生物統(tǒng)計學優(yōu)秀教案(9)

1、生物統(tǒng)計學教案第九章 兩因素及多因素方差分析教學時間：5學時教學方法：課堂板書講授教學目的：重點掌握固定模型、隨機模型兩因素方差分析的方法步驟,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。講授難點：固定模型、隨機模型兩因素方差分析的方法步驟9.1 兩因素方差分析中的一些基本概念 模型類型交叉分組設計：A因素的a個水平和B因素的b個水平交叉配合，共構(gòu)成ab個組合，每一組合重復n次，全部實驗共有abn次。固定模型：A、B兩因素均為固定因素。隨機模型：A、B兩因素均為隨機因素?；旌夏Ｐ停篈、B兩因素中，一個是固定因素，一個是隨機因素。 主效應和交互作用主效應：由于因素水平的改變所造成的因素效應

2、的改變。 A1 A2 A1 A2 B1 18 24 B1 18 28 B2 38 44 B2 30 22 先看左邊的表。A因素的主效應應為A2水平的平均效應減A1水平的平均效應，B的主效應類似。當A1B1A2B2A1B2A2B1時，A、B間不存在交互作用。這里A1B1A2B262，A1B2A2B162，因此A、B間不存在交互作用。交互作用：若一個因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應不同，則它們之間存在交互作用。現(xiàn)在看右邊的表。A（在B1水平上）A2B1A1B1281810A（在B2水平上）A2B2A1B222308顯然A的效應依B的水平不同而不同，故A、B間存在交互作用。交互作用的大小為 A

3、B（A1B1A2B2）（A1B2A2B1） 兩因素交叉分組實驗設計的一般格式假設A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復包含ab次實驗，實驗重復n次，總的實驗次數(shù)為abn次。以xilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重復的觀測值。一般格式見下表。 因 素 B j=1,2,b B1 B2 Bb 總計 A1 x111 x121 x1b1 x112 x122 x1b2 x11n x12n x1bn x1. . 因 素 A2 x211 x221 x2b1 A x212 x222 x2b2 x21n x22n x2bn x2. . Aa xa11 xa21 xab1 xa12 xa22 x

4、ab2 xa1n xa2n xabn xa. . 總計 x.1. x.2. x.b. x. . .上表中的各種符號說明如下： A 因素第i水平的所有觀察值的和，其平均數(shù)為 B因素第j水平所有觀察值的和， 其平均數(shù)為A因素第i水平和B因素的第j水平和所有觀察值的和， 其平均數(shù)為 所有觀察值的總和， 其平均數(shù)為關于實驗重復的正確理解：這里的“重復”是指重復實驗，而不是重復觀測。9.2 固定模型 線性統(tǒng)計模型對于固定模型，處理效應是各處理平均數(shù)距總平均數(shù)的離差，因此交互作用的效應也是固定的ijk是相互獨立且服從N(0 , 2)的隨機變量。固定模型方差分析的零假設為： 平方和與自由度的分解 與單因素方

5、差分析的基本思想一樣，把總平方和分解為構(gòu)成總平方和各個分量平方和之和，將總自由度做相應的分解，由此得到各分量的均方。根據(jù)均方的數(shù)學期望，得出各個分量的檢驗統(tǒng)計量，從而確定各因素的顯著性。上述各項分別為A因素、B因素、AB交互作用和誤差平方和，即：自由度可做相應的分解：由此得出各因素的均方： 均方期望與統(tǒng)計量F的確定對上式E(MSA)、E(MSB)和E(MSe)中的第二項，分別記為：于是：這時，零假設還可以寫為：用F作為檢驗統(tǒng)計量，以對A因素的檢驗為例：當F >F時拒絕H01。對B因素和AB交互作用的推斷類似。變差來源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A因素 SSA a-1 MSA MS

6、A/MSe 2+bn 2B因素 SSB b-1 MSB MSB/MSe 2+an 2AB交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 2+n 2誤差 SSe ab(n-1) MSe 2總和 SST abn-1兩因素固定模型的方差分析表如下： 平方和的簡易計算法為了簡化計算過程，實際計算時各平方和是按以下各式計算的其中稱為校正項，用C表示。不論從上式還是前面給出的誤差平方和的公式，都可以看出，平方和是通過重復間平方和得到的。為了得到誤差平方和，必須設置重復。由總平方和減去A因素、B因素和誤差平方和之后，所得殘余項即交互作用平方和。如果不設置重復，無法得到誤差平方和，其誤差

