第7章定積分習(xí)題課

1、第七章 定積分習(xí)題課一、主要內(nèi)容1、可積性的判斷 重點(diǎn)掌握： 1個定義、三個充要條件一個定義指的是定積分的定義，要深刻理解定積分的定義，掌握定義的靈活應(yīng)用，掌握利用定義證明簡單函數(shù)的可積性，掌握定義中的兩個任意性（分割和點(diǎn)的選?。┑膽?yīng)用，即在已知函數(shù)可積的條件下，可在定義中取特殊的分割和特殊的分點(diǎn)，從而求解一個和式的極限得到定積分。三個充要條件指的是判斷函數(shù)可積的三個充分必要條件，第一充要條件通常用來處理簡單的特殊的具體函數(shù)的可積性，因?yàn)橹挥羞@樣的函數(shù)才容易計(jì)算其上下和；常用的是第二充要條件：將可積性的證明轉(zhuǎn)化為分割關(guān)系和振幅關(guān)系的討論；當(dāng)討論的函數(shù)涉及到連續(xù)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)或不連續(xù)點(diǎn)的分布時，用第二

2、個充要條件。定義和三個條件都是函數(shù)可積的充分必要條件，但是，這4個條件使用的對象不同，定義給出的條件既是定性的又是定量的，更側(cè)重于定量方面，通常涉及到定積分量的方面時，要首先考慮用定義處理；第一充分必要條件既是定性條件，又是定量條件，但是，它大多用于簡單特殊的具體函數(shù)的不可積性的論證；第二充要條件是定性條件，只能用于判斷函數(shù)的可積性，且側(cè)重于研究好函數(shù)的可積性，但對相應(yīng)的定積分值沒有任何信息；第三充分必要條件也是定性的，它側(cè)重于研究較差的函數(shù)的可積性，特別涉及到連續(xù)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)時，通常用第三充分必要條件。2、不可積的判斷常用的方法有：定義法通過選取不同的特殊分割和分點(diǎn)，使得對應(yīng)的和式極限或不存在或

3、不相同；Darboux和法利用Darboux上下和極限的不同得到不可積性。3、定積分的性質(zhì)要掌握利用定積分的性質(zhì)研究各種定積分問題。4、變限積分函數(shù)的性質(zhì)變限積分函數(shù)給出了一類新的函數(shù)形式，引入了一類新函數(shù)，要求掌握這類函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)。 5、定積分的計(jì)算掌握定積分計(jì)算的各種方法和技巧，包括：基本公式轉(zhuǎn)化為不定積分的計(jì)算，因而，可使用不定積分計(jì)算的相應(yīng)技巧和方法；特殊結(jié)構(gòu)的特殊處理方法。如被積函數(shù)為奇偶函數(shù)或具有周期性質(zhì)時。6、關(guān)于定積分的綜合運(yùn)用如計(jì)算有限和的極限、積分性質(zhì)的研究、積分與微分的關(guān)系研究等。二、例題分析A、可積性的討論經(jīng)常會遇到如下幾種情形：1、具體函數(shù)的可積性討論：通常用定義

4、結(jié)合特殊的有限和的極限判斷可積性，但是，當(dāng)給出的具體函數(shù)有有限個間斷點(diǎn)或無限個間斷點(diǎn)存在極限點(diǎn)時，需用第三充要條件討論可積性。2、抽象函數(shù)的可積性討論：簡單情形下，若知道函數(shù)更高級的分析性質(zhì)如連續(xù)、可微等性質(zhì)時，用第二充要條件證明其可積性此時；一般情形下，通常給出一個函數(shù)關(guān)系和一個函數(shù)的可積性，判斷另一個相關(guān)函數(shù)的可積性，此時通常通過研究函數(shù)間的振幅關(guān)系來研究其可積性的關(guān)系，當(dāng)函數(shù)分析性質(zhì)較好時用第二充要條件來處理，當(dāng)函數(shù)分析性質(zhì)較差時用第三充要條件來處理。事實(shí)上，能夠用第二充要條件的地方通常也能用第三充要條件，只是第二充要條件使用時更簡潔，更好用，因此，第三充要條件處理的題目更一般。3、若題

