理學(xué)相關(guān)與回歸分析

1、三 相關(guān)與回歸分析（1） 相關(guān)分析的基本概念辯證唯物主義認(rèn)為物質(zhì)世界是一個(gè)普遍聯(lián)系的統(tǒng)一整體。這說(shuō)明，世界上的事物或多或少存在著某種聯(lián)系。例如：身高與體重之間，就存在著聯(lián)系，一般情況下，身體越高體重也越大；投資與利潤(rùn)之間也存在著類似的聯(lián)系。研究這種聯(lián)系無(wú)論是在經(jīng)營(yíng)決策還是在科學(xué)研究中都必不可少，比如：投資方只有在考慮了投資和利潤(rùn)的關(guān)系后，才能大致預(yù)測(cè)出一定水平的投資能帶來(lái)多少利潤(rùn)；又如，在工程技術(shù)中，對(duì)于混凝土的抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度的研究，有助于應(yīng)對(duì)不同的施工要求。要研究這些變量之間的關(guān)系，可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行，而這種統(tǒng)計(jì)的方法主要是相關(guān)分析和回歸分析兩種。1 相關(guān)關(guān)系如前所述，變量之間存在著

2、相互的聯(lián)系，如果進(jìn)一步考察，可以發(fā)現(xiàn)，這些聯(lián)系又具體的可以分為兩種不同的類型。1）函數(shù)關(guān)系它反映現(xiàn)象之間存在著嚴(yán)格的依存關(guān)系。其特點(diǎn)：變量之間的數(shù)值以確定的關(guān)系相對(duì)應(yīng)這種關(guān)系中，對(duì)于某一變量的每一個(gè)數(shù)值，都有另一個(gè)變量的確定的值與之相對(duì)應(yīng)。變量間的關(guān)系可以用一個(gè)確定的公式來(lái)反映例如，圓的面積隨著半徑而變動(dòng)；，產(chǎn)值和產(chǎn)量、單位生產(chǎn)成本之間也是確定的函數(shù)關(guān)系。2）相關(guān)關(guān)系它是指現(xiàn)象之間確實(shí)存在依存關(guān)系，但這種關(guān)系不確定不嚴(yán)格。這種關(guān)系的特點(diǎn)：變量之間確實(shí)存在數(shù)量上的依存關(guān)系如前所述的身高與體重之間，投資與利潤(rùn)之間都存在著某種依存關(guān)系。數(shù)量依存關(guān)系的具體關(guān)系值是不固定的在這種關(guān)系中，對(duì)于某個(gè)變量的某

3、個(gè)數(shù)值，另一個(gè)變量可以有若干個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這些數(shù)值表現(xiàn)出一定的波動(dòng)性。例如：身高與體重之間，存在一定的依存關(guān)系。但是體重除了與身高有關(guān)外，還受年齡、性別、區(qū)域、種族等因素影響。身高與體重并無(wú)嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同一身高的人，體重大多數(shù)情況下是不相等的。但即便如此，這兩個(gè)變量之間仍舊存在一定的規(guī)律性，在一般條件下，身高越高，體重越大。統(tǒng)計(jì)在研究變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先根據(jù)有關(guān)的科學(xué)理論，通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)，才能建立這種聯(lián)系，并且還要通過(guò)理論與實(shí)踐的檢驗(yàn)。只有這樣，才能得出科學(xué)的有意義的結(jié)論。2 相關(guān)關(guān)系的種類變量之間的相關(guān)關(guān)系是很復(fù)雜的，它們各以不同的方式和程度相互作用，表現(xiàn)出不同的類型和形態(tài)。1）

4、 按相關(guān)關(guān)系涉及的變量多少來(lái)劃分，可分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系叫做單相關(guān)（也稱一元相關(guān)），即只涉及一個(gè)自變量和一個(gè)因變量。三個(gè)或三個(gè)以上的變量之間的相關(guān)關(guān)系叫做復(fù)相關(guān)（也稱多元相關(guān)），即研究涉及一個(gè)因變量和兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量。2） 按相關(guān)的方向分，可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)自變量的數(shù)值增加，因變量的數(shù)值也基本隨之增加，即為正相關(guān)，例如：商品價(jià)格上升，供給也上升。而相反的即為負(fù)相關(guān)，如商品價(jià)格上升，商品的需求下降。3）按相關(guān)的表現(xiàn)形式分，分為線性相關(guān)（直線相關(guān)）和非線性相關(guān)（曲線相關(guān)）變量間的相關(guān)關(guān)系近似地表現(xiàn)為直線即稱為直線相關(guān)。其特點(diǎn)是當(dāng)一個(gè)變量增減1個(gè)單位時(shí)，另一個(gè)變量也按一個(gè)

