用最小二乘法求線性回歸方程

1、最小二乘法主要用來求解兩個具有線性相關關系的變量的回歸方程，該方法適用于求解與線性回歸方程相關的問題，如求解回歸直線方程，并應用其分析預報變量的取值等破解此類問題的關鍵點如下：析數(shù)據(jù)，分析相關數(shù)據(jù)，求得相關系數(shù)r，或利用散點圖判斷兩變量之間是否存在線性相關關系，若呈非線性相關關系，則需要通過變量的變換轉化構造線性相關關系建模型根據(jù)題意確定兩個變量，結合數(shù)據(jù)分析的結果建立回歸模型求參數(shù)利用回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計公式，求出b，a，的值從而確定線性回歸方程求估值將已知的解釋變量的值代入線性回歸方程y=bx+a中，即可求得y的預測值注意:回歸直線方程的求解與應用中要注意兩個方面

2、：一是求解回歸直線方程時，利用樣本點的中心（x，y）必在回歸直線上求解相關參數(shù)的值；二是回歸直線方程的應用，利用回歸直線方程求出的數(shù)值應是一個估計值，不是真實值經(jīng)典例題：下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為1,2.，17）建立模型：y=-30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：y=99+17.5t（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；（2）你認為

3、用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由思路分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2018時所對應的函數(shù)值，就得結果，（2）根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預測.解析：（1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為=30.4+13.519=226.1（億元）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為=99+17.59=256.5（億元）（2）利用模型得到的預測值更可靠理由如下：（i）從折線圖可

4、以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預測值更可靠（ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型得到的

5、預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預測值更可靠以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分總結：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過中心點求參數(shù).線性回歸方程是利用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法之一，線性回歸也是回歸分析中第一種經(jīng)過嚴格研究并在實際應用中廣泛使用的類型。按自變量個數(shù)可分為一元線性回歸分析方程和多元線性回歸分析方程。線性方程不難，公式會直接給出，有時會出現(xiàn)在選擇題，這部分難度同

6、樣是在于計算，剛開始學這部分知識的時候很多同學沒有耐心計算，其實很簡單的列個表格算就行了某公司要推出一種新產(chǎn)品，分6個相等時長的時段進行試銷，并對賣出的產(chǎn)品進行跟蹤以及收集顧客的評價情況（包括產(chǎn)品評價和服務評價），在試銷階段共賣出了480件，通過對所賣出產(chǎn)品的評價情況和銷量情況進行統(tǒng)計，一方面發(fā)現(xiàn)對該產(chǎn)品的好評率為5/6，對服務的好評率為0.75，對產(chǎn)品和服務兩項都沒有好評有30件，另一方面發(fā)現(xiàn)銷量和單價有一定的線性相關關系，具體數(shù)據(jù)如下表：考點分析：線性回歸方程線性回歸方程是高考新增內(nèi)容，主要考查散點圖、變量間的相關關系的判斷以及線性回歸方程的求法。題干分析：（1）由題意得到22列聯(lián)表，由公

7、式求出K2的觀測值，對比參考表格得結論；（2）求出樣本的中心點坐標，計算回歸方程的系數(shù)，寫出利潤函數(shù)w的解析式，求出w（x）的最大值以及對應的x的值解題反思：高考對線性回歸方程的考查力度逐步增加，以前只有很少題型出現(xiàn)，但在近幾年高考試題中就很常見了，逐漸成為高考數(shù)學熱點問題之一，由此可以看出這部分知識的重要性了。3.(2017山東卷)為了研究某班學生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為x.已知xi225，yi1 600，4.該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()A.160 B

8、.163 C.166 D.170解析由已知得x22.5，y160，回歸直線方程過樣本點中心(x，y)，且4，160422.5，解得70.回歸直線方程為4x70，當x24時，166.故選C.(2)(2016全國卷)如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.注：年份代碼17分別對應年份20082014.由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公

9、式分別為： (2)解由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得4， (ti)228，0.55. (ti)(yi)tiyiyi40.1749.322.89，所以r0.99.因為y與t的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.由1.331及(1)得0.103，1.3310.10340.92.所以，y關于t的回歸方程為0.920.10t.將2016年對應的t9代入回歸方程得：0.920.1091.82.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸.探究提高1.求回歸直線方程的關鍵及實際應用(1)關鍵：正確理解計算，的公式和準確地計算.(2

10、)實際應用：在分析實際中兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值.(2)(2017唐山一模)某市春節(jié)期間7家超市的廣告費支出xi(萬元)和銷售額yi(萬元)數(shù)據(jù)如下：超市ABCDEFG廣告費支出xi1246111319銷售額yi19324044525354若用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程；用對數(shù)回歸模型擬合y與x的關系，可得回歸方程12ln x22，經(jīng)計算得出線性回歸模型和對數(shù)模型的R2分別約為0.75和0.97，請用R2說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預測A超市廣告費支出為8萬元時的銷售額.參數(shù)數(shù)據(jù)及公式：8，42，xiyi2 794，x708，(1)解析k3.9183.841，且P(K2k03.841)0.05，根據(jù)獨立性檢驗思想“這種血清能起到預防