知識講解推理與證明全章復習與鞏固基礎理

1、推理與證明全章復習與鞏固【學習目標】 1. 了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進行簡單的推理；掌握演繹推理的基本模式；體會它們的重要性，并能運用它們進行一些簡單的推理；2. 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；3. 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；4. 了解間接證明的一種基本方法：反證法；了解反證法的思考過程、特點；5. 了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】 要點一：有關推理概念歸納推理：又稱歸納法，是從特殊到一般、部分到整體的推理根據(jù)歸納對象是否完備，分為完全歸納法和不完全歸納法完

2、全歸納法是根據(jù)某類事物中的每一個對象或每一個子類的情況作出的關于該類事物的一般性結論的推理；不完全歸納法是根據(jù)某類事物中的一部分對象具有某種特征而作出該類事物都具有這一特征的一般性結論的推理由于僅列舉了歸納對象中的一小部分，因此得出的結論與前提未必有必然的聯(lián)系，故其結論未必正確，必須經(jīng)過理論的證明和實踐的檢驗類比推理：又稱類比法，是由特殊到特殊的推理這是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的“開拓型”“發(fā)散型”思維方式和歸納推理一樣，能由已知推測未知，推理的結論也不一定為真，有待進一步證明，通常情況下，類比的相似性越多，類比得出的結論就越可靠演繹推理：又稱演繹法是從一般到特殊的推理

3、，是數(shù)學證明中的基本推理形式演繹推理的結論完全蘊涵于前提之中它是“封閉型”的思維方法，只要前提真實，邏輯形式正確，則結論必然真實，但由它一般不能取得突破性進展故合情推理與演繹推理各有側重，相輔相成合情推理有助于發(fā)現(xiàn)新事物、新結論、新規(guī)律，演繹推理保證結論的可靠性，去偽存真要點詮釋：演繹推理更注重推理的形式規(guī)則，常見的有假言推理、關系推理、三段論推理三段論推理：其一般形式為：大前提：所有M都是P；小前提：S是M；結論：S是P要點二：有關證明方法綜合法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的證明方法，是數(shù)學推理證明中的主要方法即從已知條件

4、出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待征結論或需求問題如果要證明的命題是，那么證明步驟用符號表示為p(已知)分析法分析法就是從待征結論出發(fā)，一步一步探索下去，尋求結論成立的充分條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事實用分析法證明的邏輯關系：q(結論)(已知)間接證法間接證法不是從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價命題為真，間接達到目的反證法就是間接證法的一種 反證法證題步驟為： (1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立 (2)從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾 (3)由矛盾判斷假設不成立從而肯定命題的結論成立 反證法導出矛盾常見的有以下幾種情況： 導出非p為

5、真，即與原命題的條件矛盾 導出q為真，即與假設“非q為真”矛盾 導出一個與定義、公理、定理等矛盾的命題 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是證明一個與正整數(shù)n有關的命題時，常采用的一種方法，它是一種完全歸納法，其步驟為：第一步：證明n取第一個值時命題成立第二步：假設nk(k，kN+)時命題成立，證明nk+1時命題成立 第三步：下結論，命題對從開始的所有自然數(shù)n都成立要點詮釋：（1）用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)n有關的命題時，如果證明恒等式或不等式應特別注意項及項數(shù)的變化規(guī)律；證明幾何命題時，要特別注意從nk到nk+1的幾何圖形中幾何元素的變化規(guī)律；證明整除性命題時，要特別注意湊配項的變形技巧；證明與奇、偶數(shù)有關

6、的命題要注意過渡時的特點，如一個命題對所有奇數(shù)n成立，應假設n2k-1時命題成立，推證n2k+1時命題成立或假設nk(k為奇數(shù))時命題成立，推證nk+2時命題成立 （2）“歸納一猜想證明”的論題，要特別關注項的構成規(guī)律，作出合理的猜想后再證明【典型例題】類型一：合情推理與演繹推理例1. 平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件： 充要條件_； 充要條件_ (寫出你認為正確的兩個充要條件)【思路點撥】由平面幾何圖形的性質(zhì)類比立體幾何圖形的性質(zhì)時要做到點類比線、線類比面、面類比體 【解析】兩組相對側面分別平行；一組相

