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1、線性代數(shù)考試A卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)教師填寫(xiě)課程20122013學(xué)年第一學(xué)期 線性代數(shù)(理科) 試題 授課教師考試時(shí)間 2013年 1 月 日 姓 名 課程類別必修選修 考試方式開(kāi)卷 閉卷試卷類別(A、B、) A 共 8 頁(yè)得分評(píng)閱人一、填空題(共10小題,每小題2分,共20分)1已知均為三階矩陣,且,及,則 2設(shè)均為三階矩陣,且,為矩陣的伴隨矩陣,則行列式.3設(shè)矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則矩陣.4. 設(shè)矩陣滿足,則.5齊次線性方程組只有0解,則k應(yīng)滿足的條件是.6設(shè)向量組線性相關(guān),則.7設(shè)3階矩陣的特征值互不相同,若行列式, 則矩陣的秩為 2 .8設(shè)3階矩陣的特征值1,2,2,則行列式.9二
2、次型的規(guī)范形是.10當(dāng)滿足時(shí),二次型為正定二次型。得分評(píng)閱人二、選擇題(共10小題,每小題2分,共20分)注意: 將選擇的答案填入下表中,填入表外不給分。題號(hào)12345678910答案BCAABDCBDC1. 若是五階行列式的一項(xiàng)(除去符號(hào)),則有( B )(A) ,此項(xiàng)為正 (B) ,此項(xiàng)為負(fù)(C) ,此項(xiàng)為正 (D) 以上全不對(duì)2若三階行列式的第三行的元素依次為1、2、3,它們的余子式分別為2、3、4,則行列式=( C )(A) -8 (B) -20 (C) 8 (D) 203已知向量組線性相關(guān),線性無(wú)關(guān),則: ( A )(A)必能由線性表示。 (B)必能由線性表示。(C)必能由線性表示。
3、 (D)必能由線性表示。4. 設(shè)為矩陣,則齊次線性方程組僅有零解的充分條件是 ( A ) .(A)的列向量線性無(wú)關(guān) (B)的列向量線性相關(guān)(C)的行向量線性無(wú)關(guān) (D)的行向量線性相關(guān)5若階矩陣滿足,則下列敘述錯(cuò)誤的是( B )(A)的每個(gè)列向量都是的解;(B)中任意個(gè)列向量都線性無(wú)關(guān);(C)中任意多于個(gè)列向量都線性相關(guān);(D) 0是矩陣的特征值。 6. 已知為的解,則下列哪一個(gè)是的解?(D)(A) (B)(C) (D)7已知階矩陣為可逆矩陣,為矩陣,則有( C )(A) (C)(C) (D)8設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,則向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是( B )(A).
4、 (B). (C). (D). 9如果階方陣與階方陣相似,則下列結(jié)論不正確的是( D )(A)與有相同的特征值 (B)與有相同的特征方程(C)與有相同的行列式 (D)與有相同的特征矩陣10下列矩陣中不能對(duì)角化的是( C )(A) (B) (C) (D)得分評(píng)閱人三、判斷題(共10小題,每小題1分,共10分)注意: 將選擇的答案填入下表中,正確的填“對(duì)”,錯(cuò)誤的填“錯(cuò)” 。題號(hào)12345678910答案對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)1. 行列式 (對(duì))2. 若與是同階方陣,則. (錯(cuò))3階矩陣滿足,則可逆. (對(duì))4如果向量組線性相關(guān),則每一個(gè)向量都能由其余向量線性表示. (錯(cuò))5對(duì)于矩陣,齊次線性方程組
5、僅有零解的充要條件是行向量組線性無(wú)關(guān). (錯(cuò))6一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值. (對(duì))7如果階矩陣的行列式,則至少有一個(gè)特征值為零. (對(duì))8若矩陣可逆,則矩陣與相似. (對(duì))9.二次型經(jīng)非退化線性變換后,變?yōu)槎涡?,則矩陣與相似. (錯(cuò)) 10設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為-1,2,3,則矩陣是正定矩陣. (錯(cuò))得分評(píng)閱人四、計(jì)算題(共4小題,共40分)1.(本題8分) 已知,其中矩陣,求矩陣.解:由 得 又,知 可逆,3分由,得 , 5分8分2.(本題8分)求如下向量組的最大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示:解:對(duì)矩陣僅施以初等行變換:1分 5分由最后一個(gè)矩陣可知:為一個(gè)極大無(wú)關(guān)
6、組,且 6分, 8分注意:本題亦可能有其它結(jié)果。3(本題12分) 設(shè)方程組, 問(wèn)取何值時(shí),線性方程組無(wú)解?有唯一解?有無(wú)窮多解?在有無(wú)窮多解時(shí),求方程組通解?解:對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換: 3分故有:(1)當(dāng)時(shí),方程組有唯一解。 5分(2)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解。 7分(3)當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解. 9分同解方程組,故方程組通解為: 12分4(本題12分) 設(shè)矩陣,求正交矩陣, 使為對(duì)角矩陣. 解:特征方程為所以的特征值為 4分當(dāng)時(shí), 解齊次方程組得基礎(chǔ)解系, 單位化得 7分當(dāng)時(shí), 解齊次方程組得基礎(chǔ)解系. 向量已正交,只須將單位化為即可. 10分 令, 則有 12分注意:正交矩陣亦可能有其它結(jié)果。得分評(píng)閱人五、證明題(共2小題,每小題5分,共10分)1. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),非零向量與均正交,求證:向量組線性無(wú)關(guān).證1:若有 用左乘上式兩邊,得 2分由與均正交,得 4分再由向量非零,知,代入(1)中,由線性無(wú)關(guān)得因此仍線性無(wú)關(guān)。 5分證2:假設(shè)向量組線性相關(guān)又線性無(wú)關(guān),則向量可由向量組唯一地線性表示,即存在數(shù),使得 2分用左乘上式兩邊,得由于與均正交,得 4分,這與為非零向量矛盾.因此仍線性無(wú)關(guān)。 5分2設(shè)和是矩
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