電磁感應(yīng) 電磁場(chǎng)習(xí)題解答

1、第八章電磁感應(yīng) 電磁場(chǎng)習(xí)題解答8 6一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為，求在 時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分析由于線圈有N 匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于各匝回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成 ，其中稱為磁鏈解線圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)當(dāng) 時(shí)，8 7有兩根相距為d 的無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以 的變化率增長(zhǎng)若有一邊長(zhǎng)為d 的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分析本題仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律 來(lái)求解由于回路處在非均勻磁場(chǎng)中，磁通量就需用來(lái)計(jì)算（其中B 為兩無(wú)限長(zhǎng)直電流單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度

2、B1 與B2 之和）為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系由于B 僅與x 有關(guān)，即，故取一個(gè)平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線的寬為x、長(zhǎng)為d 的面元S，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過(guò)線積分求得（若取面元，則上述積分實(shí)際上為二重積分）本題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式求解解1穿過(guò)面元S 的磁通量為因此穿過(guò)線圈的磁通量為再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有解2當(dāng)兩長(zhǎng)直導(dǎo)線有電流I 通過(guò)時(shí)，穿過(guò)線圈的磁通量為線圈與兩長(zhǎng)直導(dǎo)線間的互感為當(dāng)電流以 變化時(shí)，線圈中的互感電動(dòng)勢(shì)為8 10如圖（）所示，把一半徑為R 的半圓形導(dǎo)線OP 置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v 水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E

3、的大小，哪一端電勢(shì)較高？分析本題及后面幾題中的電動(dòng)勢(shì)均為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，除仍可由求解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），還可直接用公式求解在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元l 上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).在一般情況下，上述各量可能是l 所在位置的函數(shù)矢量（v B）的方向就是導(dǎo)線中電勢(shì)升高的方向解1如圖（）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP 在寬為2R 的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，兩者之間形成一個(gè)閉合回路設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈氛颍我粫r(shí)刻端點(diǎn)O 或端點(diǎn)P 距 形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，則即由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電動(dòng)勢(shì)為零，則 2RvB式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)OP 段來(lái)說(shuō)端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高解2建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，

4、在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元l，則由矢量（v B）的指向可知，端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高解3連接OP 使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路由于磁場(chǎng)是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過(guò)回路的磁通量.由法拉第電磁感應(yīng)定律可知， 0又因 OP PO即 OP PO 2RvB由上述結(jié)果可知，在均勻磁場(chǎng)中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零；而任意曲線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即補(bǔ)償?shù)姆椒? 12如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng) 的導(dǎo)體棒OP，處于均勻磁場(chǎng)中，并繞OO軸以角速度旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為，磁感強(qiáng)度B 與轉(zhuǎn)軸平行求OP 棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)分析如前所述，本題既可以用法拉第

5、電磁感應(yīng)定律 計(jì)算（此時(shí)必須構(gòu)造一個(gè)包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路， 如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），也可用來(lái)計(jì)算由于對(duì)稱性，導(dǎo)體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與圖示位置是相同的解1由上分析，得由矢量的方向可知端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高解2設(shè)想導(dǎo)體OP 為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO 中的一部分，任一時(shí)刻穿過(guò)回路的磁通量為零，則回路的總電動(dòng)勢(shì)顯然，QO 0，所以由上可知，導(dǎo)體棒OP 旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP 等效后者是垂直切割的情況8 13如圖（）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長(zhǎng)直導(dǎo)線移動(dòng)，此導(dǎo)線通有電流I 40A求桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，桿的哪一端電勢(shì)較高？分析本題可用兩種方法求解（

