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1、1.4 空間曲線的曲率定義及計(jì)算公式引理 設(shè)是單位圓周上的向量,即,設(shè)與之間的夾角記為,則有 。證明 因?yàn)?,所?。(用解等腰三角形或用余弦定理,得。)定理1.2 設(shè)曲線:(是弧長參數(shù))上的每一點(diǎn)有一個(gè)單位向量,與之間的夾角記為,那么。設(shè)曲線:,這里參數(shù)是曲線自身的弧長,我們知道,是曲線的切向量,即是單位向量。記,與的夾角,度量了曲線的彎曲程度。,我們稱之為曲線的 曲率,用來表示,。(舉例解釋,需要曲率這個(gè)量來刻畫曲線;曲瓏拐彎,拐彎抹角的程度。)例1 直線可以用向量方程表示為,其中和為常向量,并且,這時(shí)切向量是常向量,從而,曲率。反之,如果,即,由此可知是常向量,進(jìn)而解得,其中和為常向量。由
2、此可知:直線的特征是。例2 討論圓。(這是由于,而,故圓的方程可表示為。)這時(shí),。于是,即圓的曲率等于其半徑的倒數(shù)??臻g曲線曲率的計(jì)算公式:設(shè)曲線:,這里參數(shù)不必是弧長參數(shù)。我們有,將以上兩式的雙方作向量外積,得,由于,得,(即互相垂直)所以由于,所以,由此得出曲率公式。,把,代入曲率公式,可得簡便計(jì)算公式 。例3 求圓柱螺線 ,的曲率。解 直接計(jì)算,得,所以,又,代入公式,得出曲率。它是一個(gè)常數(shù),這與幾何直覺是相符合的。平面曲線的曲率計(jì)算公式:設(shè)平面曲線L:。,所以,平面曲線L:的曲率。對曲線,此時(shí),則曲率。若曲線由極坐標(biāo)方程給出,且二階可導(dǎo)。則可得由曲率公式,可計(jì)算:。代入,得曲率為。例6
3、求心形線在處的曲率。解,代入公式,它在 曲率為??臻g曲線曲率公式的另一種證明方法:對光滑曲線:,嚴(yán)格遞增,反函數(shù)存在,記為,把它代入;所以,是的函數(shù),這里參數(shù)是弧長參數(shù)。我們有,??臻g曲線的曲率(描述曲線的彎曲程度)。 設(shè)曲線的參數(shù)方程為:,并假設(shè)是光滑曲線,且,連續(xù),設(shè),則曲率。設(shè)曲線:,這里參數(shù)不必是弧長參數(shù)。我們有,;,由,代入計(jì)算,得,由此而來,由,得 ,故得空間曲線:的曲率,即 。設(shè)平面曲線L:,所以,平面曲線L:的曲率。當(dāng)曲線由方程給出時(shí),此時(shí),利用上式,故曲率。曲率半徑:若光滑曲線在點(diǎn)處的曲率為,當(dāng)時(shí),稱為曲線在處的曲率半徑。(平面曲線的情形,也有用幾何圖形給出的更方便直觀的證法
4、,見華東師大的書。)例1、 求曲線的曲率的最大值。解 由曲率的表達(dá)式,從而得的最大值為。例2、證明:若曲線的所有切線經(jīng)過同一點(diǎn),則該曲線是一條直線.證明 證法一設(shè)曲線的切線經(jīng)過,則有,于是,假若,則,再由,得,矛盾,所以從而曲率,故曲線必為一條直線.證法二 設(shè)曲線為,為弧長參數(shù);所有切線經(jīng)過的點(diǎn)為,則有,從而,由,得與正交,于是因?yàn)楸赜?,所以為一條直線.例3 、 求橢圓上曲率最大和最小點(diǎn).解 由于.由公式,得 .不妨設(shè),于是在(長軸端點(diǎn))處曲率最大;而在、(短軸端點(diǎn))處曲率最??;且.例4、 由下述方程確定一條球面曲線:給定曲線上的一點(diǎn)求曲線在處的曲率.解 曲線為;由條件得;再由,得;,, ,,代入曲率公式,計(jì)算,得 .例5、 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),且,則等高
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