理工線性代數(shù)考試A卷答案

1、線性代數(shù)考試A卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)教師填寫(xiě)課程20122013學(xué)年第一學(xué)期 線性代數(shù)(理科) 試題 授課教師考試時(shí)間 2013年 1 月 日 姓 名 課程類別必修選修 考試方式開(kāi)卷 閉卷試卷類別(A、B、) A 共 8 頁(yè)得分評(píng)閱人一、填空題（共10小題，每小題2分，共20分）1已知均為三階矩陣，且，及，則 2設(shè)均為三階矩陣，且，為矩陣的伴隨矩陣，則行列式.3設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則矩陣.4. 設(shè)矩陣滿足，則.5齊次線性方程組只有0解，則k應(yīng)滿足的條件是.6設(shè)向量組線性相關(guān)，則.7設(shè)3階矩陣的特征值互不相同，若行列式, 則矩陣的秩為 2 .8設(shè)3階矩陣的特征值1，2，2，則行列式.9二

2、次型的規(guī)范形是.10當(dāng)滿足時(shí)，二次型為正定二次型。得分評(píng)閱人二、選擇題（共10小題，每小題2分，共20分）注意： 將選擇的答案填入下表中，填入表外不給分。題號(hào)12345678910答案BCAABDCBDC1. 若是五階行列式的一項(xiàng)(除去符號(hào))，則有( B )（A） ，此項(xiàng)為正 （B） ，此項(xiàng)為負(fù)（C） ，此項(xiàng)為正 （D） 以上全不對(duì)2若三階行列式的第三行的元素依次為1、2、3，它們的余子式分別為2、3、4，則行列式=（ C ）（A） -8 （B） -20 （C） 8 （D） 203已知向量組線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，則： （ A ）（A）必能由線性表示。 （B）必能由線性表示。（C）必能由線性表示。

3、 （D）必能由線性表示。4. 設(shè)為矩陣，則齊次線性方程組僅有零解的充分條件是 （ A ） .（A）的列向量線性無(wú)關(guān) （B）的列向量線性相關(guān)（C）的行向量線性無(wú)關(guān) （D）的行向量線性相關(guān)5若階矩陣滿足，則下列敘述錯(cuò)誤的是（ B ）（A）的每個(gè)列向量都是的解；（B）中任意個(gè)列向量都線性無(wú)關(guān)；（C）中任意多于個(gè)列向量都線性相關(guān)；（D） 0是矩陣的特征值。 6. 已知為的解，則下列哪一個(gè)是的解？（D）（A） （B）（C） （D）7已知階矩陣為可逆矩陣，為矩陣，則有( C )（A） （C）（C） （D）8設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（ B ）（A）.

4、 （B）. （C）. （D）. 9如果階方陣與階方陣相似，則下列結(jié)論不正確的是（ D ）（A）與有相同的特征值 （B）與有相同的特征方程（C）與有相同的行列式 （D）與有相同的特征矩陣10下列矩陣中不能對(duì)角化的是( C )（A） （B） （C） （D）得分評(píng)閱人三、判斷題（共10小題，每小題1分，共10分）注意： 將選擇的答案填入下表中，正確的填“對(duì)”，錯(cuò)誤的填“錯(cuò)” 。題號(hào)12345678910答案對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)1. 行列式 （對(duì)）2. 若與是同階方陣，則. （錯(cuò)）3階矩陣滿足，則可逆. （對(duì)）4如果向量組線性相關(guān)，則每一個(gè)向量都能由其余向量線性表示. （錯(cuò)）5對(duì)于矩陣，齊次線性方程組

5、僅有零解的充要條件是行向量組線性無(wú)關(guān). （錯(cuò)）6一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值. （對(duì)）7如果階矩陣的行列式，則至少有一個(gè)特征值為零. （對(duì)）8若矩陣可逆，則矩陣與相似. （對(duì)）9.二次型經(jīng)非退化線性變換后，變?yōu)槎涡?，則矩陣與相似. （錯(cuò)） 10設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為-1,2,3，則矩陣是正定矩陣. （錯(cuò)）得分評(píng)閱人四、計(jì)算題（共4小題，共40分）1.（本題8分） 已知，其中矩陣，求矩陣.解：由 得 又，知 可逆，3分由，得 ， 5分8分2.（本題8分）求如下向量組的最大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示：解：對(duì)矩陣僅施以初等行變換：1分 5分由最后一個(gè)矩陣可知：為一個(gè)極大無(wú)關(guān)

6、組，且 6分， 8分注意：本題亦可能有其它結(jié)果。3（本題12分） 設(shè)方程組， 問(wèn)取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，求方程組通解？解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換： 3分故有:（1）當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。 5分（2）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。 7分（3）當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解. 9分同解方程組，故方程組通解為： 12分4（本題12分） 設(shè)矩陣，求正交矩陣, 使為對(duì)角矩陣. 解：特征方程為所以的特征值為 4分當(dāng)時(shí), 解齊次方程組得基礎(chǔ)解系, 單位化得 7分當(dāng)時(shí), 解齊次方程組得基礎(chǔ)解系. 向量已正交，只須將單位化為即可. 10分 令, 則有 12分注意：正交矩陣亦可能有其它結(jié)果。得分評(píng)閱人五、證明題（共2小題，每小題5分，共10分）1. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，非零向量與均正交，求證：向量組線性無(wú)關(guān).證1：若有 用左乘上式兩邊，得 2分由與均正交，得 4分再由向量非零，知，代入（1）中，由線性無(wú)關(guān)得因此仍線性無(wú)關(guān)。 5分證2：假設(shè)向量組線性相關(guān)又線性無(wú)關(guān)，則向量可由向量組唯一地線性表示，即存在數(shù)，使得 2分用左乘上式兩邊，得由于與均正交，得 4分，這與為非零向量矛盾.因此仍線性無(wú)關(guān)。 5分2設(shè)和是矩