有兩重性.（1）任意性：這樣，

3、才能保證與無限接近，即任意小.（2）相對固定性：只有這樣，才能由此找到N，使.注2：是什么數(shù)，怎樣找，它與什么有關(guān)，是否唯一？（1）是數(shù)列中項(xiàng)數(shù)的取值，故為某一正數(shù)，它由確定.（2） 找的方法：由出發(fā)解不等式得，取（或）.不過，有時(shí)為了使不等式，需要采取適當(dāng)放大（）.要，只要即可.由此解出，取.（3）由知，N與有關(guān)，越小，越大.（4）不唯一. 若，則都可以.數(shù)列以為極限的幾何解釋：定義 幾何意義 任取開區(qū)間 存在一點(diǎn)當(dāng)以后的點(diǎn)都有 在內(nèi)，而之外只有有限個(gè)點(diǎn)例1 用定義證明 （1）； （2）； （3）0.1，0.11，0.111，0.111，的極限為.證 （1），要 ，只要，即，即可取.當(dāng)時(shí)有.

4、故.(2) 由，,要，只要即即可.故可以取，當(dāng)時(shí)有. 故.（3）先寫出數(shù)列通項(xiàng)，.，要，只要，即即可.故取，則當(dāng)有.故.例2 問，并且當(dāng)時(shí)，求出.解 分三步：（1）觀察極限；（2）驗(yàn)證；（3）求.（1）觀察知.（2），要，只要即即可.故取，當(dāng)時(shí)，有，所以.（3）當(dāng)時(shí)，.三、收斂數(shù)列的性質(zhì)1. 唯一性：若收斂，則極限唯一.證 （反證法）設(shè)，且.取. 故，當(dāng)時(shí)有，即，當(dāng)時(shí)有，即，取，當(dāng)時(shí)，有，同時(shí)成立.產(chǎn)生矛盾.2.有界性定義 對，若，使對一切有，則稱有界，否則無界.定理 若收斂，則必有界.證 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，從而有，取，當(dāng)時(shí)，有，取，則對一切有有界.注意：有界是收斂的必要條件，非充分條件.如有

5、界，但非收斂.推論：若無界，則一點(diǎn)發(fā)散.（反證法）作業(yè)：練習(xí)冊等3次第二講 函數(shù)的極限教學(xué)內(nèi)容1.自變量趨近無窮大時(shí)函數(shù)的極限;2.自變量趨近有限值時(shí)函數(shù)的極限;3.函數(shù)極限的性質(zhì).教學(xué)目的與要求1.理解函數(shù)極限的定義,能在學(xué)習(xí)過程中逐步加深對極限思想的理解; 2.了解函數(shù)極限的性質(zhì); 3.了解函數(shù)的左、右極限及其與函數(shù)極限的關(guān)系;4.了解函數(shù)的左、右極限及其與函數(shù)極限的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)函數(shù)極限的概念 教學(xué)時(shí)數(shù) 22.2 函數(shù)的極限一、時(shí)的極限1.樸素語言：如在的過程中，函數(shù)值無限接近于確定常數(shù)，那么叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.2.精確定義：，當(dāng)時(shí)，都有，則3.幾何意義： 4.給定，怎樣找方法：先

6、化簡，然后由解出，取即可.5.證明舉例例：用定義證明證，要，只要即即可.取，當(dāng)時(shí)就有，.注：有定義：，當(dāng)時(shí)，都有，則.有定義：，當(dāng)時(shí)，都有，則. 同樣.二、時(shí)的極限1.精確定義（定義）若，當(dāng)時(shí)，有，則稱為當(dāng)時(shí)的極限.記作：或（）注：是一個(gè)小正數(shù)，它不是任意給定的，找的方法與找的方法類似.先化簡，要，只要解出.取，由此可知，與有關(guān)，不唯一.表示的去心鄰域.因?yàn)闃O限只注重時(shí)，并不注重在時(shí)是否有意義，所以定義中加了可除外.2定義的幾何解釋3用定義驗(yàn)證極限舉例 例1 證明.證，要，只要，即即可. 取，當(dāng)時(shí)，有. 例2 證明，并問可以使得時(shí)有.證 （1），要,只要即即可. 故，當(dāng)時(shí)有. （2）當(dāng)時(shí)，.所

