第四章 曲線積分

1、第四章 曲線積分與曲面積分§1對弧長的曲線積分教學目的：了解對弧長曲線積分的概念和性質(zhì)，理解和掌握對弧長曲線積分的計算法和應用 教學重點與難點：弧長曲線積分的計算 教學內(nèi)容：1.1 對弧長曲線積分的概念與性質(zhì)一、曲線形構件質(zhì)量設一構件占面內(nèi)一段曲線弧，端點為，線密度連續(xù)AoxyB求構件質(zhì)量。解（1）將分割（2），（3）（4）圖4-1-1二、定義 為面內(nèi)的一條光滑曲線弧，在上有界，用將分成小段，任取一點， 作和，令，當時，存在，稱此極限值為在上對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）記為:注意：（1）若曲線封閉，積分號（2）若連續(xù)，則存在，其結果為一常數(shù).（3）幾何意義=1，則=L（L為弧長

2、）（4）物理意義 M=（5）此定義可推廣到空間曲線=（6）若規(guī)定L的方向是由A指向B，由B指向A為負方向，但與的方向無關三對弧長曲線積分的性質(zhì)a：設，則=+b：=c：=。1.2 對弧長曲線積分的計算定理 設在弧上有定義且連續(xù)，方程 （），在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則曲線積分存在，且=。說明：從定理可以看出（1） 計算時將參數(shù)式代入，在上計算定積分。（2） 注意：下限一定要小于上限，< （恒大于零，>0）（3） ：, 時，=同理：，時，=(4) 空間曲線：， =例1 計算曲線積分，其中是第一象限內(nèi)從點到點的單位圓弧解 () ：=圖4-1-2() 若是象限從到的單位圓弧（1）=+=+=

3、+ =圖4-1-3(2) 若： () =+(3) ：，=例2 計算：所圍成的邊界解 在上 ，= 在上 = 圖4-1-4在上 =+例3 計算：解 ： 圖4-1-5，=或=例4 ： 圍成區(qū)域的整個邊界解 = 交點=+=+ 圖4-1-6 =+=+§2對坐標的曲線積分教學目的：了解對坐標曲線積分的概念和性質(zhì)，理解和掌握對坐標曲線積分的計算法和應用 教學重點、難點：對坐標曲線積分的計算 教學內(nèi)容：2.1 對坐標的曲線積分定義和性質(zhì)一引例 變力沿曲線所作的功。 設一質(zhì)點在面內(nèi)從點沿光滑曲線弧移到點，受力，其中，在上連續(xù)。求上述過程所作的功解 （1）分割 先將分成個小弧段(2) 代替 用近似代替，

4、近似代替內(nèi)各點的力，則沿所 做的功（3） 求和 （4）取極限 令的長度二、定義 設L為面內(nèi)從點A到點B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)在L 上有界.在L上沿L的方向任意插入一點列把L分成個有向小弧段設，點為 上任意取定的點.如果當個小弧段長度的最大值時，的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分，記作.類似地，如果的極限值總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上對坐標曲線積分，記作.即，說明 （1）當在上連續(xù)時，則，存在 （2）可推廣到空間有向曲線上（3）為有向曲線弧，為與方向相反的曲線，則=，= （4）設=，則=+ 此性質(zhì)可推廣到=組成的曲線上。2.2 對坐標的曲線積分的計算定

5、理 設，在上有定義，且連續(xù),當單調(diào)地從變到時，點從的起點沿變到終點，且在以，為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則存在，且=注意 （1）：起點對應參數(shù)，：終點對應參數(shù) 不一定小于 （2）若由 給出 （3）此公式可推廣到空間曲線：，：起點對應參數(shù)，：終點對應參數(shù)例1 計算：擺線，從點到點。解 原式= = = =例2 ：（1）曲線（2）折線 起點為，終點為.解（1）原式=（2） 原式=1故一般來說，曲線積分當起點、終點固定時，與路徑有關 圖4-2-1練習 1 計算，其中為（1）的拋物線上從到 一段弧。（2）拋物線上從到的一段弧。（3）有向折線，這里依次是點， (結論：起點，終點固定，沿不同路徑的