5、目要求不僅要證明可積性，還要證明積分關(guān)系式時（既有定性分析，也有定量分析），此時通常用定義來處理。4、論證函數(shù)不可積時，通?？紤]用第一充要條件。例1 討論的函數(shù)在0,1上的可積性。分析 這是具體函數(shù)可積性的討論，且函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)不清楚，因此，選擇定義討論其可積性。由于要證明的結(jié)論還不明確，函數(shù)即可能可積，也可能不可積，因此，這類題目較難，通常的處理方法是試探性方法，即先利用特殊的有限和的極限試探出可能的積分值，然后再用其它的特殊的有限和試探其正確性，根據(jù)試探的結(jié)果作出判斷，最后給出結(jié)論的驗(yàn)證。解、對任意的分割T，對應(yīng)的下和為：，因此，函數(shù)若可積，則必有。另，對n等分割，對應(yīng)的上和為，因此，

6、函數(shù)若可積，必有必有。綜合上述分析，函數(shù)不可積。注、例1也可以借助連續(xù)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)來判斷，即利用結(jié)論“函數(shù)可積的充要條件是不連續(xù)點(diǎn)的測度為0”。例1的函數(shù)的連續(xù)性是可以判斷的，事實(shí)上，可以證明，函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)，其余點(diǎn)是不連續(xù)性，因而，函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)的集合的測度為1，故函數(shù)是不可積的。但是，我們不能直接用這個結(jié)論直接判斷，因?yàn)榫臀覀兯鶎W(xué)習(xí)的積分理論中，沒有這個結(jié)論，因此，必須用已知的結(jié)論給予證明。當(dāng)然可以利用這個結(jié)論作輔助性判斷。例2 討論函數(shù)在0,1上的可積性。分析 處理思想如同前例，我們用更簡潔的方法。解、對0,1作n等分割，則函數(shù)若可積，則必有，其中。但是，若取為無理數(shù)，則，若取，則綜合上述

7、分析，函數(shù)不可積。注、例2中函數(shù)在x0、1時連續(xù)，其余點(diǎn)間斷，函數(shù)不可積。 我們將例2進(jìn)行修改，繼續(xù)討論定義的靈活運(yùn)用。例3 討論函數(shù)在0,1上的可積性。分析 此時例2的方法不再適用，原因是此時兩個有限和的極限都為0，由由于取時對應(yīng)的并不是上和，因而，還不能判斷函數(shù)是可積的，更不能判斷函數(shù)是不可積的。注意到時函數(shù)在有理點(diǎn)取值變號，因此，考慮將分段取值，試探函數(shù)的可積性，從而發(fā)現(xiàn)解題方法。解、對0,1作2n等分割，則函數(shù)若可積，則必有，其中。但是，若取為無理數(shù)，則，若取為無理數(shù)，則 ，綜合上述分析，函數(shù)不可積。 例4 利用定積分的定義證明微積分基本公式：設(shè)是在的原函數(shù)，證明。分析 不僅從題目的要

8、求，從結(jié)論的形式也可以確定，要用定義處理本題目。由定積分的定義，定積分就是一個有限和的極限，因此，要證明結(jié)論，需要借助有限和將等式兩端連接起來，故，關(guān)鍵的問題是右端如何轉(zhuǎn)化為有限和？轉(zhuǎn)化為什么樣的有限和？解決這些問題的出發(fā)點(diǎn)顯然是左端定積分所對應(yīng)的有限和，換句話說，假設(shè)左端的定積分為某個分割所對應(yīng)的有限和的極限：則對應(yīng)此分割，對應(yīng)右端可以通過插入分點(diǎn)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的有限和：，這樣左右兩端通過有限和的形式統(tǒng)一在一起了，這就是我們經(jīng)常提到的形式統(tǒng)一法，因此，剩下的問題就是研究兩個有限和后面的項(xiàng)的關(guān)系了，很容易利用微分中值定理實(shí)現(xiàn)二者間的轉(zhuǎn)化。證明：對任意的分割，由定義，各項(xiàng)含義見定義。對應(yīng)此分割，則利