7、以，取，當(dāng)時(shí)有.例3 證明當(dāng)時(shí)，.證，要，只要即可.所以為了保證，取則當(dāng)有.4左、右極限左極限：當(dāng)，而時(shí)，則稱為的左極限.（精確描述），當(dāng)時(shí)，有，則記為.右極限：當(dāng)，而時(shí)，則稱為的右極限.（精確描述），當(dāng)時(shí)，有，則記為.左右極限與極限的關(guān)系：.由此可知：至少有一個(gè)不存在或存在不等時(shí)，則不存在.例：已知 證明不存在.證，即，故 不存在.作業(yè)：練習(xí)冊第4次第三講 極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則教學(xué)內(nèi)容1. 極限的性質(zhì);2. 極限運(yùn)算法則. 3. 復(fù)合函數(shù)的極限教學(xué)目的與要求1. 了解極限的性質(zhì);2. 熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)極限的性質(zhì),熟練求解極限. 教學(xué)時(shí)數(shù) 42.3 極限的性質(zhì)和運(yùn)算法

8、則僅以函數(shù)當(dāng)時(shí)的情況為例進(jìn)行討論, 其余的情形相類似.一、 極限的性質(zhì)1. 極限的唯一性定理1(極限的唯一性) 設(shè)又則有證明: 2. 極限的局部有界性定理2(收斂數(shù)列的有界性)設(shè)則存在, 使得時(shí),恒有(是常數(shù)).證明: :3. 極限的局部保號性定理3 如果(或A0(或f(x)0, 取正數(shù)e A,根據(jù)極限的定義, 對于這個(gè)取定的正數(shù)e ,必存在著一個(gè)正數(shù)d ,當(dāng)0|x-x0|d 時(shí)，不等式|f(x)-A|e,或A-ef(x)0.定理1 如果(A0),則存在點(diǎn)的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi), 有.定理2 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f (x)0(或f (x)0),而且,那么A0(或A0).證明: 設(shè)f

9、(x)0.假設(shè)上述論斷不成立, 即設(shè)A0,那么由定理1就有x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi)f(x)0,這與f(x)0的假定矛盾. 所以A0.二、極限的運(yùn)算法則設(shè)有限，則有法則： （可推廣到有限個(gè)）證 由，則且，而法則：（可推廣），特別地， ；.法則：法則：由證 記，由保號性即證.注意：應(yīng)用法則時(shí)，要特別注意條件存在，否則法則不能用.例如：（）.注意：對有理整式（即多項(xiàng)式）求的極限，只要將代入函數(shù)中即可.例如：.注意：對有理分式，只要，則.若，則法則不能用. 例如：， 不能用商的法則 由于 原式 又 不能用商的法則，先消去零因子， .例如：.例 求解.解 原式分子與分母同除以得到例1.求.解:-

10、1=21=1. 討論: 多項(xiàng)式的極限 提示: 設(shè)多項(xiàng)式P(x)=a 0xn+a 1xn-1+an, 則=a0x0n+a1x0n-1+an=P(x0).例2. 求.解:.例3. 求.解:.例4. 求.解:,根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得=.討論: 有理函數(shù)的極限提示: 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)且時(shí),. 當(dāng)Q(x0)=P(x0)=0時(shí), 先將分子分母的公因式(x-x0)約去.例5. 求.解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取極限:.例6. 求.解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取極限:.例7.求.解:因?yàn)? 所以.討論: 有理函數(shù)的極限 提示:.三、復(fù)合函數(shù)的極限定理6 設(shè)函數(shù)u=j(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限存

11、在且等于a,即, 但存在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)j(x)a,又,則復(fù)合函數(shù)fj(x)當(dāng)x x0時(shí)的極限也存在, 且.證明（略）定理6 設(shè),在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)j(x)a,又,則復(fù)合函數(shù)fj(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限也存在, 且.注:把定理中換成或, 把換成可類似結(jié)果.作業(yè)：練習(xí)冊等5次第六講 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要的極限教學(xué)內(nèi)容1. 兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界法則）;2. 兩個(gè)重要的極限. 教學(xué)目的與要求1. 掌握兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界法則）;2. 熟練掌握極限的兩個(gè)重要的極限及其應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)掌握兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則, 熟練掌握兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用 .教學(xué)時(shí)數(shù) 21.7

