第三節(jié) 微積分原理

1、第三節(jié) 微積分原理1定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功 2定積分性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2（其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4（定積分

2、對(duì)積分區(qū)間的可加性）說(shuō)明：推廣： 推廣: 性質(zhì)解釋：3微積分基本定理一般地，如果是在上有定義的連續(xù)函數(shù)，是在上可微，并且，則，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式，為了方便，常常把，記作，即.4、常見(jiàn)求定積分的公式（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（4）（5）（6）（7）定積分的計(jì)算1.求下列定積分（1）（2）（3）【解題思路】根據(jù)微積分基本定理，只須由求導(dǎo)公式找出導(dǎo)數(shù)為，的函數(shù)就可，這就要求基本求導(dǎo)公式非常熟悉.解：（1）（2）（3）題型2:換元法求定積分2.計(jì)算:【解題思路】：我們要直接求的原函數(shù)比較困難，但我們可以將先變式化為，再求積分，利用上述公式就較容易求得結(jié)果，方法簡(jiǎn)便易

3、行.解析：3計(jì)算：解析:84. .設(shè)則=（）A.B.C.D.不存在解析選C5.1|x|dx等于()A.1xdxB.1dxC.1(x)dxxdxD.1xdx(x)dx解析|x|1|x|dx1|x|dx|x|dx1(x)dxxdx，故應(yīng)選C.6設(shè)f(x)，則f(x)dx等于()A.B.C.D不存在解析f(x)dxx2dx(2x)dx取F1(x)x3，F(xiàn)2(x)2xx2，則F1(x)x2，F(xiàn)2(x)2xf(x)dxF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)02×2×22.故應(yīng)選C.7.|x24|dx()A.B.C.D.解析|x24|dx(4x2)dx(x24)dx.8若(2x3x2

4、)dx0，則k()A0 B1C0或1 D以上都不對(duì)解析(2x3x2)dx(x2x3)k2k30，k0或1.9. 計(jì)算下列定積分：(1)2xdx；(2)(x22x)dx；3)(42x)(4x2)dx；(4)dx.解析(1)2xdxx225025.(2)(x22x)dxx2dx2xdxx3x21.(3)(42x)(4x2)dx(168x4x22x3)dx32168.(4)dxdx3ln2.10計(jì)算下列定積分：（1）； （2）。解：（1）因?yàn)椋浴＃?）因?yàn)?，所以?1.計(jì)算解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓萊布尼茲公式有=12計(jì)算下列定積分：。由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表

5、示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)椋裕? 13計(jì)算解：=+=+=14. 求下列定積分：（1）（2）解：（1）因?yàn)?，所?。（2）因?yàn)椋?。定積分的應(yīng)用例題.求在上，由軸及正弦曲線圍成的圖形的面積.【解題思路】：因?yàn)樵谏希鋱D象在軸上方；在上，其圖象在軸下方，此時(shí)定積分為圖形面積的相反數(shù)，應(yīng)加絕對(duì)值才表示面積.y解析：作出在上的圖象如右0x與軸交于0、，所2求積【名師指引】利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：第一步：畫(huà)出圖形，確定圖形范圍第二步：解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限第三步：確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置第四步：計(jì)算定積分，求出平面圖形面積求平面圖形的面積的一般步

6、驟：畫(huà)圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上、下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值之和。關(guān)鍵環(huán)節(jié)：認(rèn)定曲邊梯形，選定積分變量；確定被積函數(shù)和積分上下限。知識(shí)小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：（1）由三條直線x=a、x=b（ab）、x軸，一條曲線y=（0）圍成的曲邊梯形的面積：S，如圖1。（2）由三條直線x=a、x=b（ab）、x軸，一條曲線y=（0）圍成的曲邊梯形的面積：S，如圖2。（3）由兩條直線x=a、x=b（ab）、兩條曲線y=、y=（）圍成的平面圖形的面積：S，如圖3。應(yīng)用舉例例1由yx3，x0，x2，y0圍成的圖形

7、面積分析：先畫(huà)出圖象，利用公式1轉(zhuǎn)化為定積分問(wèn)題即可解決解：如圖1，由公式1，得S評(píng)注：注意定積分與利用定積分計(jì)算曲線圍成圖形的面積區(qū)別定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負(fù)或零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正一般情況下，借助定積分分別求出每一部分曲邊梯形的面積，然后將它們加在一起例2由曲線yx2，y2x所圍成圖形的面積由yx21，yx，y在第一象限所圍成圖形的面積分析：先畫(huà)圖象找出范圍，利用公式2，用積分表示，再求積分解：如圖2，所求面積為陰影部分解方程組，得交點(diǎn)(0，0)，(1，1)，由公式2，得S如圖3，解方程組和，得x0，x1(負(fù)的舍去)，x4由公式2，得圖形面積S例3如圖：求

8、直線y=2x+3與拋物線y=x所圍成的圖形面積。分析：從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求出面積。為了確定出被積函數(shù)和積分和上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解：由方程組，可得。故所求圖形面積為：S（x3x）。例4求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積解析：如圖1，解方程組得兩曲線的變點(diǎn)為方法一：選取橫坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和，即方法二：選取縱坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積可據(jù)公式求得，即點(diǎn)評(píng)：從上述兩種解法可以看出，對(duì)y積分比對(duì)x積分計(jì)算簡(jiǎn)捷.因此，應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，積分變量的選取是至關(guān)

9、重要的.但同時(shí)也要注意對(duì)y積分時(shí)，積分函數(shù)應(yīng)是，本題須將條件中的曲線方程、直線方程化為的形式，然后求得積分另外還要注意的是對(duì)面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會(huì)變的，即定積分的值不會(huì)改變.例5求由三條曲線所圍圖形的面積.解析：如圖2，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，根據(jù)對(duì)稱性，只算出軸右邊的圖形的面積再兩倍即可解方程組和得交點(diǎn)坐標(biāo)方法一：選擇為積分變量，則方法二：可以選擇y為積分變量，求解過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己完成.點(diǎn)評(píng)：對(duì)稱性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響著計(jì)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度.1.=2. 3.=4.已知,當(dāng)=時(shí), .恒成立5. 計(jì)算以下定積分：；6.求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.7. 如圖，函數(shù)yx2

10、2x1與y1相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是()A1 B.C. D28. 已知函數(shù)yx2與ykx(k0)的圖象所圍成的陰影部分(如圖所示)的面積為，則k_.9設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A.B.C.D不存在10計(jì)算以下定積分：(1)(2x2)dx；(2)()2dx；(3)(sinxsin2x)dx；11. 下列等于1的積分是（）ABCD12. 等于A B. 2 C. -2 D.+213. 的值是ABCD14. 已知，則當(dāng)取最大值時(shí)，=_.15. 計(jì)算：=16. 已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+1，若成立，則a=_。17. 已知為偶函數(shù)，且，則_18. 計(jì)算下列定

11、積分。（本小題滿分10分）（1）（2）19.求由三條曲線所圍成的封閉圖形的面積20.如圖所示，已知曲線與曲線交于點(diǎn)O、A，直線(0<t1)與曲線C1、C2分別相交于點(diǎn)D、B，連接OD、DA、AB。（1）寫(xiě)出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。21.已知通過(guò)點(diǎn)（1,2），與有一個(gè)交點(diǎn)，且a<0。如下圖所示：（1）求與所圍的面積S與a的函數(shù)關(guān)系。（2）當(dāng)a,b為何值時(shí)，S取得最小值。歸納總結(jié)總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：（1） 畫(huà)圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；（2） 對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的