9、用微分中值定理，存在，使得因而，。 例5設(shè)在有界，其不連續(xù)點(diǎn)為，其中證明 分析給出了不連續(xù)點(diǎn)的分布，因而用第三充要條件來討論。進(jìn)一步分析：可能破壞可積性的是不連續(xù)點(diǎn)，又知，有限個不連續(xù)點(diǎn)并不破壞可積性。本題中，不連續(xù)點(diǎn)有無限個，但都集中在點(diǎn)附近，故可將視為壞點(diǎn)?？陕?lián)想到挖洞法：挖去包含壞點(diǎn)的充分小的區(qū)域，在剩下的區(qū)域中，只含有限個不連續(xù)點(diǎn)，因而可積，對任意一個分割，振幅不能任意小的小區(qū)間（壞區(qū)間）的長度和可以任意小，再加上包含壞點(diǎn)的可以任意小的洞的長度，因而對應(yīng)于整個區(qū)間，壞區(qū)間的長度和仍可以任意小，故可積性成立。 證明：對和分割，（挖去壞點(diǎn)，即挖去區(qū)間，在剩下的區(qū)間和，分析可積性，為此，先分

10、析分割的關(guān)系。）設(shè)，記則 分別是對區(qū)間的分割，由于在區(qū)間上有有限個不連續(xù)點(diǎn)，因而可積，故存在，當(dāng)時，對應(yīng)于，使得的小區(qū)間的長度和，對應(yīng)于，使得的小區(qū)間的長度和，故，當(dāng)時，對應(yīng)于分割的小區(qū)間，使得振幅不小于的小區(qū)間長度和不超過對應(yīng)于和對應(yīng)于的部分和再加上被挖去的洞，即對應(yīng)于，使得的小區(qū)間的長度和滿足，因而 。例6 設(shè)非負(fù)函數(shù)，證明。分析 從題型分析可知，討論相關(guān)聯(lián)的兩個函數(shù)的可積性的關(guān)系，通常轉(zhuǎn)化為二者振幅關(guān)系的討論。證明：對任意的和，由于因而，對任意的分割，記、分別為、在上的振幅，則。因而，因而，由，利用第二充要條件可得。注、證明過程用到了Cauchy不等式：其中。注、也可以用第三充要條件證明

11、：事實(shí)上，由于，則對任意的，存在，使得對任意的分割T，當(dāng)時，由于，因而，若，必有，故，故，。例7 設(shè)，且時，因而，可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，證明。分析 題型結(jié)構(gòu)與例6相同，仍是討論相關(guān)聯(lián)的函數(shù)的可積性關(guān)系，因而，仍是討論其振幅關(guān)系，通過振幅關(guān)系，選擇合適的工具如第二或第三充要條件證明可積性。證明：對任意的，由于，因而，一致連續(xù)，故，存在，當(dāng)且時，。對a, b作分割T：，記、分別為、在上的振幅。則當(dāng)時，若 ，必有，這表明，若，則；因此，若，則，故。由于，由第三充要條件，則對上述和，存在分割T，使得，故，再次用第三充要條件，則。注、若減弱為，結(jié)論不一定成立，如取為0,1上的函數(shù)，則在0,1上可積但不連續(xù)。

12、取為0,1上的Riemann函數(shù)：，則。二者的復(fù)合函數(shù)為Dirichlet函數(shù)：，顯然，此函數(shù)不可積。例8若，則存在折線函數(shù)，使得。 注、由于涉及到一個定量結(jié)果，須從定義出發(fā)考慮其證明，因此，關(guān)鍵的問題是如何將有限和的極限轉(zhuǎn)化為折線函數(shù)積分的極限。由于對任意給定的分割，對應(yīng)連接各分點(diǎn)可以得到一個折線函數(shù)，因此，折線函數(shù)的結(jié)構(gòu)基本是確定的，故問題的求解思路是利用特殊的分割和特定點(diǎn)的選擇，通過定義，將定積分通過特殊對應(yīng)的有限和的極限和折線函數(shù)極限聯(lián)系起來。證明：由于，等分割，則記為連接各分點(diǎn)（）的折線函數(shù)，其中。顯然，連續(xù)，且，因而， ，因此， 。注、上述證明中用到了積分的計(jì)算，也可以用積分估計(jì)來