6、1） 用公式求解，建立圖（a）所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元，該處的磁感強(qiáng)度（2） 用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，需構(gòu)造一個(gè)包含桿AB 在內(nèi)的閉合回路為此可設(shè)想桿AB在一個(gè)靜止的形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，如圖（）所示設(shè)時(shí)刻t，桿AB 距導(dǎo)軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過(guò)該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動(dòng)勢(shì)，亦即本題桿中的電動(dòng)勢(shì)解1根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)方向由B 指向A，故點(diǎn)A 電勢(shì)較高解2設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈稟BCD 的正向，根據(jù)分析，在距直導(dǎo)線x 處，取寬為x、長(zhǎng)為y 的面元S，則穿過(guò)面元的磁通量為穿過(guò)回路的磁通量為回路的電動(dòng)勢(shì)為由于靜止的形導(dǎo)軌上電動(dòng)勢(shì)為零，所以式中負(fù)號(hào)說(shuō)

7、明回路電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)AB 導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電動(dòng)勢(shì)方向應(yīng)由B 指向A，故點(diǎn)A 電勢(shì)較高8 17半徑為R 2.0 cm 的無(wú)限長(zhǎng)直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng)，管外磁場(chǎng)可近似看作零若通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B 隨時(shí)間的變化率 為常量，且為正值，試求：（1） 管內(nèi)外由磁場(chǎng)變化激發(fā)的感生電場(chǎng)分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r 50 cm處感生電場(chǎng)的大小和方向分析變化磁場(chǎng)可以在空間激發(fā)感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)的空間分布與場(chǎng)源變化的磁場(chǎng)（包括磁場(chǎng)的空間分布以及磁場(chǎng)的變化率 等）密切相關(guān)，即.在一般情況下，求解感生電場(chǎng)的分布是困難的但對(duì)于本題這種特殊情況，則可以利用場(chǎng)的對(duì)稱性進(jìn)行求解無(wú)限長(zhǎng)直螺

8、線管內(nèi)磁場(chǎng)具有柱對(duì)稱性，其橫截面的磁場(chǎng)分布如圖所示由其激發(fā)的感生電場(chǎng)也一定有相應(yīng)的對(duì)稱性，考慮到感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線為閉合曲線，因而本題中感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓（若電場(chǎng)線是其他類型的曲線則與其對(duì)稱性特點(diǎn)不符），同一圓周上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向圖中虛線表示r R和r R 兩個(gè)區(qū)域的電場(chǎng)線電場(chǎng)線繞向取決于磁場(chǎng)的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng)時(shí)，電場(chǎng)線繞向與B 方向滿足右螺旋關(guān)系；當(dāng) 時(shí)，電場(chǎng)線繞向與前者相反解如圖所示，分別在r R 和r R 的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)任取一電場(chǎng)線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈氛颍?

9、） r R，r R， 由于，故電場(chǎng)線的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針（2） 由于r R，所求點(diǎn)在螺線管外，因此將r、R、 的數(shù)值代入，可得 ，式中負(fù)號(hào)表示Ek的方向是逆時(shí)針的8 18在半徑為R 的圓柱形空間中存在著均勻磁場(chǎng)，B 的方向與柱的軸線平行如圖（）所示，有一長(zhǎng)為l 的金屬棒放在磁場(chǎng)中，設(shè)B 隨時(shí)間的變化率為常量試證：棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為分析變化磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)感生電場(chǎng)，把導(dǎo)體置于感生電場(chǎng)中，導(dǎo)體中的自由電子就會(huì)在電場(chǎng)力的作用下移動(dòng)，在棒內(nèi)兩端形成正負(fù)電荷的積累，從而產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)由于本題的感生電場(chǎng)分布與上題所述情況完全相同，故可利用上題結(jié)果，由 計(jì)算棒上感生電動(dòng)勢(shì)此外，還可連接OP、OQ，設(shè)想PQOP

10、 構(gòu)成一個(gè)閉合導(dǎo)體回路，用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，由于OP、OQ 沿半徑方向，與通過(guò)該處的感生電場(chǎng)強(qiáng)度Ek 處處垂直，故，OP、OQ 兩段均無(wú)電動(dòng)勢(shì)，這樣，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出的閉合回路的總電動(dòng)勢(shì)，就是導(dǎo)體棒PQ 上的電動(dòng)勢(shì)證1由法拉第電磁感應(yīng)定律，有證2由題 17可知，在r R 區(qū)域，感生電場(chǎng)強(qiáng)度的大小設(shè)PQ 上線元x 處，Ek的方向如圖（b）所示，則金屬桿PQ 上的電動(dòng)勢(shì)為討論假如金屬棒PQ 有一段在圓外，則圓外一段導(dǎo)體上有無(wú)電動(dòng)勢(shì)？ 該如何求解？8 23如圖所示，一面積為4.0 cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為20 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心

