物理試題3答案

1、物理競賽試題 3 參考答案一、解 在題圖中畫出輔助矢量（如答圖3-1）：， ， ， ， 寫出板受到的力平衡方程： 而 ， 將各式代入得而為不共面向量，則可得 則 二、解 任取球面上某一點，可得過該點和球心的剖面圖（答圖3-2），設(shè)該點到凸透鏡距離為u，到主光軸距離為y，則由勾股定理有 由凸透鏡成像公式，有 得到 由放大率公式，并利用上式，有 得到 將代入，可得 整理得 上式對每個v都成立，可得 即得 應(yīng)滿足 三、解 初始時LC振蕩頻率 將電容器極板緩慢拉開后，變?yōu)榱?則由得到 初始時振蕩能量 末態(tài)能量 在很緩慢的拉開平行班電容器極板時，L不變，而C緩慢地改變。在拉動過程中，每拉一個很小的距離，

2、回路已經(jīng)振蕩了很多次，而對于每一次振蕩，可以認(rèn)為電容器兩極板距離為常量。在一次振蕩中，電容器上帶電量隨時間的變化規(guī)律是 ，其中為電荷量振幅，它對一次振蕩來說是常量，而對兩個極板距離變化的整個過程，與極板距離x一樣，應(yīng)是變量。并且在一次振蕩中，電磁能量總和可以用最大靜電能表示： 在極板被緩慢拉開的過程中，可以認(rèn)為外力與板間靜電吸引力時時平衡。又因為電荷量隨時間變化，所以外力也隨時間變化，而且外力的方向始終與位移方向一致。據(jù)此，可以采用平均力處理。因為 ， 所以 由功能原理 將代入得 常量 由得到 從而 由得到 所以 ， 外力做功 四、解 先考慮由月亮引起的潮汐，設(shè)月亮的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為，地

3、球的固體部分半徑為，月亮到地球中心的距離為。月、地系統(tǒng)質(zhì)心C到地球中心的距離為。在答圖3-4所示的截面中，水面考察點P的位置用極坐標(biāo)表示，C到P的距離用表示。設(shè)月、地系統(tǒng)繞過質(zhì)心C，垂直與圖平面的軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動角速度為，并設(shè)地球自轉(zhuǎn)軸也與圖平面垂直，這種設(shè)定可便于計算赤道處在24小時周期內(nèi)潮汐變化與的關(guān)系。以上設(shè)定中的為為 另有 由可解得 此處設(shè)定中的為 地球表面 點處單位質(zhì)量水的勢能即勢V由三種勢組成，其一是地球引力勢 其二是月亮的引力勢 由于，可將按的冪次展開，略去比更高次的項，有 （上式為麥克勞林近似展開，相關(guān)內(nèi)容附于本題解后）其三是在月、地系統(tǒng)質(zhì)心參照系中的離心勢 故V為 把代入，并注意

4、到地球表面為等勢面，可得 取 代入，作合理近似可得即 在 處水面高度最低為，故中的，而在處潮汐最大，取為，故在24小時時間內(nèi)赤道處的潮汐變化為 與由月亮引起的潮汐計算相似，由太陽引起的潮汐變化為 中為太陽的質(zhì)量，為太陽到地球的距離，故由即可得 附：麥克勞林公式：其中 ， 由此得近似公式： 應(yīng)用上式于即可得。 五、解 因為系統(tǒng)的等溫壓縮率為所以對為常數(shù)的等溫過程有 ， 即 設(shè)平液面時水的密度為，而相同質(zhì)量M的水在相同溫度和大氣壓下的小液滴的密度為，則 即 所以水滴的密度 設(shè)小水滴為球形，則水滴內(nèi)的壓強為 式中為大氣壓強，r為水滴的半徑。因此得水滴的密度 因為 是一個小量，所以 六、解 鹽水是良導(dǎo)

5、體，因為正負(fù)離子可以在溶液中很容易的運動。當(dāng)帶電塑料球接近水面時，與其帶相反電荷的離子將移向水面，而同種電荷將遭排斥。結(jié)果水面上方的電場線將垂直于水平面，而水面下方電場強度為0。帶電小球吸引其下方的水，因此相應(yīng)水面將隆起。作用在隆起水面上的靜電力，主要與水本身的重力相平衡，此時水的表面張力可以忽略不計。我們不是準(zhǔn)確地知道隆起的形狀，但是可以肯定地講這個隆起高于水平面一定很少，而且只會輕微偏離平面；這就是為什么還可以使用電像法來解決問題的原因。這種方法對于找出最大效應(yīng)、求解水面最高點P的高度是足夠的。電量Q在P點的電場強度為 水面上未知的電荷分布效應(yīng)可以等效為位于水面下深度為3r的像電荷-Q產(chǎn)生