13、證明。事實(shí)上，當(dāng)時，取值于、之間，因而又，因此，故，利用可積的第一充要條件，則。注、從上述注的證明中，結(jié)論可以加強(qiáng)為：。注、由于折線函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，本題結(jié)論也可以表示為：若，則對任意的，存在連續(xù)函數(shù)，使得，當(dāng)然，也成立更強(qiáng)的結(jié)論：存在連續(xù)函數(shù)，使得。 即可積函數(shù)可以用連續(xù)函數(shù)逼近。例9 若，證明：其中 。 分析這一結(jié)果也稱為積分連續(xù)性，由于涉及到一個定量結(jié)果，我們采用定義和性質(zhì)證明此結(jié)論，即先利性質(zhì)證明可積性，再用定義證明等式結(jié)果。從中可以看出利用定義證明積分結(jié)果的靈活性。 證明：1）定性分析：當(dāng)充分小時的可積性。由于在上可積，取h充分小，使得，因而，在上可積，則 在上可積，因而，在上可積。

14、2）、定量分析：證明等式成立。由于可積，因而對任意時，成立。其中，為在上的振幅。等分割：，使得，其中。取，由定積分的定義另一方面，當(dāng)時，因而故，。注、從定量分析的過程看，問題的關(guān)鍵是:通過特殊的分割、特殊的取點(diǎn)和的限制，使得同時屬于小區(qū)間，這也是為什么先證明可積性的原因。注、也可以利用例8的結(jié)論證明例9：由例8，對任意的，存在連續(xù)函數(shù)，使得，因而， 因此，只需對連續(xù)函數(shù)，證明相應(yīng)的結(jié)論成立即可，利用連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性，這是很容易的。 例10、設(shè)，證明，其中為對的分割，。 證明：由于而第二項(xiàng)利用有界性和可積性，極限為零。下面的例子給出了函數(shù)和其反函數(shù)的積分關(guān)系。例11 設(shè)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增且連續(xù)

15、，其反函數(shù)為且，證明：。分析 從幾何圖形上，很容易從面積關(guān)系上看出上述等式，另一方面，上述關(guān)系是一個定量關(guān)系式，因此，我們必須從定義出發(fā)證明它。證明：顯然，和都是可積函數(shù)。對進(jìn)行n等分，分點(diǎn)為，記，則得到的一個分割：，因而，例12 設(shè)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增且連續(xù)，證明：對任意的成立：。由此可得：當(dāng)時成立。證明：由例11，則，因而，當(dāng)時，等號成立；當(dāng)時，則，故，；當(dāng)時，同樣可以證明結(jié)論成立。取可以證明最后的不等式成立。 B、定積分的各種運(yùn)用 本小節(jié)中，包含定積分的各種運(yùn)用，如有限和的極限、定積分的估計(jì)、積分性質(zhì)的討論、與微分學(xué)的關(guān)系等。1、有限和的極限基本原理：若可積，則，取特殊的分割和特殊分點(diǎn)的選取

16、，可將定積分和有限和的極限聯(lián)系起來，如 ，因而，可以利用定積分計(jì)算一些特殊的有限和的極限。例13 計(jì)算。分析 這是一個有限和的極限，根據(jù)定積分的定義，通過和式中各項(xiàng)的含義確定相應(yīng)的定積分的各個元素。顯然，從結(jié)構(gòu)看，由此可以推斷：區(qū)間長度為1；應(yīng)滿足，通過可以推斷：，；由此確定積分下限為，上限為，相應(yīng)的定積分就可以確定了。解、由定積分的定義，則。注、也可以取，此時a1，b2，。例14計(jì)算。分析 這是一個有限和的極限，盡可能轉(zhuǎn)化為定積分所要求的有限和的極限形式，為此，需要進(jìn)行技術(shù)處理，具體見解題過程。解、原式 2 2對區(qū)間0,1作如下分割：，取為分割小區(qū)間的左端點(diǎn)，則因此，故，；故， 原式2。注、

