第10章量子力學(xué)基礎(chǔ)

1、第十章 量子力學(xué)基礎(chǔ)思 考 題10-1 什么是絕對黑體？它與平常所說的黑色物體有何區(qū)別？答：(1)在任何溫度下都能全部吸收照射到它表面上的各種波長的光，這種物體稱為絕對黑體，簡稱黑體。但黑體自身要向外界輻射能量，黑體并不一定是黑色，它的顏色是由它自身所發(fā)射的輻射頻率決定的。若溫度較低，則它輻射的能量就很少，輻射的峰值波長會遠大于可見光波長，會呈現(xiàn)黑色；若溫度較高，則它輻射的能量就很大，輻射的峰值波長處于可見光波長范圍內(nèi)，會呈現(xiàn)各種顏色。(2)平常所說的黑色的物體，用肉眼看起來是黑色的，只表明它對可見光強烈吸收，并不能說它對不可見光（紅外線、紫外線）都強烈吸收，所以黑色物體的單色吸收本領(lǐng)并不恒等

2、于1，一般不能稱為黑體。 10-2 若一個物體的溫度(絕對溫度數(shù)值)增加一倍，它的總輻射能增加到多少倍? 答：根據(jù)斯特藩玻耳茲曼定律，絕對黑體的總輻出度(總輻射能)為現(xiàn)在，于是即絕對黑體的溫度增加一倍，它的總輻射能將增至為原來的16倍。10-3 假設(shè)人體的熱輻射是黑體輻射，請用維恩位移定律估算人體的電磁輻射中單色輻出度的最大波長（設(shè)人體的溫度為310K）。答：根據(jù)維恩位移定律可得10-4 所有物體都能發(fā)射電磁輻射，為什么用肉眼看不見黑暗中的物體？答：物體要能夠被眼睛觀察到，必須需要兩個條件：（1）物體要發(fā)射或者反射出眼睛能感覺到的可見光，其波長范圍大約為0.400.78m；（2）可見光的能量要

3、達到一定的閾值。根據(jù)黑體輻射，任何物體在一定溫度下都發(fā)射出各種波長的電磁輻射，在不同溫度下單色輻出度的峰值波長不同。黑暗中周圍物體的溫度等于環(huán)境溫度（近似為人體溫度），單色輻出度的峰值波長在10m附近，在可見光波長范圍的電磁輻射能量都比較低，因此不能引起眼睛的視覺響應(yīng)。10-5 請用一些日常生活中所見到的例子說明在物體熱輻射的各種波長中單色輻出度最大的波長隨物體溫度的升高而減小。答：火焰外焰溫度高，內(nèi)焰相對溫度低；觀察火焰，發(fā)現(xiàn)內(nèi)焰顏色偏紅，外焰顏色偏藍（紅光波長大于藍光波長），可見單色輻出度的峰值波長隨物體溫度的升高而減小。10-6 普朗克提出了能量量子化的概念，在經(jīng)典物理學(xué)范圍內(nèi)有沒有量子

4、化的物理量？請舉出例子。答：在經(jīng)典物理學(xué)范圍內(nèi)有量子化的物理量，比如說電荷的量子化。10-7 什么是愛因斯坦的光量子假說，光子的能量和動量與什么因素有關(guān)？答：愛因斯坦認為，一束光是一束以光速運動的粒子流。這些粒子稱為光量子，后來簡稱光子。不同顏色的光的光子能量不同，若光的頻率為，一個光子具有的能量為，光子的動量為，可見光子的能量和動量都與它的頻率或者波長有關(guān)。10-8 光子與其他微觀粒子有什么相似和不同？答：(1)相同點：光子與其他微觀粒子（電子、質(zhì)子、中子等）都具有波粒二象性，都可以用、和等物理量描述；他們都遵守能量守恒與動量守恒定律。（2）不同點：光子的靜止質(zhì)量為0且呈電中性，而其他微觀粒