5、大致固定的量變化。若這種相關(guān)關(guān)系近似為曲線時(shí)，即稱為曲線相關(guān)，按具體形態(tài)又可分為：拋物線、指數(shù)曲線、雙曲線等。在實(shí)際應(yīng)用中，變量之間究竟采取哪種形態(tài)，要根據(jù)具體情況進(jìn)行理論分析，并根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，才能得到較好的解決。4） 按照相關(guān)的密切程度分，分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和無(wú)相關(guān)（b）不完全相關(guān)yx（a）完全相關(guān)yx當(dāng)一個(gè)變量的值完全由另一個(gè)變量的值所決定，即稱為完全相關(guān)，即前述的函數(shù)關(guān)系，如；兩個(gè)變量各自獨(dú)立，互不影響，稱為無(wú)相關(guān)，如股票價(jià)格和氣溫之間，一般是無(wú)相關(guān)的。介于這二者之間，稱為不完全相關(guān)，通常相關(guān)分析是指對(duì)不完全相關(guān)的分析。以上相關(guān)關(guān)系的種類，如圖1所示。（d）曲線相關(guān)xy（c）無(wú)相關(guān)

6、xy（f）負(fù)相關(guān)xy（e）正相關(guān)xy圖1 相關(guān)關(guān)系類型需要注意的是，現(xiàn)實(shí)的相關(guān)關(guān)系一般是以組合形態(tài)出現(xiàn)，如圖1(a)為完全線性正相關(guān)，圖1(b)為不完全線性正相關(guān)。而相應(yīng)的完全線性負(fù)相關(guān)和不完全線性負(fù)相關(guān)如圖2(a)和圖2(b)。（b）不完全線性負(fù)相關(guān)xy（a）完全線性負(fù)相關(guān)xy圖2 相關(guān)關(guān)系的組合類型此外，線性關(guān)系還有其他的組合類型，在此不一一列舉。3 相關(guān)分析的主要內(nèi)容相關(guān)分析的目的在于分析現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系的形式和密切程度以及依存變動(dòng)的規(guī)律性，在實(shí)際工作中，有非常廣泛的應(yīng)用。主要內(nèi)容如下:1) 確定變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系，以及相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式這是相關(guān)分析的出發(fā)點(diǎn)，由相關(guān)關(guān)系才能用相應(yīng)的方法去

7、分析，否則，只會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為何種形式就用什么樣的方法分析，若把本屬于直線相關(guān)的變量用曲線的方法來(lái)分析，就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的偏差。2) 確定相關(guān)關(guān)系的密切程度對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，直線相關(guān)用相關(guān)系數(shù)表示，曲線相關(guān)用相關(guān)指數(shù)表示，相關(guān)系數(shù)的用途很廣泛。3）選擇合適的數(shù)學(xué)方程式確定了變量之間確實(shí)有相關(guān)關(guān)系和及其密切程度，就要選擇合適的數(shù)學(xué)方程式來(lái)對(duì)變量之間的關(guān)系近似描述，并用自變量的數(shù)值去推測(cè)因變量的數(shù)值，稱之為回歸分析。如果變量之間為直線相關(guān)，則采用直線方程，稱之為線性回歸；如果變量之間為曲線相關(guān)，則采用曲線方程，稱之為非線性回歸。4）測(cè)定變量估計(jì)值的準(zhǔn)確程度在相關(guān)分析中，第三步建立了數(shù)學(xué)方

8、程式，并用方程式對(duì)因變量進(jìn)行估值。因變量的估計(jì)值和實(shí)際值之間進(jìn)行對(duì)比，因變量估計(jì)值的準(zhǔn)確程度可以用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)衡量。5）對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)對(duì)前幾步變量之間建立的回歸方程，要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)變量之間是否真的具備這樣的關(guān)系，這種關(guān)系是不是因?yàn)閿?shù)據(jù)的選取而偶然形成的。（2）簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析1 散點(diǎn)圖和相關(guān)表進(jìn)行相關(guān)分析，和許多其它的統(tǒng)計(jì)研究一樣，基本都是采用定性和定量相結(jié)合的方法，即先作定性分析，再作定量分析。所謂定性分析，是要根據(jù)有關(guān)專業(yè)知識(shí)和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，來(lái)判斷變量之間是否存在一定的相關(guān)性。如果確實(shí)存在關(guān)系再通過(guò)編制散點(diǎn)圖和相關(guān)表，對(duì)變量之間的相關(guān)關(guān)系的類型做出大致判斷。上述工作完成后，

