第六章不定積分

1、第六章 不定積分6.1 不定積分的概念和運(yùn)算法則前面學(xué)習(xí)了極限、連續(xù)函數(shù)、實(shí)數(shù)的連續(xù)性，以及導(dǎo)數(shù)于微分，特別是重點(diǎn)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)、微分的概念。我們知道求導(dǎo)是一種運(yùn)算，它的被運(yùn)算對(duì)象是函數(shù)。在以前我們也學(xué)過(guò)很多的運(yùn)算。例如，加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方、指數(shù)、對(duì)數(shù)等等。我們可以將求導(dǎo)運(yùn)算與這些已知的很熟悉的運(yùn)算相類(lèi)比。（用舊的概念和新的概念相類(lèi)比，從已有的經(jīng)驗(yàn)中來(lái)發(fā)現(xiàn)新概念、新知識(shí)中的規(guī)律，這是一種數(shù)學(xué)方法。）我們看看這些舊的運(yùn)算，我們很快會(huì)發(fā)現(xiàn)它們都成對(duì)出現(xiàn)，而且每對(duì)都是互為逆運(yùn)算。我們不禁會(huì)想到，求導(dǎo)運(yùn)算是否有逆運(yùn)算，它的逆運(yùn)算是什么？問(wèn)題1：求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算是什么？討論其逆運(yùn)算的意義何在？我們知

2、道導(dǎo)數(shù)概念是一個(gè)非常重要的概念。它不僅僅是一種形式運(yùn)算，在實(shí)際應(yīng)用中是很有用的。例如（1）已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即路程函數(shù)，求物體的瞬時(shí)速度；（2）已知曲線(xiàn)，求它的切線(xiàn)的斜率。如果我們討論的是反問(wèn)題，已知物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，即速度函數(shù)，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即路程函數(shù)；已知曲線(xiàn)在每一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率，求此曲線(xiàn)。在解析幾何中，對(duì)于直線(xiàn)的討論，由于直線(xiàn)的點(diǎn)的斜率相同，所以用點(diǎn)斜式很快就能得到。如果所討論的是一般的，那么就是這里的問(wèn)題了。我們把求導(dǎo)的逆運(yùn)算稱(chēng)為不定積分。定義：函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在函數(shù)，使 稱(chēng)是函數(shù)（在區(qū)間上）的原函數(shù)。例如： （是const），所以是的原函數(shù)。，所以是的原函數(shù)。，所以

3、是的原函數(shù)。，所以是的原函數(shù)。問(wèn)題2：函數(shù)的原函數(shù)是否存在，即什么樣的函數(shù)有原函數(shù)。如果存在，其原函數(shù)是否唯一？對(duì)于問(wèn)題前半截的回答，只能由下一章解答。而對(duì)后半截問(wèn)題的回答則是容易的。顯然由是的原函數(shù)，即，則 ， （是const）即也是的原函數(shù)。由此我們看到，如果一個(gè)函數(shù)存在原函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)。問(wèn)題3：函數(shù)的原函數(shù)的結(jié)構(gòu)是什么樣子。已知一個(gè)原函數(shù)為，是否每一個(gè)原函數(shù)都可表示為形式？換句話(huà)說(shuō)，除了形式之外，是否還有其它形式的函數(shù)，也是的原函數(shù)？定理：如果是函數(shù)的原函數(shù)，則函數(shù)的無(wú)限多個(gè)原函數(shù)僅限于（是const）的形式。證明：已知是的原函數(shù)，即 （1）設(shè)是函數(shù)的另一個(gè)原函數(shù)，

4、即 （2）（1） 與（2）相減，有由第6.1節(jié)，例1，（c是某個(gè)常數(shù)）或，亦即函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)都是的形式。這就給出了函數(shù)的原函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題。一個(gè)函數(shù)的無(wú)限多個(gè)原函數(shù)彼此僅相差一個(gè)常數(shù)。如果求出了一個(gè)原函數(shù)，其它所有的原函數(shù)也相應(yīng)的被求出來(lái)了。另一方面，定理說(shuō)明：已知一條原函數(shù)曲線(xiàn)，其它的原函數(shù)曲線(xiàn)可以用平移的方法得到。定義：函數(shù)的所有的原函數(shù)（是const），稱(chēng)為函數(shù)的不定積分。表為 （）其中稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式，稱(chēng)為積分常數(shù)。值得注意的是，一個(gè)函數(shù)的不定積分既不是一個(gè)數(shù)，也不是一個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)族。例如： ， 有 ， ， 我們把求已知函數(shù)的原函數(shù)的運(yùn)算稱(chēng)為積分運(yùn)算，積分運(yùn)算是

