用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

1、 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系“高等代數(shù)選講”課程論文題目：用矩陣的初等變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 姓名： 廖丹學(xué)號(hào)： 410401141莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2004級(jí)2007年 6月20日 用矩陣的初等變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形041數(shù)本 410401141 廖丹摘要：本文介紹兩種特殊方法：一種是用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，另一種是連續(xù)用第三種初等行變換快速將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.關(guān)鍵詞：初等變換 第三種初等陣 非異陣 實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形1數(shù)域下任意一個(gè)實(shí)二次型,總可以經(jīng)過(guò)非奇異變換使得,其中為實(shí)數(shù),通常的方法是采用配方法或初等變換法,然而傳統(tǒng)的方法最大的缺點(diǎn)是不易求矩陣.下面介紹一種特

2、殊方法,能夠快速將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，一舉求出非異陣.定義以表示將單位矩陣的行（列）的倍加到行（列）,所得到的第三種初等陣.定理設(shè)是階實(shí)對(duì)稱陣,是有限個(gè)第三種初等陣,的乘積.且其中是維行向量,是階陣,則必有.證明：由于是的乘積，且,根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，用右乘時(shí),的第一列元素不變,從而,即是實(shí)對(duì)稱的. 亦為實(shí)對(duì)稱陣 這個(gè)定理實(shí)質(zhì)上就給出矩陣化標(biāo)準(zhǔn)形,求出變換矩陣的一種方法,只要連續(xù)使用第三種初等變換即可把化為上三角形.現(xiàn)作矩陣找出使則這個(gè)的轉(zhuǎn)置陣就是我們要找的非異陣,它使為對(duì)角陣.即只要對(duì)作有限次第三種初等變換,則當(dāng)把變換成上三角陣時(shí),的就同時(shí)化為,且使.例1 求非異陣,使為對(duì)角陣,其中.解：故

3、由定理知. 例2將實(shí)二次型化為平方和.解：此二次型的系數(shù)矩陣 ,的主對(duì)角元素全是0,故不能立即引用定理,需先對(duì)作初等行變換及其相應(yīng)的列.使經(jīng)過(guò)如此變換后得到的新合同陣的主對(duì)角有非零數(shù),然后再用定理即可. , 令,則.2 若要求一正交陣使成對(duì)角陣,這等價(jià)于經(jīng)過(guò)正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.一般步驟是通過(guò)施密特正交化過(guò)程來(lái)求解,但此方法較為復(fù)雜,下面介紹用解一些齊次線性方程組的方法來(lái)化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理設(shè)為階矩陣,秩,且其中是秩為的列滿秩矩陣,則矩陣所含個(gè)列向量就是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.證明：秩存在可逆的級(jí)矩陣使，其中是秩為的列滿秩矩陣同理：，其中表示秩為的每一列有且只有一元素為1的列滿

4、秩矩陣，表示秩為的每一列有且只有一元素為1的列滿秩矩陣，其中，由于的解向量個(gè)數(shù)為，而為秩為的列滿秩矩陣再由初等變換原理易知：矩陣所含個(gè)列向量就是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.定理矩陣的特征矩陣經(jīng)列的初等變換可化為下三角的矩陣,且的主對(duì)角線上元素的乘積的多項(xiàng)式的根恰為的所有特征根.此定理證明與定理1.2相仿,故省去.下面探討計(jì)算方法：設(shè) 且,其中為下三角矩陣,則的主對(duì)角線上的全部元素的多項(xiàng)式的全部根恰為矩陣的全部特征根,對(duì)于矩陣的每一特征根,若矩陣中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,那么矩陣中和中零向量所對(duì)應(yīng)的列向量是屬于特征根的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量；否則繼續(xù)使得中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,那么中

5、和中向量對(duì)應(yīng)的列向量是屬于特征根的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.設(shè)所求出的特征向量,它是一組線性無(wú)關(guān)的向量,以為列向量構(gòu)成矩陣,則是一個(gè)階正定矩陣,必與單位矩陣正合同,即存在階可逆矩陣,使得即式說(shuō)明：對(duì)矩陣施行一系列的列初等變換,（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為）及一系列的行初等變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為）,可化為單位矩陣；式說(shuō)明：的列向量組是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,可以通過(guò)對(duì)矩陣施行與對(duì)矩陣所施行的相同的初等變換求出.于是得到求正交矩陣的初等變換法對(duì)施行列初等變換,對(duì)施行行初等變換.實(shí)際上將化為,可先用分別乘以所在的行和列使變成1；再施以列初等變換把所在行其他元素化為0，又施以行初等變換把所在列的其他元素化為0 ,按此法,依次把變?yōu)?.其它元素變?yōu)?,那么矩陣即為所求的矩陣,且為對(duì)角陣,其中主對(duì)角線上元素例1 求正交矩陣使為對(duì)角陣,其中.解： 矩陣的特征根為（二重）,.當(dāng)時(shí),有非零向量的列構(gòu)成滿秩矩陣,對(duì)應(yīng)零向量的向量當(dāng)時(shí),同法求出對(duì)應(yīng)特征向量,是無(wú)關(guān)的,以為列向量構(gòu)成矩陣,再求出于是得：即得：且有參考文獻(xiàn)：1 北大. 高等代數(shù)M. 高等教育出版社,1989.112 北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)M.