5、子（如電子）靜止質(zhì)量不為0且有可能帶電；光子與其他微觀粒子的自旋也不同，服從不同的統(tǒng)計規(guī)律。10-9 “光的強度越大，光子的能量就越大”。這句話對嗎？答：不對,光的強度是單位時間內(nèi)照射在單位面積上的光的總能量。一定頻率的光強度越大，表明光子數(shù)量越多，但每個光子的能量是一定的，只與頻率有關(guān)，而與光子數(shù)量無關(guān)。10-10 已知一些材料的逸出功如下：鉭4.12 eV，鎢4.50eV，鋁4.20 eV，鋇2.50 eV，鋰2.30 eV。試問：如果制造在可見光下工作的光電管，應(yīng)取哪種材料?答：可見光的波長范圍(按能量從低到高排列)可取為(760400)nm，對應(yīng)的光子能量由可知在(1.643.11)e

6、V范圍內(nèi)。根據(jù)愛因斯坦光電效應(yīng)方程，在可見光下能發(fā)生光電效應(yīng)的材料應(yīng)滿足：0。所以，應(yīng)取鋇和鋰。10-11 日常生活中，為什么覺察不到粒子的波動性和電磁輻射的粒子性？答：根據(jù)德布羅意假設(shè)，粒子的動量大，相應(yīng)的波長就小。日常生活中的粒子動量很大，波長很短，故粒子的波動性不明顯。日常生活中的電磁輻射的波長相對較長（頻率為數(shù)量級，波長為左右），容易繞過障礙物，所以電磁輻射的粒子性很難覺察到。10-12 一個電子和一個原子具有相同的動能，相應(yīng)的德布羅意波長哪個大？答：電子和原子的動能均為 又因為 所以 由于原子的質(zhì)量大于電子的質(zhì)量，根據(jù)上式可知原子的德布羅意波長小于電子的德布羅意波長。10-13 說明

7、物質(zhì)波與機械波和電磁波的區(qū)別。答：物質(zhì)波與機械波和電磁波都有本質(zhì)的區(qū)別。（1）機械波是機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播形成的；電磁波表示電場強度和磁場強度的周期性變化在空間的傳播過程；而物質(zhì)波（又稱德布羅意波）是對實物粒子的統(tǒng)計描述，其振幅的平方只表示粒子出現(xiàn)的概率，是概率波。（2）機械波和電磁波，當其對應(yīng)的振幅和分別增大為和時，相應(yīng)的波的能量和強度都增大為原來的4倍；而物質(zhì)波的波函數(shù)乘以任意一個常數(shù)后，并不改變粒子的運動狀態(tài)。所以，對于波函數(shù)而言，有意義的是相對概率分布，從相對概率分布角度來說，與是等價的。10-14 在經(jīng)典力學(xué)中用粒子的位置和速度來描述粒子的運動狀態(tài)。在量子力學(xué)中，粒子的運動狀態(tài)

8、是如何描述的？答：量子力學(xué)指出，微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)來描述。一般來說，波函數(shù)是空間和時間的函數(shù)，即。在量子力學(xué)中，用薛定諤方程來描述勢場中的粒子狀態(tài)（波函數(shù)）隨時間變化的規(guī)律。10-15 在一維無限深勢阱中，如果減小勢阱的寬度，其能級將如何變化？如果增大勢阱的寬度，其能級又將如何變化？答：一維無限深的方勢阱中粒子可能的能量為式中為勢阱寬度。由此可見，能級的能量與成反比關(guān)系，如果減小勢阱的寬度，每個能級的能量將增大，能級間隔增大；如果增大勢阱的寬度，每個能級的能量將減小，能級間隔減小。練 習(xí) 題 10-1 宇宙大爆炸遺留在宇宙空間的均勻背景熱輻射相當于3 K輻射，求：(1)此輻射的單色輻射