5、微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。對(duì)于一個(gè)運(yùn)算有它的運(yùn)算法則，有它的公式表，例如乘法運(yùn)算的法則及其乘法表。一、 不定積分的性質(zhì)及運(yùn)算法則：1 或 亦即不定積分的導(dǎo)數(shù)（或微分）等于被積函數(shù)（或被積表達(dá)式）。證明：設(shè)是函數(shù)的原函數(shù)，即，則2 或 亦即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的不定積分等于函數(shù)族。證明：已知是函數(shù)的原函數(shù)，則 。例如： 3（齊次性），是常數(shù)，且。即被積函數(shù)的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的外邊。證明：，即 。 4（可加性）。即兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和。證明： 即 。此法則可推廣到n個(gè)（有限）函數(shù)，即n個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于n個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和。34表明積分運(yùn)算是線(xiàn)性運(yùn)算，亦

6、即。當(dāng)然，上式也可推出34。類(lèi)似于從乘法表得到除法表，我們可以從導(dǎo)數(shù)公式表得到不定積分的公式表：1,234 特別56789101112公式3的補(bǔ)充說(shuō)明：（1）。（2）。于是，對(duì)或，都有。 乘法表對(duì)于乘法運(yùn)算相當(dāng)重要，所以不定積分表對(duì)于不定積分同樣是相當(dāng)重要的。例1：求。解： 值得注意的是，等式右端的每個(gè)不定積分都有一個(gè)任意常數(shù)，有限個(gè)任意常數(shù)的代數(shù)和還是一個(gè)任意常數(shù)，所以上式只寫(xiě)一個(gè)任意常數(shù)。例2：求。解： 例3：求。解： 例4：求。解： 例5：求。解： 例6：求。解： 例7：6.2分部積分法與變量替換法 雖然我們給出了積分的一些性質(zhì)和積分運(yùn)算法則，以及積分公式表，但我們僅對(duì)較簡(jiǎn)單的函數(shù)易求不

7、定積分，而對(duì)較復(fù)雜的就較難求了。例如：就不能用運(yùn)算法則來(lái)求。另外，如亦不能用運(yùn)算法則和公式來(lái)求。所以我們必須新辟途徑來(lái)求不定積分。至少我們的思路是要將較繁的化為較簡(jiǎn)單的來(lái)求，把不能用公式表示的化為用公式來(lái)表示。一、 分部積分法如果和都是的可微函數(shù)，由函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式，有： 或 從而由不定積分法則與不定積分定義，有： 亦即 （1）或 （2）（1）或（2）式稱(chēng)為分部積分公式。問(wèn)題1：什么樣的函數(shù)用分部積分公式？我們先來(lái)看看首先提出的問(wèn)題。例1：求。解： 設(shè),則，由公式（2）有： 如果沒(méi)有分部積分公式，是無(wú)論如何也積不出來(lái)的。一般來(lái)說(shuō)：等等的不定積分要應(yīng)用分部積分公式。但是有一個(gè)問(wèn)題，例如在例1中

8、：選取，用分部積分公式（2）求出與，則由分部積分公式（2），有： 這樣不正當(dāng)?shù)倪x取使得不定積分由簡(jiǎn)化繁，把問(wèn)題變得更復(fù)雜了。問(wèn)題2究竟怎樣選取u、v才能使得對(duì)具體的被積函數(shù)不定積分化得比較簡(jiǎn)單呢？例2求 解：設(shè) ， 則 ， 。從而 = = 由例1和例2啟發(fā)，我們知道在 與 中，令， 。例3求 解：設(shè) ，則 ，有 = = = 例4求 解：設(shè) ， ，則 ， 從而 = = = 由此可看到，形如 的不定積分中總是令 ，從而 例5求 解：類(lèi)似于前面的，我們只須把的冪次降下來(lái)即可。所以，我們令，從而 = = = 例6求 ， 解：= = = = （3） 求不定積分 再用（2） = = = = （4） 將（4