6、積分值相等。)2 計算從點到點的直線段3 兩類曲線積分的關系設有向曲線弧的起點 終點 取弧長為曲線弧的參數(shù)。 則若在 上具有一階連續(xù)導數(shù)，在上連續(xù)，則=圖4-2-2=其中，是的切線向量的方向余弦，且切線向量與 的方向一致，又=同理對空間曲線：=為在點處切向量的方向角，用向量表示：，為上處的單位切向量，為有向曲線元小結：1.對坐標的曲線積分概念和性質(zhì) 2. 對坐標的曲線積分的計算 3.兩類曲線積分的關系§3Green公式及其應用教學目的：理解和掌握Green公式及應用 教學重點、難點：格林公式的應用教學內(nèi)容：3.1 Green公式1單連通區(qū)域。設為單連通區(qū)域，若內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都

7、屬于。稱為單連通區(qū)域（不含洞），否則稱為復連通區(qū)域（含洞）。規(guī)定平面的邊界曲線的方向，當觀測者沿行走時，內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊，如右圖圖4-3-1定理1（格林公式） 設閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)和在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有=。為的取正向的邊界曲線。證 對既為型又為型區(qū)域：連續(xù)，= 圖4-3-2=：又=+ =對于型區(qū)域，同理可證 =原式成立對于一般情況，可引進輔助線分成有限個符合上述條件區(qū)域，在上應用格林公式相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證。幾何應用： 在格林公式中，取，=說明：（1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立 （2）記法= 圖4-3-3 （3）在一定條件下

8、用二重積分計算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計算二重積分。 （4）幾何應用。 例1 計算：解 原式=， ，例2 計算星形線圍成圖形面積解 =二、平面上曲線積分與路徑無關的條件1 曲線積分與路徑無關：是為一開區(qū)域，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，若內(nèi)任意指定兩點及內(nèi)從到的任意兩條曲線恒成立，則稱在內(nèi)與路徑無關。否則與路徑有關。 例1 ：從到的折線 ；：從到的直線 解 = 3：,即 =圖4-3-4定理2 設，在單連通區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則以下四個條件相互等價（1）內(nèi)任一閉曲線，=。（2）對內(nèi)任一曲線，與路徑無關（3）在內(nèi)存在某一函數(shù)使在內(nèi)成立。（4），在內(nèi)處處成立。證明 （1）（2） 在內(nèi)任取兩點

9、，及連接的任意兩條曲線，為內(nèi)一閉曲線 由（1）知，圖4-3-5即+=（2）（3）若在內(nèi)與路徑無關。當起點固定在（）點，終點為后，則是的函數(shù)，記為。下證 =的全微分為=。，連續(xù)，只需證， 由定義=+ =+ 圖4-3-6=， 即， 同理。（3）（4）若=，可證=， 由具有連續(xù)的一階偏導數(shù)故=（4）（1）設為內(nèi)任一閉曲線，為所圍成的區(qū)域。=。例2 曲線積分， 為過，和點的圓弧。解 令，則，與路徑無關。 取積分路徑為。+圖4-3-7=例3 計算，（1）為以為心的任何圓周。（2）為以任何不含原點的閉曲線。解 （1）令，圖4-3-8，在除去處的所有點處有=，作以0為圓心，為半徑作足夠小的圓使小圓含在內(nèi)，=，即=（2）=02 二元函數(shù)的全微分求積與路徑無關，則為某一函數(shù)的全微分為=+ 圖4-3-9注：有無窮多個。例4 驗證：是某一函數(shù)的全微分，并求出一個原函數(shù)。解 令，原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取，= 圖4-3-10例5 計算， 為從到再到，是半圓弧 解 令， ， 圖4-3-11添加直線，則，原式+= =