11、且同平面設(shè)線圈A 內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當(dāng)線圈B 中電流的變化率為50 A1 時(shí)，線圈A 中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向分析設(shè)回路中通有電流I1 ，穿過(guò)回路的磁通量為21 ，則互感M M21 21I1 ；也可設(shè)回路通有電流I2 ，穿過(guò)回路的磁通量為12 ，則 雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計(jì)算難易程度會(huì)有很大的不同以本題為例，如設(shè)線圈B 中有電流I 通過(guò)，則在線圈A 中心處的磁感強(qiáng)度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場(chǎng)可視為均勻的，因而穿過(guò)線圈A 的磁通量BS反之，如設(shè)線圈A 通有電流I，其周圍的磁場(chǎng)分布是變化的，且難以計(jì)算

12、，因而穿過(guò)線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見，計(jì)算互感一定要善于選擇方便的途徑解（1） 設(shè)線圈B 有電流I 通過(guò)，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度穿過(guò)小線圈A 的磁鏈近似為則兩線圈的互感為（2）互感電動(dòng)勢(shì)的方向和線圈B 中的電流方向相同8 24如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C 的半徑分別為R 和r，兩線圈相距為d若r很小，可認(rèn)為線圈A 在線圈C 處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的求兩線圈的互感若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感又為多少？解設(shè)線圈A 中有電流I 通過(guò)，它在線圈C 所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度近似為穿過(guò)線圈C 的磁通為則兩線圈的互感為若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感為上述值的N 倍8 26一個(gè)直徑

13、為0.01 m，長(zhǎng)為0.10 m 的長(zhǎng)直密繞螺線管，共1 000 匝線圈，總電阻為7.76 求：（1） 如把線圈接到電動(dòng)勢(shì)E 2.0 V 的電池上，電流穩(wěn)定后，線圈中所儲(chǔ)存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 從接通電路時(shí)算起，要使線圈儲(chǔ)存磁能為最大儲(chǔ)存磁能的一半，需經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？分析單一載流回路所具有的磁能，通?？捎脙煞N方法計(jì)算：（1） 如回路自感為L(zhǎng)（已知或很容易求得），則該回路通有電流I 時(shí)所儲(chǔ)存的磁能，通常稱為自感磁能（2） 由于載流回路可在空間激發(fā)磁場(chǎng)，磁能實(shí)際是儲(chǔ)存于磁場(chǎng)之中，因而載流回路所具有的能量又可看作磁場(chǎng)能量，即，式中 為磁場(chǎng)能量密度，積分遍及磁場(chǎng)存在的空間由于，因而采用這種方法時(shí)應(yīng)首先求載流回路在空間產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B 的分布上述兩種方法還為我們提供了計(jì)算自感的另一種途徑，即運(yùn)用 求解L解（1） 密繞長(zhǎng)直螺線管在忽略端部效應(yīng)時(shí)，其自感 ，電流穩(wěn)定后，線圈中電流，則線圈中所儲(chǔ)存的磁能為在忽略端部效應(yīng)時(shí)，該電流回路所產(chǎn)生的磁場(chǎng)可近似認(rèn)為僅存在于螺線管中，并為均勻磁場(chǎng)，故磁能密度 處處相等，（2） 自感為L(zhǎng)，電阻為R 的線圈接到電動(dòng)勢(shì)為E 的電源上，其電流變化規(guī)律，當(dāng)電流穩(wěn)定后，其最大值按題意1，則，將其代入中，得8 31設(shè)有半徑R 0.20 m 的圓形平行板電容器，兩板之間為真空，板間距離d