7、對側面平行且全等；對角線交于一點，底面是平行四邊形(填任意兩個即可)【總結升華】本題考查類比推理，其關鍵是掌握由平面幾何圖形的性質(zhì)類比立體幾何圖形的性質(zhì)時，元素間的對應關系舉一反三：【變式1】在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為，把這個結論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結論是_【答案】.【變式2】將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣，如圖所示： 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n3)行從左至右第3個數(shù)是_【答案 】 【解析】前n-1行共有正整數(shù)1+2+3+n-1個，即共有個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第個

8、數(shù)，即例2. 在數(shù)列中，nN+ (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項和； (3)證明不等式，對任意nN+皆成立【解析】 (1)由題設得，nN+ 又，所以數(shù)列是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列 (2)由(1)可知，于是數(shù)列的通項公式為 所以數(shù)列的前n項和 (3)對任意的nN+， 0 所以不等式，對任意nN+皆成立 【總結升華】本題屬于遞推數(shù)列問題，是高考考查的熱點解題的關鍵是轉化為等差、等比數(shù)列舉一反三：【變式】紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“”的面的方位是 ( ) A南 B北

9、 C西 D下 【答案】 B【解析】將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“”的方位為北類型二：直接證明與間接證明例3. 設a0，b0，a+b1，求證：【解析】 證法一(綜合法)： a0，b0，a+b1， ，ab， 4又4， 8證法二(分析法)： a0，b0， 要證8，只需證18，即證8，即證4，即證4，即證2由基本不等式可知，當a0，b0時，2成立，所以原不等式成立 【總結升華】本題既可用綜合法，也可用分析法來解，解題時應靈活運用舉一反三：【變式】設ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2.【答案】證法一：3

10、a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因為ab>0，所以ab0,3a22b2>0，從而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.證法二：要證3a32b33a2b2ab2，只需證3a2(ab)2b2(ab)0，只需證(3a22b2)(ab)0，ab>0.ab0,3a22b2>2a22b20，上式成立例4. 設二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中的a、b、c都為整數(shù)，已知f(0)、f(1)均為奇數(shù)，求證：方程f(x)0無整數(shù)根【思路點撥】考慮用反證法.【解析】假設方程f(x)0有一個整數(shù)根k，則ak2bkc0

11、f(0)c，f(1)abc都為奇數(shù)，ab必為偶數(shù)當k為偶數(shù)時，令k2n(nZ)，則ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必為偶數(shù)，與式矛盾；當k為奇數(shù)時，令k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)·(2naab)為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積，必為偶數(shù)，也與式矛盾綜上可知方程f(x)0無整數(shù)根【總結升華】反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時，也常用反證法舉一反三：【變式1】用反證法證明命題“是無理數(shù)”時，假設正確的是()A假設是有理數(shù)B假設是有理數(shù)C假設或是有理數(shù)D假設是有理數(shù)【答案】D【變式2】已知a、bR，|a|+|b|1，

12、求證：方程的兩根的絕對值都小于1 【答案】假設是的根，且1，由得，所以，所以1，這與矛盾，故兩根絕對值都小于1類型三：數(shù)學歸納法例5. （2015 興安盟二模）已知數(shù)列an的前n項和Sn，（1）計算S1，S2，S3，猜想Sn的表達式并用數(shù)學歸納法證明；（2）設，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：【答案】（1），；（2）【思路點撥】（1）利用已知條件計算S1，S2，S3，猜想Sn的表達式，然后用數(shù)學歸納法證明步驟證明即可；（2）化簡，利用裂項法求解數(shù)列的bn的前n項和為Tn，即可證明【解析】（1）因為an=SnSn1（n2），所以，由此整理得，于是有：，猜想：證明：當n=1時，猜想成立假設n=k時猜想成立，即，那么，所以當n=k+1時猜想成立，由nN*都成立（2）由（1），于是：，又因為，所以【總結升華】本小題主要考查利用數(shù)學歸納法解決關于數(shù)列問題，雖存在著一定的難度，但是考試大綱規(guī)定考查內(nèi)容，屬于一道中檔題，對考生的運算求解能力，化歸與轉化能力提出一定要求舉一反三：【變式1】（2015春 武漢校級期末）用數(shù)學歸納法證明某命題