9、再進(jìn)行定量分析，即可以計(jì)算相關(guān)系數(shù)，以精確反映相關(guān)關(guān)系的方向和程度。1） 繪制散點(diǎn)圖【例1】在某個(gè)地區(qū)抽取了9家生產(chǎn)同類產(chǎn)品的企業(yè)，其月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本的資料如表1，現(xiàn)在來(lái)分析月產(chǎn)量和單位成本的關(guān)系。表1 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本資料企業(yè)編號(hào)123456789月產(chǎn)量（千件）（x）4.16.35.47.63.28.59.76.82.1單位產(chǎn)本（元）（y）807271588650426391根據(jù)規(guī)模經(jīng)濟(jì)理論，可以判斷產(chǎn)品的產(chǎn)量和單位成本之間存在著相關(guān)關(guān)系，再繪制散點(diǎn)圖，我們可以比較直觀地看出這兩個(gè)變量間的關(guān)系。如圖3所示。圖3 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本散點(diǎn)圖從圖3看出，月產(chǎn)量和單位成

10、本是負(fù)相關(guān)，而且有形成一條直線的傾向。如果與某個(gè)變量相關(guān)的因素不止一個(gè)，可以分別繪制許多相關(guān)圖。從許多相關(guān)圖的對(duì)比中，大致可以看出與各因素關(guān)系的密切程度，從中判斷哪個(gè)是主要因素，哪個(gè)是次要因素。2） 相關(guān)表根據(jù)總體單位的原始數(shù)據(jù)可以編制相關(guān)表，根據(jù)例1的數(shù)據(jù)，將月產(chǎn)量按照升序排列，即得相關(guān)表，見(jiàn)表2。表2 9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本相關(guān)表序 號(hào)月產(chǎn)量（千件）（x）單位產(chǎn)本（元）（y）92.19153.28614.18035.47126.37286.86347.65868.55079.742合計(jì)53.7613從相關(guān)表中可以看出，月產(chǎn)量和單位成本之間存在著明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系。3） 分組相關(guān)表在實(shí)

11、際的統(tǒng)計(jì)工作中，原始數(shù)據(jù)是非常多的，如果直接編制相關(guān)表會(huì)很長(zhǎng)，而由于數(shù)據(jù)點(diǎn)過(guò)多，散點(diǎn)圖也不好繪制，這時(shí)常常編制分組相關(guān)表。根據(jù)分組情況不同，分組表有兩種：?jiǎn)巫兞糠纸M表和雙變量分組表，而在實(shí)際操作中，單變量應(yīng)用最為廣泛。單變量分組表在有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量中，只根據(jù)一個(gè)變量進(jìn)行分組，另一個(gè)不進(jìn)行分組，只是計(jì)算其頻數(shù)和平均值。如表3所示。表3 380名女大學(xué)生的體重和身高相關(guān)表按體重分組（）人數(shù)（人）每組平均身高（m）60以上41.760-6261.6555-60721.6350-55641.647-501101.5845-471211.5645以下31.53合計(jì)38011.25圖8-4 380名女

12、大學(xué)生的體重和身高散點(diǎn)圖從表3和圖4可以看出，這380名女大學(xué)生的身高和體重之間存在著明顯的正相關(guān)關(guān)系。雙變量分組表如果對(duì)表3中的兩個(gè)變量都進(jìn)行分組，可以得到雙變量分組表，但由于這種分組后的相關(guān)表，加權(quán)的方法比較復(fù)雜，而且并不實(shí)用，所以在實(shí)際中已很少采用，從略。2 相關(guān)系數(shù)的計(jì)算通過(guò)前述相關(guān)表和散點(diǎn)圖，可以基本判斷變量間相關(guān)關(guān)系的方向和程度，但這只是相關(guān)分析的開始。如果通過(guò)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)變量間基本是線性相關(guān)，那么如何判定其線性關(guān)系的密切程度呢？這可以用相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量。1） 相關(guān)系數(shù)1890年英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾皮爾遜（Karl Pearson）便提出了相關(guān)系數(shù)的公式。-式中：r-相關(guān)系數(shù)-變量x與變量