9、本領(lǐng)在什么波長下有極大值? (2)地球表面接收此輻射的功率有多大?(設(shè)地球半徑為m) 解：(1)由維恩位移定律得 (2)根據(jù)斯特藩玻耳茲曼定律 設(shè)地球表面接收此輻射的功率為P，地球的表面積為S，則有 代入數(shù)據(jù)，解得 （W） 10-2 白熾燈工作時的溫度為2 400 K，燈絲可看作黑體，如果燈的功率為100 W，則燈絲的表面積多大? 解：根據(jù)斯特藩一玻耳茲曼定律 則燈的功率為 其中，S為燈絲的表面積。于是 （m2）10-3太陽輻射到地球大氣層外表面單位面積的輻射通量稱為太陽常量，實驗測得。把太陽近似當作黑體，試由太陽常量估算太陽的表面溫度(已知太陽半徑為，日地距離為)。解：根據(jù)能量守恒，有其中，

10、分別為太陽表面積、以地球和太陽距離為半徑的球面積。 (1)其中,分別為太陽半徑、地球和太陽距離：，。又根據(jù)斯特藩玻爾茲曼定律 (2)其中， 由式（1）和式（2）可得 代入數(shù)據(jù)可得太陽的表面溫度為 10-4 單位時間內(nèi)太陽發(fā)射到地球上每單位面積的輻射能量為0.14 J·cm-2·s-1，假定太陽輻射的平均波長為550nm，問這相當于每秒鐘向地球表面每平方厘米上發(fā)射多少個光子? 解：一個光子的能量為 能量為E0.14J的能量輻射包含的光子數(shù)為個 10-5 在理想條件下，如果正常人的眼睛接收550nm的可見光，此時只要每秒有100個光子數(shù)就會產(chǎn)生光的感覺。試問與此相當?shù)墓夤β适嵌?/p>

11、少？ 解：每個光子能量為，其中為普朗克常量（），則100個波長為550nm的光子的光功率為10-6（1）廣播天線以頻率1MHz、功率1kW發(fā)射無線電波，試求它每秒發(fā)射的光子數(shù)；（2）利用太陽常量，計算每秒人眼接收到的來自太陽的光子數(shù)。假設(shè)人的瞳孔面積約為，光波波長約為550nm。 解：（1）每個光子能量為 ，由（其中P、分別為輻射功率和輻射能量）可得廣播天線每秒發(fā)射的光子數(shù)為（2） 每秒人眼接收到的來自太陽的光子數(shù)為10-7 從鈉中脫出一個電子至少需要2.30eV的能量，若用波長為430nm的光投射到鈉的表面上，試求：(1)鈉的截止頻率及其相應(yīng)的波長；(2)出射光電子的最大動能和最小動能；(3

12、)截止電壓。解：（1）由光電效應(yīng)方程 令電子的初動能，得鈉的截止頻率 鈉相應(yīng)的波長為 （2）當光子能量完全被光電子吸收，并在逸出過程中未因碰撞而損失能量時，該電子克服逸出功而逸出金屬后將具有最大動能，即如果在光電子逸出金屬的過程中部分能量因碰撞而損失后，使光電子剛好能克服逸出功而逸出金屬，這些光電子將具有最小動能，即 （3）光電效應(yīng)的截止電壓為截止電壓 10-8 一束帶電量與電子電量相同的粒子經(jīng) 206V電壓加速后，測得其德布羅意波長為0.002nm，試求粒子的質(zhì)量（已知電子電量為C）。解：經(jīng)過電壓加速后,帶電粒子的動能為 (1)其中為電子電量。又根據(jù)德布羅意公式 (2)由式（1）和式（2）可

