第4章 習(xí)題解答

1、第4章 習(xí)題與答案4-1作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，每次通過(guò)同一位置時(shí)，不一定相同的量是 (A) 位移； (B) 速度； (C) 加速度； (D) 能量。答案：B 4-2 把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開(kāi)，使擺線與豎直方向成一微小角度q ，然后由靜止放手任其振動(dòng)，從放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。若用余弦函數(shù)表示其運(yùn)動(dòng)方程，則該單擺振動(dòng)的初相為 (A) p； (B) p/2； (C) 0； (D) q 答案：C 4-3 諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如題4-3圖所示，則有 （A）A超前/2； （B）A落后/2；題4-3圖 （C）A超前； （D）A落后。答案：A 4-4 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振輻為A，在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為A/2，

2、且向x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，代表此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為題4-4圖 中哪一個(gè)? 題4-4圖 (C)(B)(A)(D)OxwA/2AOOxA/2wAOxOA/2AwOxAwA/2答案：B 4-5 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相同、周期相同。第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x1 = Acos(wt + a)。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)從相對(duì)于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)恰在最大負(fù)位移處。則第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 答案：A 4-6 已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如題4-6圖所示。則此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程（SI）為 （A）； （B）； 題4-6圖 （C）； （D）。答

3、案：C 4-7 彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，先后以相同的速度依次通過(guò)A、B兩點(diǎn)，歷時(shí)1秒，質(zhì)點(diǎn)通過(guò)B點(diǎn)后再經(jīng)過(guò)1秒又第二次通過(guò)B點(diǎn)，在這2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的總路程為12cm，則質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期和振幅分別為 （A）3s、12cm ； （B）4s、6cm； （C）4s、9cm； （D）2s、8cm。答案：B 4-8 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程式為，動(dòng)能和勢(shì)能相等時(shí)，它的位移為 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。答案：B 4-9 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，在最大角位移向平衡位置運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 （A）動(dòng)能減少，勢(shì)能增加； (B) 動(dòng)能增加，勢(shì)能減少；（C）動(dòng)能增加，勢(shì)能增加； (D) 動(dòng)能減少，勢(shì)能減少。答案：B

4、4-10 一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示。若t = 0時(shí)，振子在位移為A/2處，且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則初相為 。答案：p/3 題4-11圖 4-11 一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線如題4-11圖所示。當(dāng)振子處在位移為零、速度為-wA、加速度為零的狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)于曲線上的 點(diǎn)；當(dāng)振子處在位移的絕對(duì)值為A、速度為零、加速度為-w2A的狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)于曲線上的_點(diǎn)。答案：b，f；a，e 4-12兩質(zhì)點(diǎn)1和2均沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅分別為A1和A2。振動(dòng)頻率相同。在t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1在平衡位置向X軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)2在處向x軸正向運(yùn)動(dòng)，兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差= .答案： 4-13一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，

5、振動(dòng)范圍的中心點(diǎn)為x軸的原點(diǎn). 已知周期為T(mén),振幅為A.(a)若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)過(guò)x=0處且朝x軸正方向運(yùn)動(dòng),則振動(dòng)方程為x= .(b)若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于x=A/2處且朝x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),則振動(dòng)方程x= .答案：Acos(2pt/T-p/2)，Acos(2pt/T+p/3) 4-14 已知兩個(gè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體的質(zhì)量相同，振動(dòng)曲線如圖所示。則這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的總能量之比為_(kāi)。題4-14圖答案：4-15 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng),它們的振動(dòng)方程分別為x1=0.05cos(w t+p/4) (SI)和x2=0.05cos(w t+19p/12) (SI)，其合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為x= .答案：0.

6、05cos(wt-p/12) 4-16從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看什么是簡(jiǎn)諧振動(dòng)? 從動(dòng)力學(xué)角度看什么是簡(jiǎn)諧振動(dòng)?一個(gè)物體受到一個(gè)使它返回平衡位置的力，它是否一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng)?答：從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看，物體在平衡位置附近作來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)變量(位移、角位移等)隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用一個(gè)正(余)弦函數(shù)來(lái)表示，則該物體的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。從動(dòng)力學(xué)角度看，物體受到的合外力(合外力矩)與位移(角位移)的大小成正比，而且方向相反，則該物體就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義可以看出，物體所受的合外力不僅要與位移方向相反，而且大小應(yīng)與位移大小成正比。所以，一個(gè)物體受到一個(gè)使它返回平衡位置的力，不一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。4-17試說(shuō)明下

