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文檔簡介
1、1.4 空間曲線的曲率定義及計算公式引理 設是單位圓周上的向量,即,設與之間的夾角記為,則有 。證明 因為,所以 。(用解等腰三角形或用余弦定理,得。)定理1.2 設曲線:(是弧長參數)上的每一點有一個單位向量,與之間的夾角記為,那么。設曲線:,這里參數是曲線自身的弧長,我們知道,是曲線的切向量,即是單位向量。記,與的夾角,度量了曲線的彎曲程度。,我們稱之為曲線的 曲率,用來表示,。(舉例解釋,需要曲率這個量來刻畫曲線;曲瓏拐彎,拐彎抹角的程度。)例1 直線可以用向量方程表示為,其中和為常向量,并且,這時切向量是常向量,從而,曲率。反之,如果,即,由此可知是常向量,進而解得,其中和為常向量。由
2、此可知:直線的特征是。例2 討論圓。(這是由于,而,故圓的方程可表示為。)這時,。于是,即圓的曲率等于其半徑的倒數??臻g曲線曲率的計算公式:設曲線:,這里參數不必是弧長參數。我們有,將以上兩式的雙方作向量外積,得,由于,得,(即互相垂直)所以由于,所以,由此得出曲率公式。,把,代入曲率公式,可得簡便計算公式 。例3 求圓柱螺線 ,的曲率。解 直接計算,得,所以,又,代入公式,得出曲率。它是一個常數,這與幾何直覺是相符合的。平面曲線的曲率計算公式:設平面曲線L:。,所以,平面曲線L:的曲率。對曲線,此時,則曲率。若曲線由極坐標方程給出,且二階可導。則可得由曲率公式,可計算:。代入,得曲率為。例6
3、求心形線在處的曲率。解,代入公式,它在 曲率為??臻g曲線曲率公式的另一種證明方法:對光滑曲線:,嚴格遞增,反函數存在,記為,把它代入;所以,是的函數,這里參數是弧長參數。我們有,。空間曲線的曲率(描述曲線的彎曲程度)。 設曲線的參數方程為:,并假設是光滑曲線,且,連續(xù),設,則曲率。設曲線:,這里參數不必是弧長參數。我們有,;,由,代入計算,得,由此而來,由,得 ,故得空間曲線:的曲率,即 。設平面曲線L:,所以,平面曲線L:的曲率。當曲線由方程給出時,此時,利用上式,故曲率。曲率半徑:若光滑曲線在點處的曲率為,當時,稱為曲線在處的曲率半徑。(平面曲線的情形,也有用幾何圖形給出的更方便直觀的證法
4、,見華東師大的書。)例1、 求曲線的曲率的最大值。解 由曲率的表達式,從而得的最大值為。例2、證明:若曲線的所有切線經過同一點,則該曲線是一條直線.證明 證法一設曲線的切線經過,則有,于是,假若,則,再由,得,矛盾,所以從而曲率,故曲線必為一條直線.證法二 設曲線為,為弧長參數;所有切線經過的點為,則有,從而,由,得與正交,于是因為必有,所以為一條直線.例3 、 求橢圓上曲率最大和最小點.解 由于.由公式,得 .不妨設,于是在(長軸端點)處曲率最大;而在、(短軸端點)處曲率最小;且.例4、 由下述方程確定一條球面曲線:給定曲線上的一點求曲線在處的曲率.解 曲線為;由條件得;再由,得;,, ,,代入曲率公式,計算,得 .例5、 設函數具有連續(xù)二階偏導數,且,則等高
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