由遞推式求數(shù)列通項的典型題的技巧解法

1、由遞推式求數(shù)列通項的典型題的技巧解法對于由遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，簡記為 ，這就是

2、疊（迭）代法的基本模式。（3）遞推式：解法：只需構造數(shù)列，消去帶來的差異。例3設數(shù)列：，求數(shù)列的通項公式。解：設，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為求之.例4已知， ，求數(shù)列的通項公式。解： 類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解。在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項 。例5. 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （

3、或,其中p，q, r均為常數(shù)）解法：該類型較類型3要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：。引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型3的方法解決。例6. 已知數(shù)列中，,，求數(shù)列的通項公式。解：在兩邊乘以得：令，則,應用例7解法得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足，再應用前面類型3的方法求解。已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式。例7. 已知數(shù)列中，,，求數(shù)列的通項公式。解：由可轉化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。類型6 遞

4、推公式為與的關系式。(或)解法：利用進行求解。例8. 已知數(shù)列前n項和，（1） 求與的關系；（2） 求數(shù)列的通項公式。解：（1）由得：于是所以.（2）應用類型4的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以類型7 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例9. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求數(shù)列、的通項公式。解：因所以即（1）又因為所以.即（2）由（1）、（2）得：， 總結方法比做題更重要!方法產生于具體數(shù)學內容的學習過程中.練習題1.（2010上海文數(shù)）已知數(shù)列的前項和為，且，求的通項公式.（）2.（2010重慶理數(shù)）在數(shù)列中，=1，其中實數(shù)，求的通項公式.（，）3.（2010四川理數(shù)）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Sn.（）a36，a520；（）Sn）4.（2009全國卷理）在數(shù)列中，設，求數(shù)列的通項公式. (，).5.(2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。令，求證數(shù)