13、y的協(xié)方差；-變量x的標(biāo)準(zhǔn)差-變量y的標(biāo)準(zhǔn)差需要說(shuō)明的是，為正意味著變量x與變量y為正相關(guān)，為負(fù)意味著變量x與變量y為負(fù)相關(guān)。r與同符號(hào)，也意味著r為正意味著變量x與變量y為正相關(guān)，r為負(fù)意味著變量x與變量y為負(fù)相關(guān)。2）未分組資料的相關(guān)系數(shù)將以上各式代入的定義式，可得：-式為相關(guān)系數(shù)的基本計(jì)算公式。經(jīng)推算，還可形成相關(guān)系數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算公式：-或者：-現(xiàn)用表2的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明相關(guān)系數(shù)的計(jì)算過(guò)程。表4 相關(guān)系數(shù)計(jì)算表序 號(hào)月產(chǎn)量 x（千件）單位成本 y（元）14.18016.81640032826.37239.695184453.635.47129.165041383.447.65857.763364

14、440.853.28610.247396275.268.55072.25250042579.74294.091764407.486.86346.243969428.492.1914.418281191.1合計(jì)53.7613370.65438993332.9在已有平均值的情況下，還可以用式計(jì)算，即：，注：協(xié)方差正負(fù)的意義。為正，則說(shuō)明，或者和多數(shù)情況下符號(hào)相同，即和基本上同時(shí)大或同時(shí)小，即兩個(gè)變量之間為正相關(guān)；同理，為負(fù)，則說(shuō)明兩個(gè)變量之間為負(fù)相關(guān)。3）分組資料的相關(guān)系數(shù)計(jì)算當(dāng)原始數(shù)據(jù)較多，已分組編成二元頻數(shù)分布表時(shí)，就用各組頻數(shù)加權(quán)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，公式為：-式中：-的頻數(shù)-的頻數(shù)-的聯(lián)合頻數(shù)3

15、相關(guān)系數(shù)的密切程度可以證明，相關(guān)系數(shù) 1。0，表明變量之間正相關(guān)；0，表明變量之間負(fù)相關(guān)。那么，相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱如何通過(guò)體現(xiàn)？=1，表明變量之間為完全的線性相關(guān)關(guān)系；=0，表明變量之間沒(méi)有線性關(guān)系，但要注意，有可能是曲線關(guān)系。當(dāng)01時(shí)，變量之間有不同程度的線性關(guān)系。由此可以確定一個(gè)對(duì)相關(guān)程度評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。00.3為弱相關(guān)；0.30.5為低度相關(guān)0.50.8為顯著相關(guān)0.81為高度相關(guān)。4 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)測(cè)算兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)，是從二元總體中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本，再用樣本的相關(guān)系數(shù)去推斷，因?yàn)橥茢嗾`差的存在，不可能保證百分之百的可靠。也就是說(shuō)，因?yàn)闃颖臼请S機(jī)抽取的，根據(jù)其計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)雖然很大，

16、但總體卻可能并不具備相關(guān)性。那么總體到底有沒(méi)有線性相關(guān)性，在得出結(jié)論前，就必須要做假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)樣本（相關(guān)系數(shù)為）是否會(huì)來(lái)自于一個(gè)無(wú)線性關(guān)系的總體（總體的相關(guān)系數(shù)為），可以采用費(fèi)舍（）的t檢驗(yàn)法。1）原假設(shè)：；備擇假設(shè)：。2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：，其中為自由度。3）若顯著性水平為，查表的臨界值：4）若，則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即認(rèn)為樣本的相關(guān)系數(shù)顯著，可以說(shuō)明總體兩個(gè)變量間存在著線性相關(guān)，檢驗(yàn)通過(guò)。若，則結(jié)論相反?！纠?】用上述方法，對(duì)【例1】中9家企業(yè)的月產(chǎn)量和單位成本的樣本相關(guān)系數(shù)做顯著性檢驗(yàn)。已知：，提出如下假設(shè)：； ：設(shè)顯著性水平。查t表得，表明總體相關(guān)系數(shù)的可能性小于。所以拒絕原假設(shè)：