12、極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則1、夾逼定理準(zhǔn)則（夾逼定理, 兩邊夾準(zhǔn)則）：如果則.證 由知，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有取則當(dāng)時(shí)，有，同時(shí)成立即 ，又 ，故當(dāng)時(shí)，有，即 對于函數(shù)也有類似的準(zhǔn)則.準(zhǔn)則：如果； ；則.2.單調(diào)有界法則準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.（數(shù)列收斂必有界，反之不真；但加上單調(diào)則收斂）該定理的證明超出了本書，下面只作幾何解釋如圖， 單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)只可能沿一個(gè)方向移動(dòng)，故趨勢也只可能有二：要么向右趨于無窮遠(yuǎn)，要么趨于某一常數(shù)A.但已知數(shù)列有界，故上述情形一不可能發(fā)生，這就只有情形二，所以數(shù)列有極限.利用準(zhǔn)則可以證明第二重要極限：這里只就證明思路與步驟說一下，詳細(xì)證明見書.證明分三步

13、完成：證取正整數(shù)情況，即、將與比較得、對適當(dāng)放大為等比數(shù)列前n項(xiàng)之和，從而證明.由準(zhǔn)則存在，記為e二、兩個(gè)重要的極限1. 利用準(zhǔn)則可以證明下面的第一重要極限：.證 先證.由于，不妨設(shè).作單位圓并設(shè)圓心角則 ， ，即 ， 從而有 或.，又 .一般有公式： （表面特性，本質(zhì)特性“”）例1.例2 .例3.（或者原式）.例4，但 .2. 令，可得另外一種形式 一般情況，.例1.例2.例3 .或者原式.例4 已知，則. 左右，所以.例 . 令 . 由此可推出:例 求.解: 例 求.解 令 , .特別地有： 若.作業(yè)：練習(xí)冊等6次第七講 無窮大量與無窮小量教學(xué)內(nèi)容1. 無窮大量;2. 無窮小量;3. 無窮

14、小量的比較.教學(xué)目的與要求1. 理解無窮小量與無窮大量的概念;2. 了解無窮小量與無窮大量的關(guān)系, 無窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系;3. 熟練掌握無窮小的比較、等價(jià)無窮小量的性質(zhì)及一些常見的等價(jià)無窮小.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)熟練掌握無窮小的比較、等價(jià)無窮小量的性質(zhì)及一些常見的等價(jià)無窮小.教學(xué)時(shí)數(shù) 21.8 無窮大量與無窮小量一、無窮大量1.定義：若當(dāng)時(shí)有，則稱時(shí)，為無窮大量.記為（極限不存在）.注1：無窮大是滿足的一個(gè)函數(shù)，并非很大的數(shù).注2：無窮大也與極限過程有關(guān).2.用定義證明無窮大量例 證明.證 要，只要，故取，當(dāng)時(shí)有，即.二、無窮小量1. 定義 若，則稱當(dāng)時(shí)為無窮小量.精確定義，當(dāng)時(shí)， .注 1.無

15、窮小量是以0為極限的函數(shù)，并非很小的數(shù).2.無窮小量與極限過程有關(guān).2. 性質(zhì)：性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小之和為無窮小.性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小.證 設(shè)在某鄰域內(nèi)有界，. 則由定義，使對時(shí)有. 由知，當(dāng)時(shí)，.于是取，則當(dāng)時(shí)有.所以時(shí)，為無窮小量.例如：，則.推論1：常數(shù)與無窮小之積為無窮小.推論2：有限個(gè)無窮小之積也是無窮小.性質(zhì)3：，其中.（此定理給出了極限和無窮小之間的關(guān)系）證 由知，當(dāng)時(shí)，.令，則有.是無窮小且.由知，又，即，當(dāng)時(shí)有，則.故.3.無窮大量與無窮小量的關(guān)系 或證，由知，對，當(dāng)有，則，故.，由，對，當(dāng)時(shí)，有，即，所以.三、無窮小的比較已知極限為0的函數(shù)為無窮小量，但它們

16、趨于0的快慢程度往往不同，如但 故有必要比較一下它們的快慢，這里用階的概念來表示.1. 定義：設(shè)， 若 ，則稱是比高階無窮小，記；若 ，則稱與同階；若 ，則稱是的階無窮小；若 ，則稱與等價(jià)，記.如：時(shí)， 與同階， 2. 等價(jià)無窮小在求極限中可作代換以簡化計(jì)算定理：若，且存在，則 .證 .在使用中要注意：（1）要記準(zhǔn)一些函數(shù)的等價(jià)無窮小；（2）代換時(shí)要么分子、分母一起換，要么只換分子或者分母，要么代換分子或分母中的部分因子，不可代換加式.時(shí)，等.例1.或者原式.例2 （）.應(yīng)該是 原式.例3 當(dāng)時(shí),都是無窮小, 因?yàn)?以及,所以, 當(dāng)時(shí), .例4 當(dāng)時(shí),，.所以, 當(dāng)時(shí), . 例5 設(shè)為實(shí)數(shù),容

