第六屆清華大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)大賽趣味組答案

1、趣味組(2小時，滿分100分)聲明：本文大部分文字、圖片來源于Matrix67的博客。一、(5分)找規(guī)律，畫出下一個圖形：答案：(只要看起來是字母J的輪廓即可，不限字體)。分析：這些圖形分別是字母A到J的“輪廓”假設(shè)我們在從A到J的每個字母外面拉上一圈橡皮筋，松手之后橡皮筋就依次變成了圖中的這些形狀。二、(10分)用19排成一個無重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)。要求：這個九位數(shù)前位排成的位數(shù)能被整除。答案：381654729(唯一解)。三、(15分)一架客機上有100個座位，100個人排隊依次登機。第一個乘客把機票搞丟了，但他仍被允許登機。由于他不知道他的座位在哪兒，他就隨機選了一個座位坐下。以后每一個乘客

2、登機時，如果他的座位是空著的，那么就在他的座位坐下；否則，他就隨機選一個仍然空著的座位坐下。請問，最后一個人登機時發(fā)現(xiàn)唯一剩下的空位正好就是他的，其概率是多少？答案：1/2。分析一：當(dāng)最后一個乘客登機時，最后一個空位要么就是他的，要么就是第一個乘客的。由于所有人選擇座位時都是隨機選擇的，這兩個位置的“地位”相等，它們所面對的“命運”是相同的，不存在哪個概率大哪個概率小的問題。因此，它們成為最后一個空位的概率是均等的。也就是說，最后一個人發(fā)現(xiàn)剩下的空位正好是他的，其概率為1/2。分析二：用遞推和歸納的方法，同樣得到1/2。四、(10分)空間中有六個點，兩兩間的距離互不相等?？紤]所有以這些點為頂點

3、構(gòu)成的三角形。證明：存在某個三角形，它的最長邊是另外某個三角形中的最短邊。解答：似乎應(yīng)補充條件“任意三點不共線”?？紤]以這些點為頂點的全體三角形。依次把每一個三角形的最短邊染成紅色，然后把那些沒有染色的線段染成藍色。由Ramsey定理我們知道，把六個點兩兩間的所有連線進行紅藍二染色，則總能找到一個三邊同色的三角形。但在我們這里的構(gòu)造中，不可能有哪個三角形三條邊都是藍色的，因為每個三角形中都有一條最短邊，根據(jù)構(gòu)造它已經(jīng)被我們?nèi)境杉t色了。因此，在我們的染色構(gòu)造中存在一個全是紅色邊的三角形。這個三角形就是滿足題意的三角形它有一條最長邊，并且由于它是紅色的，它一定是另外某個三角形的最短邊。五、(5分)

4、已知右圖的四點分別在一個正方形的四條邊上，試確定這個正方形。答案：如圖，過點作的垂線，并截取點使。那么，和在正方形的同一邊上。然后過、作的垂線，垂足為就是正方形的兩個頂點。于是確定了正方形的邊長和兩個頂點，然后就容易了。六、(10分)數(shù)列由，定義。求通項公式。答案：，為1，1，2，3，5，8，是Fibonacci數(shù)列。進一步，其中，。七、(10分)構(gòu)造一個定義在上的函數(shù)，使得其圖像關(guān)于原點逆時針旋轉(zhuǎn)90度后和原圖像完全重合。答案：(不唯一)。八、(10分)一個機器洗牌時總是以相同的方式打亂牌的順序。把A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K放進去，用機器連續(xù)洗兩次牌之后，順序變?yōu)榱?/p>

5、10,9,Q,8,K,3,4,A,5,J,6,2,7。求機器第一次洗牌之后的順序。答案：9,A,4,Q,J,7,3,2,10,5,K,8,6。分析：原題相當(dāng)于有一個113的置換,，。容易驗證是恒等變換，進而是恒等變換。因此，可以求出洗牌方式。九、(15分)右圖是一輛自行車在泥地中駛過留下的痕跡，你能據(jù)此判斷出這輛自行車是從左往右行駛的還是從右往左行駛的嗎？給出你的猜測與判斷依據(jù)。提示：行駛方向和圖中的線條粗細、邊緣鋸齒沒有關(guān)系，你完全可以把兩道痕跡當(dāng)作沒有粗細之分的理想曲線。答案：從右往左。分析：自行車只有前車輪可以自由改變方向，后車輪的方向始終指向前車輪的中心。也就是說，如果把前后車輪的痕跡

6、分別記為曲線和曲線，時刻前車輪的位置記為，后車輪的位置記為，則對任意時刻，和的連線都與曲線相切，且這條連線的長度是一個定值(兩車輪間的距離)。換個角度來說，曲線上任意一點的(其中一個方向上的)切線一定會與曲線產(chǎn)生交點，且兩個點的距離是一個定值。由于曲線的切線一定與另一條曲線相交，作出兩條曲線各個部分上的切線，我們就可以區(qū)別出兩道車輪印哪條是前輪痕跡，哪條是后輪痕跡。下面在曲線上任意取幾個點，比如、，我們只需要找出對應(yīng)的、的位置，即可還原出自行車行駛的大致過程了。作出各個的切線，它與曲線的交點就應(yīng)該是各個的位置。但這些切線與曲線都有兩個交點，哪個才是真正的呢？利用與間的距離為定值這一結(jié)論，我們可

7、以看出，只有位于各左邊的那些交點才與保持相同的距離。因此，自行車是從右往左行駛的。十、(10分)12個球一個天平，現(xiàn)知道只有一個和其它的重量不同，問怎樣稱才能用三次就找到那個球。(注意此題并未說明那個球的重量是輕是重，所以需要仔細考慮)答案：為便于區(qū)分，我們先將12個球標(biāo)上號碼，分別為112號，再將天平分為左右兩邊。第一次：將1、3、5、7號球放在天平的左邊，將2、4、6、8號球放在天平右邊。將會出現(xiàn)三種可能：1、天平平衡，證明有問題的球在9、10、11、12號球中；2、左側(cè)下沉，說明有問題的球在1、2、3、4、5、6、7、8號球中；3、右側(cè)下沉，說明有問題的球在1、2、3、4、5、6、7、8號球中，如果將天平扭過來，與左側(cè)下沉相同。第二次：天平左側(cè)放1、3、4號球，右側(cè)放2、5、9號球，也有三種可能：1、天平平衡，證明有問題的球在6、7、8號球中（第三次A）；2、左側(cè)下沉，說明有問題的球在1、2、3號球中（第三次B）；3、右側(cè)下沉，說明有問題的球在4、5號球中（第三次C）。第三次A：分別將6、8號球放在天平的兩側(cè)，如果