17、對分子也可以這樣處理：對區(qū)間0,1作n等分割：，取為分割小區(qū)間的中點(diǎn)，即則，因而， 原式2 。 因此，對這類有限和的極限可以根據(jù)對定積分的理解靈活選擇分割和分點(diǎn)。2、積分的極限問題這里，我們討論兩種類型的極限問題：1、積分號下的極限問題，即極限的計(jì)算；2、與變限積分有關(guān)的極限。對積分號下極限問題，由于還沒有進(jìn)一步的工具，我們不知道極限和積分換序的條件，不能將極限轉(zhuǎn)移到積分號下進(jìn)行，因此，必須借助積分中值定理等其它積分性質(zhì)完成極限的計(jì)算。對與變限積分有關(guān)的問題，可以借助微分和積分中值定理、積分的性質(zhì)、LHospitial法則等計(jì)算極限。例15 計(jì)算下列極限： 1）、； 2）； 3）、； 4）、，

18、其中。分析 對這類極限，最直接的方法是將積分計(jì)算出來，得到一個具體的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為一個具體的極限，再進(jìn)行計(jì)算；但是，對大多這樣的極限來說，先將積分計(jì)算出來基本是不可能的，通常的處理思想是利用各種技術(shù)手段將被積函數(shù)簡化，對積分進(jìn)行估計(jì)，利用估計(jì)結(jié)果計(jì)算極限，常用方法有直接估計(jì)法、積分中值定理方法利用積分中值定理將復(fù)雜的因子提取出來，計(jì)算剩下的簡單的積分，再進(jìn)行、估計(jì)計(jì)算；對較難估計(jì)的積分，有時還需用挖洞方法，將積分分段估計(jì)。試分析下列各題的求解方法和思想。解、1）、法一、由于，故，0。法二、由積分中值定理，存在，使得故，0。注、兩個方法的思想基本是一致的。2）、由于被積函數(shù)沒有嚴(yán)格小于1的界（在x

19、0點(diǎn)破壞了這個性質(zhì)），為此，我們將積分分段處理。對任意的，由于，因此，存在N，當(dāng)時，因此，當(dāng)時，故，0。3）、由于對任意的，都有1，因而可以設(shè)想，下面證明整個結(jié)論。顯然，。對任意的，由于，因此，存在N，當(dāng)時，故，當(dāng)時，因此，。注、第2和第3兩個小題有一個共同的特點(diǎn)：積分區(qū)間上有一點(diǎn)破壞了被積函數(shù)所具有的性質(zhì)，所采用的處理方法就是挖洞方法，在壞點(diǎn)處挖取一個充分小的洞，考察在剩下部分上的性質(zhì)。4）、分析 從結(jié)構(gòu)看，若上限嚴(yán)格小于1，則極限為0，因此，x1是壞點(diǎn)，注意到在此點(diǎn)附近有性質(zhì)因而，可以設(shè)想。下面證明這個結(jié)論?？紤]。由于，因此，對任意的，存在，使得當(dāng)時，因此，由于，因而，存在M>0 ，

20、使得，故，由于，因而，存在N,使得n>N時，又，因而 ，當(dāng)n>N時，故，0，因而，。注、這和挖洞方法思想是一致的，當(dāng)時，可以用更簡單的分部積分來處理：設(shè)，則而，因而，。 例16 設(shè)，證明。分析 由要證明的結(jié)論，為了產(chǎn)生f（0），對結(jié)論變形為：由于 故，只需證明：。顯然，對右端的積分，分兩部分處理：在x0附近，利用f（x）f（0）充分小，控制積分，對剩下的部分，要利用t趨于0來實(shí)現(xiàn)充分小。證明：只需證明。由于，因而，對任意的，存在，使得時因而， 由于，因而有界，設(shè)，故由于因而，存在，使得時因而，時，故，。注、將上述證明思想抽取出來，可以給出更簡潔的證明：對第一部分用第一積分中值定理，