6、的電場（如答圖3-6所示）。像電荷在P點的電場強度與E1的大小和方向均相同，因此總電場強度為 根據(jù)高斯定理，P點的表面電荷密度為水面上單位面積受到的力為水面電荷密度與帶電小球在該點產(chǎn)生電場強度E1的面積這個力為P點單位面積受到的方向向上的力，它應(yīng)該與水平面升高后水面的靜壓力相平衡 把電場強度和表面電荷密度的表達式代入上式，得到高度h為把各個變量的取值代入上式，得，可見這個值與小球的直徑相比是很小的。這說明我們認(rèn)為水面近似水平是合理的。 七、解 (1)光柵常數(shù) 由光柵方程可確定角方向上紅光和紫光譜線的級次。由已知假設(shè)紅光波長，紫光波長。對紅光： 取整數(shù) ，即紅光的第二級與紫光重合。對紫光： 取整

7、數(shù)，即紫光的第三級與紅光重合。將與代入光柵方程可得紅光和紫光的波長：(2)兩種譜線重合的條件 即 取整數(shù) 能出現(xiàn)的最大級次由限定，即。對紅光，最大級次 ，即4級。對紫光，最大級次 ，即7級。所以，還能出現(xiàn)重合的紅光和紫光，其級次為紅光的第4級與紫光的第6級重合，其所在的角度滿足(3)紅光譜線最大不超過4級，其中第二級和第四級與紫光譜線重合，故只有第一級和第三級為單一譜線，其方位角可由 求出：；。 八、解 帶電荷量為q、質(zhì)量為m、初速為v的粒子，當(dāng)它在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中運動時，如果其初速度的方向與磁場方向垂直，由洛倫茲力和牛頓定律可知，它將在磁場中作勻速圓周運動。令T和R分別表示其周期和

8、軌道半徑，則有 由此求得 把這些結(jié)論用到本題中，可知a粒子開始在第一象限中運動（y軸以右）以后就按此模式在xy平面內(nèi)沿答圖3-8-1中的虛線運動。同理，粒子b開始在第三象限（y軸以左）中運動經(jīng)過半個周期（即）后，進入第四象限中（y軸以右），周期和軌道半徑變?yōu)橐院缶桶创四Ｊ皆趚y平面內(nèi)沿答圖3-8-1中的實線運動。由以上分析可知，只要在右邊，不管a還是b，周期皆為；只要在左邊，周期皆為2T0。由答圖3-8-2可見，只有在兩軌跡交叉或相切的那些點，才有相遇的可能性。為求得題中所說的時間差的最小值，下面我們先假設(shè)，如果a、b同時開始運動，分析經(jīng)過哪個交叉或相切點時兩者的時間差最短，則這個時間差就應(yīng)當(dāng)

9、等于題中所說的要a、b在此交叉或相切點能相遇，兩者出發(fā)時間的時間差。為此，結(jié)合答圖3-8-2分別考察a、b的運動，經(jīng)過分析就可看出，在5T0到5.25T0之間的那個交叉點（答圖2-8-2中的P點）處，a、b通過它的時間差最短（在5T0以前和5.25T0以后的那些交叉或相切點，a、b通過時的時間差都較長）。為了定量地求出此時間差，取負(fù)y軸上距原點O為3Ral（即6Rbl）處為新的原點O，如答圖3-8-2所示。取時間為新的計時時刻，對a用表示，對b用表示。在y軸以左a、b的周期相同，所以角速度亦相同，以表示a、b在y軸以左的角速度對a 對b 對P點應(yīng)有 ， 由以上各式可解得所求的時間差應(yīng)為這個結(jié)果說明，如果a、b同時出發(fā)，則a比b晚時間通過P點。換成題目的要求，就應(yīng)當(dāng)說，要a、b相遇，則b的出發(fā)時間應(yīng)比a晚。由以上各式還可求得P點的坐標(biāo)換為Oxy坐標(biāo)系 九、解 建立柱坐標(biāo)（），如答圖3-9-1。由于系統(tǒng)柱對稱，取任意的平面，在該平面內(nèi)設(shè)P（）點恰為所求區(qū)域邊界。小球從下落達碗底，碰前速度為，有 小球從碰撞開始至到達碗邊時間 且有 由得 又 聯(lián)立，消去，得 由可得 作出上式的圖像如答圖3-9-2，由圖像及對的分析可知合理的的范圍是。而圖像所表示的范圍（陰影部分）即是剖面內(nèi)的可行范圍。由于的任意性，小球可以在一個由該剖面旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)曲面內(nèi)