17、，認(rèn)為樣本的相關(guān)關(guān)系具有顯著性，即不能否認(rèn)總體（全部的同類企業(yè)）的兩變量存在線性相關(guān)。（3）回歸分析1 回歸分析的概念通過(guò)相關(guān)分析可以說(shuō)明變量之間相關(guān)關(guān)系的方向和程度，但是卻不能說(shuō)明變量之間具體的數(shù)量因果關(guān)系。當(dāng)自變量給出一個(gè)數(shù)值時(shí)，因變量可能取值是多少，這是相關(guān)分析不能解決的。這需要通過(guò)新的方法，即回歸分析?；貧w分析：就是建立一個(gè)數(shù)學(xué)方程來(lái)反映變量之間具體的相互依存關(guān)系，并最終通過(guò)給定的自變量數(shù)值來(lái)估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量可能的數(shù)值，該數(shù)學(xué)方程稱為回歸模型?！盎貧w”意思源于19世紀(jì)英國(guó)生物學(xué)家葛爾登（Francis Galton）對(duì)人體遺傳學(xué)的研究，他發(fā)現(xiàn)子女有回歸或回復(fù)到上一代原有特性的傾向。葛爾

18、登的學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜把這一概念和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法結(jié)合，最終形成了回歸分析的理論體系。2 線性回歸分析在回歸分析中，如果變量之間的回歸模型是直線方程，則這類回歸分析為線性回歸分析（直線回歸），該直線方程成為線性回歸方程。具體的：如果直線方程中只有一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，稱之為簡(jiǎn)單線性回歸分析；若存在一組自變量和多個(gè)因變量，稱之為多元線性回歸分析。線性回歸分析是整個(gè)回歸分析的基礎(chǔ)。1）簡(jiǎn)單線性回歸分析主要任務(wù)是在唯一的自變量和因變量之間建立一個(gè)直線函數(shù)，其表現(xiàn)形式為：需要指出的是：是自變量，是因變量的估計(jì)值，又稱理論值。實(shí)際觀測(cè)值和理論值的關(guān)系是：，式中稱為離差，反映了因各種偶然因素、觀察誤差以及被

19、忽略的其他影響因素帶來(lái)的隨機(jī)誤差。一般簡(jiǎn)單線性回歸方程確定，主要是確定和，那么如何選擇最為滿意的和呢？最小平方法給出了解決方案，其基本思想是讓，又稱最小二乘法。將代入。令根據(jù)微分求極值的原理，分別對(duì)和求偏導(dǎo)，令其為零。得：整理得：求解方程組，可得和：-則可得直線回歸方程 ?！纠?】根據(jù)【例1】中的數(shù)據(jù)，建立月產(chǎn)量和單位產(chǎn)品成本之間的直線方程。并估計(jì)當(dāng)月產(chǎn)量（千件）時(shí)，單位產(chǎn)品成本的數(shù)值。表5 直線回歸方程計(jì)算表序 號(hào)月產(chǎn)量 x（千件）單位成本 y（元）14.18016.81640032826.37239.695184453.635.47129.165041383.447.65857.76336

20、4440.853.28610.247396275.268.55072.25250042579.74294.091764407.486.86346.243969428.492.1914.418281191.1合計(jì)53.7613370.65438993332.9將表5有關(guān)數(shù)據(jù)代入式，得：，所以回歸方程為：當(dāng)（千件），（元）。直線如圖5所示。圖5 月產(chǎn)量和單位成本的直線回歸方程圖當(dāng)時(shí)間為解釋變量時(shí)的簡(jiǎn)單線性回歸方程若自變量為時(shí)間，則用t表示，此時(shí),直線方程為：由最小平方原理可得：若，則： ，-那么，怎樣使得呢？年編（序）號(hào)： 奇數(shù) 偶數(shù)1990 -2 -51991 -1 -31992 0 -1199

21、3 1 +11994 2+31995 +5【例8.4】某游覽點(diǎn)歷年觀光游客的數(shù)量如下表，用最小平方法建立直線方程，并預(yù)測(cè)2010年的游客數(shù)量年份時(shí)間序號(hào)游客（萬(wàn)人）19981-310019100-30019992-211244224-22420003-112591375-125200140140160560020025115525177515520036216836410083362004731804991260540合計(jì)280980140284302382萬(wàn)人若，則萬(wàn)人2） 多元線性回歸簡(jiǎn)單線性回歸反映的是一個(gè)自變量和一個(gè)因變量之間的關(guān)系，但是客觀事物非常復(fù)雜，許多現(xiàn)象的變動(dòng)牽扯到多個(gè)影響因