9、）代入（3）得 = = 或 = = 雖然我們解決了形如 的不定積分，但對(duì)于形如 的不定積分我們不能解決。下面我們從這個(gè)實(shí)例開(kāi)始討論：我們知道 ，如果我們把 表示成 即可。而此時(shí)。所以 這里實(shí)際上是令 （即 ），將 化成 = 。這里作了變換 ，也即 。 一般的，如果求不定積分 不能直接應(yīng)用不定積分公式，通常將自變量用新變量的函數(shù)代替，令，當(dāng)然，要求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)且存在反函數(shù)，從而 上式稱(chēng)為變量替換公式證明： = = = 問(wèn)題2怎樣用變量替換公式？ 要求不定積分 ， 設(shè) ，代入后得 要求不定積分 ， 設(shè) ， 代入后得 例1 解： 設(shè) ，有 = = = 例2 解： 設(shè) ，有 = = = = 熟練？

10、= = 例3 = = 例4 = = = = 例5 = = = 例6 = = = 例7 = = 例8 = = 例9 與 解： = = = = 所以 = = = = 例10 解： 設(shè) ， 則 ， ， = = = = = = = = 例11 解： 設(shè) ， 則 當(dāng) 時(shí)， 存在反函數(shù) = = = = = ， 則 = = 其中 ，也是任意常數(shù)。例12 解： 設(shè) ， 則 = = = = 例13 問(wèn)題3不定積分表達(dá)式的多樣形式 它們都屬于同一個(gè)函數(shù)族，僅差一個(gè)常數(shù)。 問(wèn)題4如果表達(dá)形式不一樣，怎樣判斷它們是相同的？ 如上，求導(dǎo)，所以只須要求導(dǎo)，看導(dǎo)數(shù)是否相同而定。 上面是從整個(gè)不定積分的性質(zhì)來(lái)討論問(wèn)題，也就是

11、一致性，下面從一些特殊的不定積分來(lái)予以討論。大家知道，最簡(jiǎn)單的莫過(guò)于多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式的不定積分是平凡的，比多項(xiàng)式稍微復(fù)雜的就是多項(xiàng)式的比值有理函數(shù)。 要討論有理函數(shù)的不定積分，先要弄清楚它本身的一些性質(zhì)。的次數(shù)大于的次數(shù)， 稱(chēng)為有理假分式，若的次數(shù)小于的次數(shù)，稱(chēng)為有理真分式。當(dāng)是假分式時(shí)，一定有多項(xiàng)式、，使得 = 例如： = 對(duì) = + 由于是顯然的，所以只須求。這說(shuō)明對(duì)于有理分式的不定積分的討論，僅須對(duì)真分式進(jìn)行討論。又是有理真分式，任意多項(xiàng)式總能分解為一個(gè)常數(shù)，與形如 與 諸因式之積，其中是的n重根，二次多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根，有共軛復(fù)根，即有m重復(fù)根。設(shè) 其中 是正整數(shù)。 我們考慮問(wèn)題總是想把復(fù)

12、雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題討論。較復(fù)雜，較簡(jiǎn)單，較復(fù)雜，是不是也能化成較簡(jiǎn)單的形式呢？或者化成較簡(jiǎn)單形式的和積？根據(jù)代數(shù)的分項(xiàng)分式定理，有理分式能寫(xiě)成下列諸形式之和： = + + + + + + + + + + + +其中 ，都是常數(shù)，求常數(shù)的方法叫做待定系數(shù)法，通分，即得： 與的同次冪的系數(shù)相等，于是，得到一次？方程組，所以現(xiàn)在先討論怎樣分解分式例1 解： 設(shè) = = 從而有1A(xa)B(xa)(AB)x(AB)a則，得于是例2：將分成多項(xiàng)分式。解：設(shè)解得 A = 1, B = 3, C = 4, D = 1, E = 2例3：將分成多項(xiàng)分式。解：設(shè)令x1, x1, x0, x2, x2既然我們知道，任意有理分式都能記為形如分式之和。這n, m是大于1的正整數(shù)，(x2pxq)沒(méi)有實(shí)根，即qp2/40。所以討論有理分式的不定積分歸結(jié)為四種類(lèi)型有理分式的不定積分。1. 2. 例4：例5：解：解得 A4, B1, C