21、則對第二部分作估計(jì)。變限積分的極限例17 計(jì)算下列積分： 1）、； 2）、； 3）、； 解、1）法一、從結(jié)構(gòu)看，在積分區(qū)間內(nèi)都有極限且極限為0，因此，分析要點(diǎn)是能否將其分離出來，我們知道，從積分號下分離因子的工具是積分中值定理，我們試著用中值定理進(jìn)行處理，可以計(jì)算出結(jié)論。利用第二積分中值定理，存在，使得，故，0。法二、實(shí)際上有更簡單的方法直接估計(jì)。由于。2）、從結(jié)構(gòu)看，與1）積分結(jié)構(gòu)類似，因此，處理的方法是如何將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為1）中的結(jié)構(gòu)。 令，則，由積分第二中值定理，存在，使得，故，0。3）、法一、與1）類似，采用第二積分中值定理，存在，使得，因而，0法二、注意到若直接采用估計(jì)方法，由于積分

22、號下的冪次太高，為此，對其進(jìn)行降冪處理，我們知道求導(dǎo)可以降冪，而分部積分可以實(shí)現(xiàn)對因子的求導(dǎo)，因此，利用上述思想可以計(jì)算出結(jié)果。利用分部積分公式，則而，因此，0。 例18 設(shè)，證明。分析 若可導(dǎo)，且求導(dǎo)和求積可以換序，則很容易就可以證明結(jié)論，在現(xiàn)有條件下，既然我們不知道求導(dǎo)和求積可以換序，但是，我們知道變限積分的求導(dǎo)運(yùn)算，因此，我們希望將變量h轉(zhuǎn)移到積分限上，利用變限積分的求導(dǎo)理論處理極限問題。證明：由LHospital法則，。例19設(shè)對任意的A>0,，且，證明：。分析 若，則可微，直接用LHospital法則即可證明結(jié)論。在現(xiàn)有條件下，我們采用LHospital法則的證明思想。證明：由

23、于，則對任意的，存在，使得時，因而，當(dāng)時，由條件可知，在有界，設(shè)，則，因而，當(dāng)時，故，。C、積分與微分綜合運(yùn)用下面幾個例子涉及到積分條件下的函數(shù)零點(diǎn)或介值點(diǎn)問題。 例20設(shè)且在可微，若，證明存在使得。 分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題，聯(lián)想到Rolle定理，尋找Rolle 定理的條件：兩點(diǎn)函數(shù)值相等。本題的條件中，已經(jīng)給出一個函數(shù)值等于一個積分，因此，問題就轉(zhuǎn)化為能否從定積分中分離出一個函數(shù)值，聯(lián)想到積分中值定理就可以找到證明的思路。 證明：由積分中值定理，利用Rolle定理可得結(jié)論。 例21 設(shè)，且，證明：對任意的成立：。分析 由于的任意性，因此，要證明的不等式可以視為關(guān)于變量的函數(shù)不等式，故可以利用函

24、數(shù)不等式的證明方法如單調(diào)性、中值定理等方法來證明。證明：令，則，由于，故，。 利用分部積分公式，則，故，對任意的，。 例22 設(shè)，證明：存在使得。 分析 這是一個函數(shù)的零點(diǎn)問題，常用的處理工具是連續(xù)函數(shù)的介值定理、Rolledli定理，從本題結(jié)論的結(jié)構(gòu)看，由于等式的左端正好是一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，因此，應(yīng)該用Rolle定理來證明結(jié)論。而從條件形式，肯定要借助x1點(diǎn)的函數(shù)值關(guān)系，我們挖掘此點(diǎn)的信息。 證明：令，則，由條件，利用積分第一中值定理，存在，使得因而，由Rolle定理，存在使得。例23設(shè)，證明：使得。分析 從結(jié)論形式結(jié)合我們證明這類介值問題的思想方法，可以確定證明的方法：將介值變?yōu)樽兞浚D(zhuǎn)

