空間向量與立體幾何正式

1、空間向量與立體幾何【相關(guān)知識內(nèi)容】一、空間向量及其運(yùn)算：二、用向量法解決立體幾何中典型問題的基本思考方法：（1）如何將立體幾何條件（如線段、角度等）轉(zhuǎn)化為向量表示；（2）考慮一些未知的向量可否用基向量或其他已知向量表示；（3）如何對已經(jīng)表示出來的向量進(jìn)行運(yùn)算，才能獲得需要的結(jié)論三、向量法的應(yīng)用：1、直線的方向向量、平面的法向量及其求法：2、向量法確定空間平行、垂直：設(shè)直線，的方向向量分別為、，平面、的法向量分別為、，則（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ；3、利用空間向量求空間角（1）兩條異面直線所成的角：設(shè)直線、的方向向量為、，其夾角為，則 （2）直線與平面所

2、成的角：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角，則 （3）二面角（）若、分別是二面角的兩個面內(nèi)與垂直的異面直線，二面的平面角為，則，即 （如右圖）（）設(shè)、分別是二面角的兩個面、的法向量，則向量與的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角的平面角的大小即 （符號視具體情況進(jìn)行確定）（如右下圖）4、利用向量求空間距離（1）點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離：求兩點(diǎn)、之間的距離，即求向量的模；（2）點(diǎn)到直線的距離：設(shè)直線的方向向量為，為直線上任意一點(diǎn)，直線的法向量為，則點(diǎn)到直線的距離為 （3）點(diǎn)到平面的距離：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為 【應(yīng)用舉例】【例1】已知在正

3、三棱錐中，分別為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求證：【例2】在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長為2，且 ，求（1）的長；（2）直線與所成角的余弦值【例3】直三棱柱，分別是的中點(diǎn)（1）求的長；（2）求的值；（3）求證：【例4】如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)（1）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；（2）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F/平面A1BE？證明你的結(jié)A DB CA1 D1B1 C1EAEFBCDHG【例5】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的大小【例6】如圖所示的多面體是由底面為的長

4、方體被截面所截面而得到的，其中.（1）求的長； （2）求點(diǎn)到平面的距離.【課后作業(yè)】1、（11年“華約”）在正四棱錐P-ABCD中，、分別為、的中點(diǎn)，且側(cè)面與底面所成二面角的正切為，則異面直線與所成角的余弦為（ ） A、 B、 C、 D、2、（11年“卓越”）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱A1B1上的點(diǎn)，且A1F：FB1=1：3，則異面直線EF與BC1所成角的正弦值為（ ）A、 B、 C、 D、3、（11年“卓越”）在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長與側(cè)棱長均等于2，且E為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面AB1E的距離為（ ）A、 B、 C、 D、4、已知三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn).（