17、易驗(yàn)證,=所以, 當(dāng)時(shí), . 作業(yè)：練習(xí)冊等7次第八講 連續(xù)函數(shù)教學(xué)內(nèi)容1. 函數(shù)的連續(xù)與間斷;2. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性;3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)目的與要求1. 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念;2. 了解函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右連續(xù)概念以及函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念;3. 會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)及其類型; 4. 了解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，知道反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;5. 知道連續(xù)函數(shù)的保號性;6. 了解初等函數(shù)的連續(xù)性；掌握用連續(xù)性計(jì)算初等函數(shù)的極限;7. 了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大、最小值定理、有界性定理、零點(diǎn)定理和介值定理.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的概念，間斷點(diǎn)的分

18、類;用連續(xù)性求極限、用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明一些問題教學(xué)時(shí)數(shù) 4一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷1、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性定義1 設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)有定義記 -自變量增量 -函數(shù)增量若,則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).幾何解釋：變量改變不大時(shí)，函數(shù)值也改變不大是函數(shù)連續(xù)的本質(zhì).定義2 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).定義3 （精確定義，了解）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)時(shí)，有成立，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).定義4 左、右連續(xù)若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù).從而可得函數(shù)連續(xù)的充要條件：2、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設(shè)在區(qū)間I上有定義，若，則稱函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)；若I為的定義域，則稱函數(shù)為連續(xù)函數(shù)

19、.對閉區(qū)間而言，端點(diǎn)的連續(xù)性分指左、右連續(xù).注：對有理分式 ，若，則，故有理分式在其定義域內(nèi)連續(xù).前面還有，則在內(nèi)連續(xù).用精確定義還可證明在內(nèi)連續(xù).3、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)、定義：若函數(shù)在處不滿足連續(xù)性的三個(gè)條件之一，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)或間斷，為的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).(2)、類型第一類間斷點(diǎn)：（1）（含不存在），則為可去間斷點(diǎn)（可補(bǔ)充或修改定義使其連續(xù)）； （2）若，但，則為跳躍間斷點(diǎn). 第二類間斷點(diǎn)：若、中至少有一個(gè)不存在，則稱為第二類間斷點(diǎn). 如，振蕩型 ，； 無窮型 ，.例1 求的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.解時(shí)無定義，故為的間斷點(diǎn)當(dāng)時(shí)， 為的第一類可去間斷點(diǎn)此時(shí)若補(bǔ)充 ，則在處連續(xù)當(dāng)時(shí)，為的第

20、二類無窮間斷點(diǎn)例2 討論 在處的連續(xù)性.解，二者不等為的第一類跳躍間斷點(diǎn)例3 討論 的連續(xù)性.解 定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，連續(xù)； 當(dāng)時(shí)，連續(xù)； 當(dāng)時(shí)，連續(xù)； 當(dāng)時(shí)，為的第一類跳躍間斷點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)， ，且， 在處連續(xù) 縱上所述，在上連續(xù).例4 研究 的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)則判斷其類型.解 先求的表達(dá)式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 不存在，即在處無定義 故 下面討論的連續(xù)性： 當(dāng)或時(shí)，連續(xù)當(dāng)時(shí)， 為的第一類跳躍間斷點(diǎn)當(dāng)時(shí)， 為的第一類跳躍間斷點(diǎn).二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理3在處連續(xù)，則、都在處連續(xù). （可推廣）2.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理4 單值單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單值單調(diào)連續(xù)的.證明略（見書）.如，在上單值單調(diào)連續(xù)，其反函數(shù)在上也是單值單調(diào)連續(xù)的定理5 設(shè)有，若（極限存在），（連續(xù)），則.證， ，當(dāng)時(shí)，有又 ，對上述 ，當(dāng)時(shí)，有 即 ，當(dāng)時(shí)，有. 即，.如 ，由復(fù)合而成 ，定理6 設(shè)有，若，則. （連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)的