25、化為函數(shù)的零點(diǎn)問題。證明： 令，由于，故。顯然 。若，取；若，則，由連續(xù)函數(shù)的介值定理：使得，即。例24設(shè)，且，證明：存在，使得。分析 這是一個函數(shù)的零點(diǎn)問題。但是，我們應(yīng)該把它視為連續(xù)函數(shù)的介值點(diǎn)還是視為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，注意到條件是積分形式，而變限積分 的導(dǎo)數(shù)正是該函數(shù)，因此，應(yīng)考慮用Rolle定理證明，為此，需要構(gòu)造，要證明的是F（x）的導(dǎo)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，因此，F(xiàn)（x）應(yīng)該至少有三個等值的點(diǎn)，由第一個定量條件很容易找到F（x）的兩個零點(diǎn)兩個等值點(diǎn)，因此，還必須找到其第三個零點(diǎn)，這必然借助于第二個定量條件來完成。因而，必須建立F（x）和第二個定量條件的關(guān)系，整個證明的關(guān)鍵問題正是通過第二個定量

26、條件確定F（x）的零點(diǎn)。我們先從關(guān)系的分析入手，要從第二個定量條件中產(chǎn)生F（x），即將其導(dǎo)函數(shù)還原到原函數(shù)，涉及到函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換，由此，考慮用分部積分：即注意到，因此，F(xiàn)（x）必然變號，至此，問題解決。證明：令，則，且，因而，即。利用積分性質(zhì)，若，則必有，因而，存在，使得。故，存在，使得。下面幾個例子涉及到積分不等式。首先看積分間的比較。 例25設(shè)在上單調(diào)不增，證明：對有 。 分析兩個定積分之間的比較有兩種方式：其一、被積函數(shù)相同，比較積分區(qū)間；其二、積分區(qū)間相同，比較被積函數(shù)。本題上述兩種方法都可以。 證明：法一、利用被積函數(shù)相同，比較積分區(qū)間由于，因此，要使原式成立，只須等價于 由中值

27、定理，等價于 ，其中，由函數(shù)的單調(diào)不增性質(zhì)，此時顯然成立。 法二、積分區(qū)間相同，比較被積函數(shù)。 對左端定積分作換元，轉(zhuǎn)化為與右端相同的積分限。即令，則利用單調(diào)不增性質(zhì)，則，利用積分的保序性質(zhì)，立即得證。 例26設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)，證明 ，成立 分析：與例23類似，通過換元，轉(zhuǎn)化為相同的積分限再比較。換元公式的選擇相當(dāng)于求直線方程。證明：令，利用單調(diào)性及且當(dāng)時，則。還有些積分間的關(guān)系是通過Schwarz不等式來完成的。例27 設(shè)，證明：，這就是Schwarz不等式。證明：對任意的實(shí)數(shù)，則，即，由于上式對任意的實(shí)數(shù)都成立，因而，故，結(jié)論成立。 注、Schwarz不等式的作用一是將平方轉(zhuǎn)移

28、到積分號下，得到一些積分關(guān)系；二是借助特殊的、關(guān)系得到一些積分結(jié)論。看下面的例子。例28 設(shè)且，證明。證明：由Schwarz不等式，取即得。例29 設(shè)，證明：。分析 首先建立函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，有積分關(guān)系，也有微分關(guān)系，分別試著去驗(yàn)證，確定一個合適的方法。證明：由于由Schwarz不等式得，兩端積分既得結(jié)論。由于定積分可以視為變限積分在某一點(diǎn)的值，因此，積分關(guān)系式也可以轉(zhuǎn)化為變限積分函數(shù)的函數(shù)值關(guān)系。例30 設(shè)，證明：。證明：令，用兩次Cauchy微分中值定理，則其中。故，結(jié)論成立。例31 設(shè)且單調(diào)遞增，證明：。證明：令，則由于，故，特別。下面的積分不等式實(shí)際上是利用積分或微分的性質(zhì)對積分進(jìn)