22、素。例如：一個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)，受產(chǎn)值、成本、價(jià)格等多個(gè)因素的影響；再如，糧食產(chǎn)量受施肥量，同時(shí)也受溫度、播種量、土壤的酸堿性、降雨量的影響。所以在現(xiàn)實(shí)中，經(jīng)常要進(jìn)行一個(gè)變量和多個(gè)自變量的多元線性回歸分析。其一般形式為：。為了敘述方便，本書以二元線性回歸為例。即一個(gè)因變量和兩個(gè)自變量得線性回歸，方程為：。利用最小二乘原理，可以得出如下的方程組：- 解該方程組可得?！纠?.5】某服裝企業(yè)有十家銷售公司分布在不同的城市，決策者通過(guò)反復(fù)調(diào)查分析后認(rèn)為，影響該企業(yè)總銷售額的因素為：當(dāng)?shù)氐娜司率杖牒蛷V告投入，經(jīng)過(guò)一年的統(tǒng)計(jì)，有關(guān)數(shù)據(jù)如表6。表6 企業(yè)銷售額與廣告投入和人均收入（千元）城市銷售額廣告投入人均月

23、收入155401922.63 254392102.42342901461.71 455022003.12 548711302.63 647081102.70 746271032.30 84110902.39 94122981.78 1042301321.96 合計(jì)47439141123.65多元線性回歸方程也可以按照上述的最小二乘法通過(guò)求解方程組得出，但在實(shí)際操作中不要求手算，可用EXCEL“數(shù)據(jù)分析”中的“回歸”求解。得出結(jié)果如下：如果廣告投入，人均月收入，則銷售額的估計(jì)值為。上面的方法可以推廣到n個(gè)自變量的情況，對(duì)回歸方程：同樣可用最小平方法，建立一個(gè)階方程組（式），解該方程組可求出有關(guān)參

24、數(shù)。-（3） 曲線回歸分析若回歸模型表現(xiàn)為曲線形式，則這就是曲線回歸分析，曲線模型種類多樣，不過(guò)在統(tǒng)計(jì)研究中常用的曲線模型主要有：1）二次拋物線：2）指數(shù)曲線：3）雙曲線：在建立曲線回歸方程時(shí)，最重要的問(wèn)題是合適的曲線類型，解決這個(gè)問(wèn)題，主要是通過(guò)作圖，然后憑借經(jīng)驗(yàn)從圖形顯示的曲線形狀來(lái)判斷應(yīng)當(dāng)擬合的曲線。圖6至8給出了以上三種曲線的圖形。yxyx在多數(shù)情況下，曲線回歸問(wèn)題，可以通過(guò)變量代換，將其化成線性回歸問(wèn)題，然后再用前面介紹的線性回歸的方法來(lái)解決。yxyx圖6 拋物線圖8-7 指數(shù)曲線xyyx圖8 雙曲線1 雙曲線回歸令，則有【例6】?jī)蓚€(gè)變量的數(shù)據(jù)如下表，建立這兩個(gè)變量的回歸方程。9.3

25、10.412.615.417.519.621.723.425.327.517.124.231.337.943.346.247.550.151.151.3做出散點(diǎn)圖如下：從圖中可以看出這兩個(gè)變量之間的變動(dòng)關(guān)系基本上是一個(gè)遞增的雙曲線，則用雙曲線模型去分析兩個(gè)變量的關(guān)系,計(jì)算表如表7表7 x和y雙曲線回歸方程計(jì)算表序號(hào)19.317.1 0.1080.0580.0120.006288210.424.2 0.0960.0410.0090.003973312.631.3 0.0790.0320.0060.002536415.437.9 0.0650.0260.0040.001713517.543.3 0

26、.0570.0230.0030.00132619.646.2 0.0510.0220.0030.001104721.747.5 0.0460.0210.0020.00097823.450.1 0.0430.020.0020.000853925.351.1 0.040.020.0020.0007731027.551.3 0.0360.0190.0010.000709合計(jì)182.74000.6210.2830.0440.02024將表中數(shù)據(jù)代入以下公式：得：于是有：將，代入后，得：在實(shí)際操作中，一元曲線回歸不用手工來(lái)完成，都是先將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，再按照線性回歸添加趨勢(shì)線的方法來(lái)擬合曲線。2 指數(shù)曲線