7、列運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)：(1)小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)；(2)小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動(dòng)；(3)曲柄連桿機(jī)構(gòu)使活塞作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；(4)小磁針在地磁的南北方向附近擺動(dòng)。答：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征是：振動(dòng)物體的位移(角位移)隨時(shí)間按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律變化；動(dòng)力學(xué)特征是：振動(dòng)物體所受的合力(合力矩)與物體偏離平衡位置的位移(角位移)成正比而反向；從能量角度看，物體在系統(tǒng)勢(shì)能最小值附近小范圍的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以：(1)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，小球始終受重力，不滿足上述線性回復(fù)力特征；(2)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，小球只有在“小幅度”擺動(dòng)時(shí)才滿足上述特征；(3)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)活塞所受的力與位移成非線性關(guān)系

8、，不滿上述動(dòng)力學(xué)特征；(4)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，小磁針只有在“小幅度”擺動(dòng)時(shí)才滿足上述特征。4-18若把單擺或彈簧振子放到月球上去，它們的振動(dòng)周期會(huì)發(fā)生變化嗎?答：由單擺的周期可知，把單擺放到月球上去以后，由于其重力加速度g發(fā)生了變化，所以單擺的振動(dòng)周期就變長(zhǎng)了。而由彈簧振子的振動(dòng)周期可知，在月球上彈簧振子的振動(dòng)周期不會(huì)變，因?yàn)閺椈烧褡拥恼駝?dòng)周期不涉及地球或月球的因素，只與彈簧振子本身的因素有關(guān)。4-19在振動(dòng)中，為什么要用相位來(lái)表示振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?答：在力學(xué)中，物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用位移、速度和加速度來(lái)描述的。在振動(dòng)中，其特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的周期性，對(duì)于這種運(yùn)動(dòng)，已知相位可以確定位移、速度

9、和加速度，但是，只用位移、速度和加速度這些物理量無(wú)法反映其周期性的特征。對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)振幅和振動(dòng)頻率一定時(shí)，振動(dòng)物體在任一時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位移及其速度都由相位來(lái)決定。在一個(gè)周期內(nèi)，相應(yīng)的相位在02之間，物體所經(jīng)歷的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在各點(diǎn)都不相同；在下一周期則重復(fù)上述各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所以，物體經(jīng)歷兩個(gè)相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，必須間隔一個(gè)周期或周期T的整數(shù)倍時(shí)間，相應(yīng)地相位間的差則為2或2的整數(shù)倍。這樣，用相位來(lái)既可以決定物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，又可以反映出這種運(yùn)動(dòng)的周期性特征。另外，在比較兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的步調(diào)時(shí)，用相位表示更一目了然，具有明顯的優(yōu)越性。例如，若大于零或小于零，就表示振動(dòng)物體2超前振動(dòng)物

10、體1或落后于振動(dòng)物體1；若0則表示兩個(gè)物體的振動(dòng)是同步的。因此，在振動(dòng)學(xué)中，用相位來(lái)表示運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。4-20彈簧振子的無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，同一彈簧振子在周期性驅(qū)動(dòng)力持續(xù)作用下的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這兩種簡(jiǎn)諧振動(dòng)有什么不同?答：無(wú)阻尼自由振動(dòng)(簡(jiǎn)諧振動(dòng))的振幅由決定，振動(dòng)周期由決定，即A和T由系統(tǒng)的初始狀態(tài)、和系統(tǒng)本身的固有性質(zhì)決定，其中的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率。而彈簧振子在周期性驅(qū)動(dòng)力持續(xù)作用下的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅由決定，由此可知，系統(tǒng)的振幅不再由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和決定，而依賴于振子的性質(zhì)、阻尼的大小和周期性驅(qū)動(dòng)力的特征。穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振動(dòng)頻率也不決定于系統(tǒng)本身的固有性質(zhì)，而由驅(qū)動(dòng)