7、平方和是用殘余項估計的。即使實驗存在交互作用也無法獨立獲得，這時的交互作用與誤差混雜。這一點在設計實驗時一定要特別注意。交互平方和： 原 料 種 類 1 2 3溫 30 35度 40 41 49 23 25 47 59 50 40 43 35 53 50 11 13 25 24 43 38 33 36 55 38 47 44 6 22 26 18 8 22 18 14 30 33 26 19例 為了從三種不同原料和三種不同發(fā)酵溫度中，選出最適宜的條件，設計了一個兩因素試驗，并得到以下結(jié)果。在這個實驗中，溫度和原料都是固定因素，每一處理都有4次重復。將每一數(shù)據(jù)都減去30，列成表9-1。原料(A)

8、 溫度(B) xij1 xij2 xij3 xij4 xij. xij.2 30 11 19 -7 -5 18 324 556 1 35 -19 -17 -5 -6 -47 2209 711 40 -24 -8 -4 -12 -48 2304 800 30 17 29 20 10 76 5776 1630 2 35 13 8 3 6 30 900 278 40 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948 30 13 5 23 20 61 3721 1123 3 35 25 8 17 14 64 4096 1174 40 0 3 -4 -11 -12 144 146 和 84 228

9、38 7366 利用xij.列，列成表92 溫 度 (B) 30 35 40 xi . . xi . .2 原 1 18 47 48 77 5929 料 2 76 30 58 48 2304 (A) 3 61 54 12 113 12769 x.j. 155 47 118 84 21022 x.j.2 24025 2209 13924 40158從表91中可以計算出：及由表92中可以計算出：列成方差分析表變差來源平方和自由度 均方 F原料 A1554.17 2 777.0912.67*溫度 B3150.58 21575.2925.68* AB 808.75 4 202.19 3.30*誤 差1

10、656.50 27 61.35總 和7170.00 35 無重復實驗時的兩因素方差分析如果根據(jù)一定的理由，可以判斷兩因素間確實不存在交互作用，這時也可以不設重復（n = 1）。無重復實驗的方差分析，只需將前一節(jié)公式中所有的n都改為1，即可完成計算。不同點只是計算更容易一些。這里不再詳述。9.3 隨機模型 線性統(tǒng)計模型對于隨機模型：因此，任何觀察值的方差零假設為： 均方期望與統(tǒng)計量F的確定隨機模型中各平方和的計算與固定模型一樣，這里不再重復。但均方期望不同，因此檢驗統(tǒng)計量也不同。從均方期望中可以看出，交互作用均方是用誤差均方檢驗的，若MSAB不顯著，表明它也是誤差的估計，應與MSe合并，用合并后

11、的均方對主效應做檢驗。合并的方法是若交互作用顯著，則可以直接用它檢驗主效應。隨機模型的方差分析表如下：隨機模型的方差分析表如下：變差來源平方和自由度均方F均方期望A因素SSAa-1MSAMSA/MSABB因素SSBb-1MSBMSB/MSABA×BSSAB(a-1)(b-1)MSABMSAB/MSe 誤 差SSeab(n-1)MSe總 和SSTabn-1例 為了研究不同地塊中，施用不同數(shù)量的農(nóng)家肥對作物產(chǎn)量的影響，設計一個兩因素實驗，實驗結(jié)果如下： 地 塊 B 一號地 二號地 三號地 施 肥 量 A100Kg 8.69 8.47 8.80 8.74 9.49 9.37200Kg 8.

12、88 8.72 9.68 9.54 9.39 9.59300Kg 10.8210.86 11.0010.92 11.0711.01400Kg 11.1611.42 10.9711.13 11.0010.90解：xijk9.5 , 列成表9.1：施肥量 地 塊 一-0.81-1.03-1.843.38561.7170100二-0.70-0.76-1.462.13161.0676三-0.10-0.13-0.040.01960.0170一-0.62-0.78-1.401.96000.9928200二0.180.040.220.04840.0340三-0.110.09-0.020.00040.0202

13、一1.321.362.687.18243.5920300二1.501.422.928.52044.2664三1.571.513.089.48644.7450一1.661.923.5812.81646.4420400二1.471.633.109.61004.8178三1.501.402.908.41004.210013.6263.577232.9218利用xij列，列成表9.2 地 塊 一二三 施 肥 量100-1.84-1.46-0.14-3.4411.8336200-1.400.22-0.02-1.201.44003002.682.923.088.6875.34244003.583.102.

