高二數(shù)學直線與平面平行和平面與平面平行

1、題目 第九章(B)直線、平面、簡單幾何體直線與平面平行和平面與平面平行高考要求 1掌握空間直線和平面的位置關(guān)系；2掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理實現(xiàn)“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化 3掌握空間兩個平面的位置關(guān)系，掌握兩個平面平行的定義；4掌握兩個平面平行的判定定理及性質(zhì)定理，靈活運用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理實現(xiàn)“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化知識點歸納 1直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；符號表示為:，（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；符號表示為: ，（3）直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進行兩次分類符號表示為: 2線面

2、平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行推理模式：3 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：4平行平面：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面互相平行5圖形表示：畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行的6平行平面的判定定理： 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行推理模式：，7平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行推理模式：8

3、平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行推理模式：9面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面推理模式：題型講解 例1 如下圖，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求證：MN平面BCE證法一：過M作MPBC，NQBE，P、Q為垂足，連結(jié)PQMPAB，NQAB，MPNQ又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四邊形MNPQ，PQ平面BCE而MN平面BCE，MN平面BCE證法二：過M作MGBC，交AB于點G（如下圖），連結(jié)NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BC

4、E又=，GNAFBE，同樣可證明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE又MN平面MNGMN平面BCE點評：證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法：利用直線和平面平行的判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行 例2 如下圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1、BC1上分別有兩點E、F，且B1E=C1F求證：EF平面ABCD 證法一：分別過E、F作EMAB于點M，F(xiàn)NBC于點N，連結(jié)MNBB1平面ABCD，BB1AB，BB1BCEMBB1，F(xiàn)NBB1EMFN又B1E=C1F，EM=FN故四邊形MNFE

5、是平行四邊形EFMN又MN在平面ABCD中，EF平面ABCD證法二：過E作EGAB交BB1于點G，連結(jié)GF，則=B1E=C1F，B1A=C1B，=FGB1C1BC又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD而EF在平面EFG中，EF平面ABCD點評：證明線面平行的常用方法是：證明直線平行于平面內(nèi)的一條直線；證明直線所在的平面與已知平面平行例3 已知正四棱錐PABCD的底面邊長及側(cè)棱長均為13，M、N分別是PA、BD上的點，且PMMA=BNND=58 （1）求證：直線MN平面PBC；（2）求直線MN與平面ABCD所成的角（1）證明：PABCD是正四棱錐，ABCD是正方形連結(jié)AN并延長交B

6、C于點E，連結(jié)PE ADBC，ENAN=BNND又BNND=PMMA，ENAN=PMMAMNPE又PE在平面PBC內(nèi)，MN平面PBC（2）解：由（1）知MNPE，MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所成的角設(shè)點P在底面ABCD上的射影為O，連結(jié)OE，則PEO為PE與平面ABCD所成的角 由正棱錐的性質(zhì)知PO=由（1）知，BEAD=BNND=58，BE=在PEB中，PBE=60°，PB=13，BE=，根據(jù)余弦定理，得PE=在RtPOE中，PO=，PE=，sinPEO=故MN與平面ABCD所成的角為arcsin點評：證線面平行，一般是轉(zhuǎn)化為證線線平行求直線與平面所成的角一般用

7、構(gòu)造法，作出線與面所成的角本題若直接求MN與平面ABCD所成的角，計算困難，而平移轉(zhuǎn)化為PE與平面ABCD所成的角則計算容易可見平移是求線線角、線面角的重要方法當然，也可以建立坐標系，用向量法求角，后面有專門的介紹例4 如下圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過AB的中點O作平面與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點，MN與交于點P，求證：P是MN的中點證明：連結(jié)AN，交平面于點Q，連結(jié)PQb，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ又O為AB的中點，Q為AN的中點 a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQP為MN的中點點評：本題重點考查直線與平面平行的性質(zhì)例5 在直三棱柱

8、ABCA1B1C1中，AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b（1）設(shè)E、F分別為AB1、BC1的中點，求證：EF平面ABC；（2）求證：A1C1AB；（3）求點B1到平面ABC1的距離（1）證明：E、F分別為AB1、BC1的中點，EFA1C1A1C1AC，EFACEF平面ABC （2）證明：AB=CC1，AB=BB1又三棱柱為直三棱柱，四邊形ABB1A1為正方形連結(jié)A1B，則A1BAB1又AB1BC1，AB1平面A1BC1AB1A1C1又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1A1C1AB（3）解：A1B1AB，A1B1平面ABC1A1到平面ABC1的距離等于B1到平面ABC1的距離過A1作

9、A1GAC1于點G，AB平面ACC1A1，ABA1G從而A1G平面ABC1，故A1G即為所求的距離，即A1G= 評述：本題（3）也可用等體積變換法或向量法求解例6 如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在直線AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a，（0<a<）求證： MN平面CBE求MN的長度當a為何值時，MN的長度最小分析：證明直線與平面平行的基本方法是，在平面內(nèi)找一條直線與平面外的已知直線平行證明（1）：作MPAB交BC于P，作NQAB交BE于Q，連結(jié)PQ，依題意易證CMPBNQ，所以MPNQ，從而MNPQ是平行四邊形，MN