29、行估計(jì)。例32設(shè)定義在上且滿足對任意，證明：。 分析本題類型在不同的兩項(xiàng)之間作比較，因此，首先要進(jìn)行形式統(tǒng)一。兩種方法：其一、利用積分中值定理將定積分形式轉(zhuǎn)化為第二種形式；其二、將第二種形式轉(zhuǎn)化為定積分。兩種方法都試一下。 證明：利用條件先說明可積性，然后估計(jì)。法一、由于 法二、利用積分中值定理。 注、從上述證明過程可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法都能給出類似的估計(jì)，只是在估計(jì)的精度上有所區(qū)別。 例33設(shè)在上可微且，證明：對任意正整數(shù)，都有。 分析與上例類似，要經(jīng)過兩次統(tǒng)一形式。 證明：左 （形式統(tǒng)一） （形式統(tǒng)一） （微分中值定理）注、也可以利用例30的法二在第二次形式統(tǒng)一時，將形式統(tǒng)一為非積分形式，可發(fā)

30、現(xiàn)估計(jì)精度不同。例34設(shè)，記，證明： 。分析 這是兩種不同形式間的比較，因此，先進(jìn)行形式統(tǒng)一，再進(jìn)行研究。證明：令，利用微分中值定理和積分中值定理，則其中 。故，。注、上述證明過程中，我們對積分項(xiàng)直接使用了第一積分中值定理，可以證明這樣處理是可以的，事實(shí)上，設(shè)當(dāng)時，因此，故，由介值定理，則存在，使得即。 例35證明：若 且都有， 則 。 分析觀察條件中不等式的結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)不等式具有如下結(jié)構(gòu)形式：。這類不等式通常用配因子的方法，轉(zhuǎn)化為某個函數(shù)的完全導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，由此得到這個函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步挖掘所需要的結(jié)論，過程如下：因而 ，由此得到推廣：利用 ，可將部等式結(jié)構(gòu)推廣到如下類型可用類似的方法得到估

31、計(jì)。當(dāng)然還有其他的方法。 證明：法一、即，則 因而，故。 法二、由連續(xù)性，故可設(shè)。顯然。，利用積分中值定理 ， 類似，因而，繼續(xù)上述過程，則對任意正整數(shù)，由于 ，則 ，故由任意性再次利用連續(xù)性 。命題得證。 注、從上述兩個方法來看，法一優(yōu)于法二。同時還可以看出，法一不須修改就可以將變量的范圍擴(kuò)展到任意區(qū)間，法二只在區(qū)間上成立。 例36設(shè)，證明：。 分析觀察與上例具有類似的特點(diǎn)。 證明：記，則 ，因而左端。例37設(shè)且，證明，其中 分析從結(jié)論形式看，關(guān)鍵是如何從定積分中分離出導(dǎo)數(shù)。分離的方法有：微分法 對被積函數(shù)利用微分中值定理右端都是已知項(xiàng)。 積分法 對整個積分利用分布公式適當(dāng)選擇，都可以得到估計(jì)，但可以看到估計(jì)精度不同，用微分法估計(jì)系數(shù)只能達(dá)到而達(dá)不到。 證明：，選取，使得 ，取即可。事實(shí)上，當(dāng)時，達(dá)到最小值。因而是最好的估計(jì)系數(shù)。 例38設(shè)在上連續(xù)可微，證明 分析本題要求將的積分聯(lián)系起來。下面的公式給出三者之間的關(guān)系。關(guān)鍵如何選擇。證明：取 ，則因而，。利用中值定理，存在，使得取即可。例39 設(shè)，證明： 1）、； 2）、。分析 1）是要求建立函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)積分的關(guān)系，這是積分的一個基本性質(zhì)，很容易建立這樣的關(guān)系。對2），在這樣的題型中，一定要注意充分利用1）的結(jié)論，對1）兩端平方后，右端需要將平方運(yùn)算移至積分號下，這正是