14、909.5891.7764 3.024.785.8213.62180.3924 9.120422.848433.872465.8412 由表9.1計算出 由表9.2計算出方差分析表變差來源平方和自由度均方F施肥量 A22.336037.445336.63*地 塊 B0.500820.25041.23AB1.222460.20372.16誤 差1.1332120.0944總 和25.192423 * = 0.019.4 混合模型 線性統(tǒng)計模型一個因素是固定的（如A），另一因素是隨機的（如B），該模型稱為混合模型。其中i是固定效應，j是隨機效應，()ij是隨機效應。 , j: NID(0,2) ,

15、 ()ij: NID(0,2) 均方期望與統(tǒng)計量F的確定各均方期望如下：相應的檢驗統(tǒng)計量為：混合模型的方差分析表為：變差來源 平方和 自由度均 方 F 均方期望 A因素 SSA a1 MSA B因素 SSB b1 MSB AB SSAB(a-1)(b-1) MSAB 誤 差 SSe ab(n-1) MSe 總 和 SST abn-19.5 兩個以上因素的方差分析 平方和與自由度分解的一般規(guī)律平方和的分解，可根據(jù)兩因素方差分析平方和分解方法，推展出來。如一個三因素固定模型實驗，線性統(tǒng)計模型為：各因素的平方和如下：殘余項為三因素交互作用 SSABCSSTSSASSBSSCSSABSSACSSBCS

16、SE自由度的分解： 主效應自由度是其水平數(shù)減1 交互作用自由度是相關因素自由度的乘積 誤差自由度各因素水平數(shù)乘以重復數(shù)減1。由三因素平方和與自由度的分解的規(guī)律，可以很容易得到更多因素時的平方和與自由度。不過，在實際應用時，三個因素實驗基本上可以滿足需要了。 均方期望的表格化推演方法平方和與自由度的分解并不很困難，困難的是需要得到可靠的檢驗統(tǒng)計量，也就是說需要得到各個分量的均方期望。表格法推演是簡單可靠的，下面以兩因素為例，說明其方法。幾個規(guī)定：誤差ijk寫成(ij)k，括號內(nèi)的下標稱為死下標，沒有括號的下標都是活下標。固定模型中各因素的效應分量，分別用表示。隨機模型中各因素的方差分量，分別用表

17、示?；旌夏Ｐ椭?，交互作用的兩個因素中只要有一個是隨機因素，則交互作用即被認為是隨機的。誤差方差記為2。以固定模型為例，說明其推演步驟： 首先列出右表，線性統(tǒng)計模型中的每個分量占據(jù)一行，每個下標占一列。表頭上寫上因素的類型，固定型記為F，隨機型記為R，重復屬于隨機的，記為R。寫上各因素的水平數(shù)a、b、n以及每一分量的下標i、j、k。FFR因素abnijki0j0()ij00(ij)k111FFR因素abnijkij()ij(ij)k11在行分量中，若某個死下標與列中的該下標一致，則寫上“1”。若每一行分量上的一個活下標與列上的下標一致，且列是以固定因素為表頭的，則寫上“0”，列是以隨機因素為表頭

18、的，則寫上“1”。FF R因素abnijki0bnja0n()ij00n(ij)k111在其余空白行位置上寫上各列表頭所標明的水平數(shù)。為了求某一模型分量（因素）的的均方期望，用紙條蓋上以其活下標為表頭的那一列，然后找出包含該下標的那些行。把未蓋上的字母和數(shù)字相乘，再乘上相應的固定因素的效應分量或隨機模型的方差分量。這些乘積的和，即為該因素的均方期望。例如求E（MSA），蓋上列i，剩下的列是列j和列k，包含i的行是4、3、1。這三行中未蓋上的數(shù)字和（或）字母的乘積為1、0、和bn，由此得出因素A的均方期望：同理可以推出：一個完整的兩因素混合模型（A固定，B隨機）的例子如下：FRR因 素abn均方期望ijki0bnja1n()ij01n(ij)k111 統(tǒng)計量F的確定一個混合模型A、C固定，B隨機，均方期望的推演如下：FRFR因 素abcn均方期望ijkli0bcnja1cnkab0n()ij01cn()ik0b0n()jka10n()ijk010n(ijk)l1111根據(jù)均方期望可以得出各因素的