10、PQ，從而得MN平面CBE（2）由（1）知MN=PQ=，由CM=BN=a,CB=AB=BE=1，得AC=BF=，CP=，BQ=，MN=PQ=（3）由（2）有：MN=所以，當a=時，MN取最小值（即M，N分別在AC，BF的中點時，MN的長度最小）另解：（1）建立空間直角坐標系如圖，則M（又平面CBE的一個法向量 又點M平面CBE，平面CBE（2）由兩點距離公式得|例7 如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q分別是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中點，求證：平面EFG平面MNQ分析：只要證明平面EFG內(nèi)的兩條相交直線EF，F(xiàn)G分別與平面MNQ

11、內(nèi)的兩條直線QN和MQ平行即可證法一：由已知EFAB1，AB1DC1，DC1QN，EFQN，同理FGMQ所以，面EFGMNQ證法二：建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則E（0，0，1），F(xiàn)（1，0，2），G（0，1，2），M（2，1，0），N（2，2，1），Q（1，2，0）=（1，0，1），=（1，0，1），=（-1，1，0），=，EFQN，F(xiàn)GMQ，又EFFG=F，QNMQ=Q，所以，平面EFG平面MNQ小結(jié):1證明兩直線平行的常用的方法有（1）定義法，即證兩線共面且無公共點（2）證明兩直線都與第三條直線平行（3）同一法，即先過一直線上的一點作另一條直線的平行線，然后證明所作直線

12、與第一條直線重合（4）應用兩平面平行的性質(zhì)定理，設(shè)法使兩直線成為兩平行平面與第三個平面的交線2證明直線與平面平行的常用方法有：（1）根據(jù)定義，用反證法證明（2）證明直線在平面外且與平面內(nèi)的某一條直線平行（3）證明直線在與已知平面平行的平面內(nèi)（4）向量法，證明直線的一個方向向量，能用已知平面內(nèi)的一個基底表示, 或與平面的法向量垂直 3證明兩平面平行的常用方法有：（1）根據(jù)定義用反證法證明（2）證明一平面內(nèi)的兩相交直線與另一平面平行（或與另一平面內(nèi)的兩條相交直線平行）（3）證明兩平面都垂直于同一條直線4解題中，要注意靈活地實施下面的轉(zhuǎn)化，使立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而使問題簡化學生練習 1

13、設(shè)有平面、和直線m、n，則m的一個充分條件是A且m B=n且mnCmn且nD且m答案：D2設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是三個不同的平面給出下列四個命題，其中正確命題的序號是若m，n，則mn 若，m，則m 若m，n，則mn 若，則ABCD解析：顯然正確中m與n可能相交或異面考慮長方體的頂點，與可以相交答案：A3一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面的交線的位置關(guān)系是A異面B相交C平行D不能確定解析：設(shè)=l，a，a，過直線a作與、都相交的平面，記=b，=c，則ab且ac，bc又b，=l，blal答案：C4兩條直線a、b滿足ab，b，則a與平面的關(guān)系是Aa Ba與相交Ca與不相交

14、Da答案：C5a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點，則下列結(jié)論成立的是A過A有且只有一個平面平行于a、bB過A至少有一個平面平行于a、bC過A有無數(shù)個平面平行于a、bD過A且平行a、b的平面可能不存在解析：過點A可作直線aa，bb，則ab=Aa、b可確定一個平面，記為如果a，b，則a，b由于平面可能過直線a、b之一，因此，過A且平行于a、b的平面可能不存在答案：D6設(shè)平面平面，A、C，B、D，直線AB與CD交于點S，且AS=8，BS=9，CD=34，當S在、之間時，SC=_，當S不在、之間時，SC=_解析：ACBD，SACSBD，SC=16，SC=272答案：16 2727設(shè)D是線段BC

15、上的點，BC平面，從平面外一定點A（A與BC分居平面兩側(cè)）作AB、AD、AC分別交平面于E、F、G三點，BC=a，AD=b，DF=c，則EG=_解析：解法類同于上題答案：8已知RtABC的直角頂點C在平面內(nèi)，斜邊AB，AB=2，AC、BC分別和平面成45°和30°角，則AB到平面的距離為_解：分別過A、B向平面引垂線AA、BB，垂足分別為A、B設(shè)AA=BB=x，則AC2=（）2=2x2，BC2=（）2=4x2又AC2+BC2=AB2，6x2=（2）2，x=2答案：29在四面體ABCD中，M、N分別是面ACD、BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是_解析：連結(jié)AM并延

16、長，交CD于E，連結(jié)BN并延長交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E、F重合為一點，且該點為CD的中點E，由=得MNAB，因此，MN平面ABC且MN平面ABD答案：平面ABC、平面ABD10已知a、b為不垂直的異面直線，是一個平面，則a、b在上的射影有可能是兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是_（寫出所有正確結(jié)論的編號）解析：A1D與BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1與BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1與BC1在平面ABCD上的射影是一條直線及其外一點答案：11如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，側(cè)面PBC內(nèi)有BEPC于E，且BE= a，試在AB上找一點F，使EF平面PAD解：在面PCD內(nèi)作EGPD于G，連結(jié)AGPA平面ABCD，CDAD，CDPDCDEG又ABCD，EGAB若有EF平面PAD，則EFAG，四邊形AFEG為平行四邊形，得EG=AFCE=a，PBC為直角三角形，BC2=CE·CPCP=a，=故得AFFB=21時，EF平面PAD12如下圖，設(shè)P為長方形ABCD所在平面外一點，M、N分別為AB、PD上的點，且=，求證：直線MN平面PBC分析：要證直線MN平面PBC，只需證明MN平面PBC內(nèi)的一條直線或MN所在的某個平面平面PBC證法一：過N作NRDC