11、力的頻率決定。4-21何謂拍現(xiàn)象，出現(xiàn)拍現(xiàn)象的條件是什么？如果參與疊加的兩個(gè)振動(dòng)的頻率相差很大，能否出現(xiàn)拍現(xiàn)象?答：兩個(gè)頻率都較大，但頻率之差都很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成所產(chǎn)生的合振動(dòng)其振幅周期性變化的現(xiàn)象叫做拍。出現(xiàn)拍現(xiàn)象要求兩個(gè)分振動(dòng)的角頻率都較大且非常接近，其差值很小時(shí)，即遠(yuǎn)小于和。如果參與疊加的兩個(gè)振動(dòng)的頻率相差很大，不能出現(xiàn)拍現(xiàn)象。題4-22圖4-22 由質(zhì)量為M的木塊和勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧組成在光滑水平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)的諧振子，如題4-36圖所示。開(kāi)始時(shí)木塊靜止在O點(diǎn)，一質(zhì)量為m的子彈以速率v0沿水平方向射入木塊并嵌在其中，然后木塊（內(nèi)有子彈）作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若以子彈射入木塊并嵌在木塊中時(shí)

12、開(kāi)始計(jì)時(shí)，試寫(xiě)出系統(tǒng)的振動(dòng)方程。取x軸如圖所示。解：寫(xiě)系統(tǒng)的振動(dòng)方程，要求出A，w，f , vm為子彈與木塊（一個(gè)整體）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的速率，由動(dòng)量守恒得： 4-23 一質(zhì)量均勻的方木塊靜止在水面上，沒(méi)入水中的高度為。如果將木塊輕輕下壓再放手，它將上下浮動(dòng)。試證明木塊的上下浮動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且周期為。（不考慮水的阻力）解：由受力分析可知，當(dāng)木塊離開(kāi)平衡位置的位移為x時(shí)，重力與浮力的合力為，這里和分別是水的密度和木塊的底面積。此外，由平衡條件，木塊的質(zhì)量?？梢?jiàn)，木塊的運(yùn)動(dòng)等效于一質(zhì)量，勁度系數(shù)的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，故為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振動(dòng)周期4-24質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 x1=A/

13、2 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在 x2= -A/2處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。解：設(shè)兩個(gè)同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式分別為， 由 ，且向左運(yùn)動(dòng)，得 由 ，且向右運(yùn)動(dòng)，得 則兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差 （ 或 ） 4-25簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的小球，速度最大值為cm/s，振幅cm，若從速度為正的最大值的某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)算時(shí)間。（1）求振動(dòng)的周期；（2）求加速度的最大值；（3）寫(xiě)出振動(dòng)表達(dá)式。解：（1）振動(dòng)表達(dá)式為 振幅，得 周期 （2）加速度的最大值 （3）速度表達(dá)式 由旋轉(zhuǎn)矢量圖知， 得初相 振動(dòng)表達(dá)式 （SI） 4-26知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如題4-26圖所示，位移的單位為厘米，時(shí)間單位為秒。求此簡(jiǎn)諧

14、振動(dòng)的振動(dòng)方程。解：設(shè)振動(dòng)方程為 由曲線可知 A = 10 cm當(dāng)t = 0， 題4-26圖解上面兩式，可得 初相 由圖可知質(zhì)點(diǎn)由位移為 x0 = -5 cm和v 0 < 0的狀態(tài)到x = 0和 v > 0的狀態(tài)所需時(shí)間t = 2 s，代入振動(dòng)方程得 則有 ， 故所求振動(dòng)方程為 (SI) 4-27 質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為 (SI)（1）寫(xiě)出動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式；（2）當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半； （3）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到上述位置所需最短時(shí)間為多少?解：（1） ，勢(shì)能 動(dòng)能 總能量 （2） 勢(shì)能 總能量 由題意， m (3) 周期 T = 2p/w = 6 s 從平衡位置運(yùn)動(dòng)到的最短時(shí)間 Dt 為 T/8 Dt = 0.75 s 4-28一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.20m，如彈簧的勁度系數(shù)k=2.0N/m，所系物體的質(zhì)量m=0.50kg，試求：（1）當(dāng)動(dòng)能和勢(shì)能相等時(shí)，物體的位移是多少?（2）設(shè)t=0時(shí)，物體在正最大位移處，達(dá)到動(dòng)能和勢(shì)能相等處所需的時(shí)間是多少?（在一個(gè)周期內(nèi)。）解：(1)由題意，及簡(jiǎn)諧振動(dòng)特征，得(2)由條件，得4-29有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，