27、回歸和拋物線回歸1）指數(shù)曲線：兩邊取對(duì)數(shù)：令：，則得到一元線性回歸模型：2）二次拋物線：令，原方程轉(zhuǎn)化為二元線性回歸模型：（4）線性回歸分析的評(píng)價(jià)和檢驗(yàn)通過(guò)以上的學(xué)習(xí)，我們可以得出回歸方程，但變量之間的回歸方程畢竟是根據(jù)隨即抽取的樣本來(lái)計(jì)算的一個(gè)“經(jīng)驗(yàn)公式”，根據(jù)回歸模型計(jì)算的值只是一個(gè)“估計(jì)值”，和實(shí)際的值之間存在差異。因而這時(shí)又出現(xiàn)了兩個(gè)問(wèn)題：1）如何去評(píng)價(jià)回歸模型的準(zhǔn)確性？2）如何去檢驗(yàn)回歸模型的可靠性？對(duì)以上兩個(gè)問(wèn)題的說(shuō)明，就是本節(jié)的主要內(nèi)容。線性回歸分析是各類回歸分析的基礎(chǔ)，所以本節(jié)以線性回歸分析為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。1 判定系數(shù)和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差要評(píng)價(jià)回歸模型的精確性，主要是用判定系數(shù)和估計(jì)

28、標(biāo)準(zhǔn)誤差這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量。1）判定系數(shù)回歸方程的準(zhǔn)確性又稱為擬合優(yōu)度，判定系數(shù)是測(cè)定回歸方程擬合優(yōu)度的一個(gè)重要指標(biāo)，為此要先引入幾個(gè)概念：總變差：，記作?；貧w變差：，記作。殘余變差：，記作?？梢宰C明：-判定系數(shù)的定義為：-結(jié)合公式和公式，可以看出越大，則意味著回歸變差在總變差中占的比重越大，因而越小，即與的差距越小，對(duì)的擬合程度高，也就是說(shuō)該回歸模型的準(zhǔn)確度越強(qiáng)?？梢宰C明：01，即越接近于1，回歸模型的“擬合憂度”越好。簡(jiǎn)單線性回歸方程的用式計(jì)算會(huì)非常繁瑣，可以證明若一元線性回歸方程的相關(guān)系數(shù)，有這樣的結(jié)論：。對(duì)【例3】 中的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算其判定系數(shù)，其相關(guān)系數(shù)=0.9886，所以。計(jì)算結(jié)果表明，單位

29、成本的總變差中，有97.73%可以由回歸變差來(lái)解釋，這說(shuō)明月產(chǎn)量和單位成本的回歸方程對(duì)真實(shí)的值有很好的擬合效果。多元線性回歸方程的多元線性回歸的不需要手算，在EXCEL的“回歸”結(jié)果中會(huì)給出。2） 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差在前面，用判定系數(shù)對(duì)回歸模型的準(zhǔn)確度作了評(píng)價(jià)，而還可以通過(guò)來(lái)衡量回歸模型的準(zhǔn)確度，在SSE的基礎(chǔ)上形成了估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的概念。簡(jiǎn)單線性回歸方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差定義：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：-估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差越小說(shuō)明與越接近。將代入式，可得如下計(jì)算公式：-同樣將【例3】中的數(shù)據(jù)（表6）代入式，可得：二元線性回歸方程的定義：-多元線性回歸的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差也不需要手算，在EXCEL的“回歸”結(jié)果中也會(huì)給出。2 線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)1）簡(jiǎn)單線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)對(duì)于變量和，一元直線方程根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)計(jì)算，帶有樣本抽取的隨機(jī)性，根據(jù)一個(gè)樣本計(jì)算的結(jié)果是否具有代表性？是否真正描述了在總體中變量和之間的關(guān)系，即和之間的關(guān)系是否真的是直線函數(shù)？這都需要檢驗(yàn)，這個(gè)問(wèn)題就稱之為對(duì)的顯著性檢驗(yàn)。根據(jù)樣本，得出變量和之間的回歸直線為：，而總體變量和之間的回歸直線為：。因此，可以認(rèn)為、是、的估計(jì)值，如何檢驗(yàn)估計(jì)的可靠性，主要有兩種辦法：-檢驗(yàn)和-檢驗(yàn)。如果總體變量和之間不存在直線關(guān)