13、得電子質(zhì)量為 （3）將已知數(shù)據(jù)代入式（3），得10-9 熱中子平均動能為（3/2）kT，試問當溫度為 300 K時，一個熱中子的動能為多大？相應(yīng)的德布羅意波長是多少?(已知熱中子的質(zhì)量為kg)解：（1）微觀粒子的平均平動動能為，其中為玻耳茲曼常數(shù)，則（2） 根據(jù) 和 由上兩式可得代入，可得德布羅意波長為10-10 設(shè)電子和光子的波長均為 0.50 nm，試求兩者的動量及動能之比。(已知電子的質(zhì)量為kg)解：（1）根據(jù)對于電子，對于光子。所以，電子和光子的動量之比為（2）電子的動能為 光子的動能為 由上兩式可得電子和光子的動能之比為10-11 物理光學(xué)的一個基本結(jié)論是:在被觀測物小于所用照射光波

14、長的情況下，任何光學(xué)儀器都不能把物體的細節(jié)分辨出來,這對電子顯微鏡中的電子德布羅意波同樣適用。因此，若要研究線度為0.020mm的病毒，用光學(xué)顯微鏡是不可能的。然而，電子的德布羅意波長約比病毒的線度小1000倍，用電子顯微鏡可以形成非常好的病毒的像，問這時電子所需要的加速電壓是多少？(已知電子電量為C，電子質(zhì)量為 kg。)解：經(jīng)過電壓加速后,帶電粒子的動能為又根據(jù)德布羅意公式解得又因為電子波長為（），將已知數(shù)據(jù)代入可得10-12 設(shè)粒子在x軸運動時，速率的不確定量為cm·s1。試估算下列情況下坐標的不確定量Dx：(1)質(zhì)量為kg的電子；(2)質(zhì)量為10-13kg的布朗粒子；(3)質(zhì)量

15、為10-4kg的小彈丸。解：由不確定關(guān)系可得（1）電子的坐標不確定量為 （2）質(zhì)量為的布朗粒子的坐標不確定量為 （3）質(zhì)量為的小彈丸的坐標不確定量為 10-13 作一維運動的電子，其動量不確定量，能將這個電子約束在內(nèi)的最小容器的大概尺寸是多少?解：根據(jù)不確定關(guān)系，設(shè)能約束住電子的最小容器的大概尺寸為，則10-14 若不確定關(guān)系為，氦氖激光器所發(fā)出的紅光波長為l=632.8nm，譜線寬度Dl=10-9nm。試求光子沿運動方向的位置不確定量(即波列長度)。解：光子具有二象性，所以也應(yīng)滿足不確定關(guān)系，由于，則根據(jù)不確定關(guān)系式，可得 10-15 一維無限深勢阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為試求粒子處于下述狀態(tài)時

16、在x=0和x=a/3之間找到粒子的概率：(1)粒子處于基態(tài)；(2)粒子處于n=2的狀態(tài)。解： 粒子的概率密度正比于波函數(shù)模的平方，即在和之間找到粒子的概率為可解得（1） 當n1時，粒子處于基態(tài)的概率為（2） 當n2時，粒子處于該態(tài)的概率為10-16 設(shè)粒子的波函數(shù)為，a為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A。解：由歸一化條件可知，將本題中的粒子波函數(shù)代入歸一化條件，可得利用積分公式解得即歸一化常數(shù)為 10-17 一維運動的粒子處于如下波函數(shù)所描述的狀態(tài): 式中l(wèi)>0。(1)計算波函數(shù)中的歸一化常數(shù)A；(2)求粒子的概率分布函數(shù)；(3)在何處發(fā)現(xiàn)粒子的概率最大?解：（1）已知歸一化條件 把波函數(shù)代入歸一化條件，得解得（2） 粒子的概率分布函數(shù)為（3） 由于當時出現(xiàn)極值，按此條件將概率分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得 由此解得當，和時，函數(shù)有極值。又由二階導(dǎo)數(shù)可知，在處，函數(shù)有最大值，即粒子在該處出現(xiàn)的概率最大。10-18 計算氫原子光譜中巴耳末系、萊曼系和帕邢系的最短和最長波長。解：氫原子光譜規(guī)律為式中，1，2，3，；，；.（1） 萊曼系的譜線滿足 ，2