重視和改進(jìn)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

1、重視和改進(jìn)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)摘要：本文首先通過(guò)案例介紹了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的的一般模式；然后從概念的引入、概念的形成、概念的鞏固等方面介紹了一些具體的 方法，在這方面的說(shuō)明主要是通過(guò)具體的教學(xué)案例；文章最后又結(jié)合概念教學(xué)中容易出現(xiàn)的問(wèn)題，給出了一些切實(shí)可行的教學(xué)建議供教學(xué)工作者參考。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念，概念教學(xué)數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，是理解基本理論、掌握基本技能的基石，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要地位。一個(gè)成功的概念教學(xué)，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使整個(gè)教學(xué)過(guò)程得到事半功倍的作用。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的原理，是數(shù)學(xué)課程發(fā)展與數(shù)學(xué)

2、教學(xué)的理論基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)概念為載體通過(guò)相關(guān)的數(shù)學(xué)思維過(guò)程訓(xùn)練，能培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)與靈活思維的能力。因此我們要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。1 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般模式對(duì)于數(shù)學(xué)概念不能望文生義，要對(duì)其內(nèi)涵和外延、規(guī)定的條件、相互關(guān)系和實(shí)際應(yīng)用等進(jìn)行綜合理解，使之條理清楚，概念牢固。因此在教學(xué)中圍繞一個(gè)概念應(yīng)力求闡明下列問(wèn)題：（1）概念產(chǎn)生的背景及討論的對(duì)象；（2）概念的定義及相關(guān)條件和規(guī)定；（3）概念的性質(zhì)及與其它概念的關(guān)系；（4）概念的應(yīng)用范圍；（5）從全局觀點(diǎn)對(duì)概念進(jìn)行深層理解。以對(duì)“導(dǎo)數(shù)”概念教學(xué)為例分析1.導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生背景及概念的引入通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析：?jiǎn)栴}1 氣球平均膨脹率，問(wèn)題2 高臺(tái)跳水的平

3、均速度，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)。 2. 導(dǎo)數(shù)的定義：從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù) 3. 導(dǎo)數(shù)與相關(guān)概念的關(guān)系函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量間相互依賴關(guān)系的，極限討論函數(shù)在附近的性質(zhì)，連續(xù)則是討論函數(shù)在及其近旁的性質(zhì)，若時(shí)有，但對(duì)于的依賴關(guān)系并未消失，該關(guān)系則用數(shù)來(lái)體現(xiàn)，它表示函數(shù)在的瞬時(shí)變化率。4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義“無(wú)限逼近”“以直代曲”，曲線的割線斜率逼近切線斜率，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)f (x)在xx0附近的變化情況。這“數(shù)形結(jié)合”便于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念。5. 導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用（1）導(dǎo)數(shù)的定義具有構(gòu)造性，可用定義將求

4、導(dǎo)運(yùn)算公式化。（2）導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)在局部的狀態(tài)，它開辟了研究函數(shù)的新領(lǐng)域，如函數(shù)的單調(diào)性，極值等均可借助導(dǎo)數(shù)來(lái)討論。（3）導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率，實(shí)際中與變化率有關(guān)的問(wèn)題可用上導(dǎo)數(shù)。6. 從全局觀點(diǎn)對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行深層理解對(duì)函數(shù)的研究是通過(guò)圖形或解析式在定義域中作整體描述，導(dǎo)數(shù)討論在函數(shù)在點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，側(cè)重于對(duì)應(yīng)關(guān)系的變化，由導(dǎo)數(shù)再引入導(dǎo)函數(shù)從高層次上對(duì)函數(shù)作整體描述，這樣對(duì)函數(shù)的研究經(jīng)歷了從整體到局部又回到整體的螺旋式上升過(guò)程，導(dǎo)數(shù)成為進(jìn)一步研究函數(shù)的有力工具。用發(fā)展、變化的觀點(diǎn)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，把概念教活，使學(xué)生獲取的知識(shí)成為有機(jī)的整體，全面完成導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)。2 概念教學(xué)中的方法在概念教學(xué)過(guò)程

5、中應(yīng)因材施教、教法靈活。2.1 怎樣引入數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念的引入，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)(教材的實(shí)際、學(xué)生的知識(shí)水平及年齡實(shí)際、生活和生產(chǎn)實(shí)際等)，從問(wèn)題入手(直觀具體的、本學(xué)科的、跨學(xué)科的)，通過(guò)與本概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的實(shí)際例子，使學(xué)生在對(duì)直觀、具體問(wèn)題的體驗(yàn)中感知概念，由知覺(jué)到感覺(jué)，形成感性認(rèn)識(shí)。 如引入棱柱的概念時(shí)，可請(qǐng)同學(xué)觀察桌面上的鉛筆(豎著)、橡皮擦、課本，教師出示的長(zhǎng)方體及五棱柱、六棱柱模型等，提問(wèn)：是否注意到了它們?cè)谛螤钌隙加惺裁垂餐奶攸c(diǎn)？學(xué)生觀察時(shí)，教師可把模型擺在講臺(tái)上并規(guī)范地畫出其中五、六棱柱的直觀圖(略)，觀察、交流后，讓學(xué)生總結(jié)其共同特征(必要時(shí)可發(fā)問(wèn)：是否需要修改)：有

6、兩個(gè)面互相平行；其余各面的交線也互相平行，因此各個(gè)面為平行四邊形。另外一個(gè)考慮的方向：因?yàn)閹缀趺恳粋€(gè)數(shù)學(xué)概念的引入都伴隨著一個(gè)動(dòng)人的故事。如引入無(wú)理數(shù)時(shí)，可向?qū)W生介紹無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的背景；又如，講解析幾何時(shí)，可向?qū)W生介紹笛卡爾；講二項(xiàng)式定理時(shí)，可向?qū)W生介紹楊輝三角。了解一個(gè)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，有利于學(xué)生對(duì)某一概念的形成，同時(shí)，數(shù)學(xué)史也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育的極好教材。實(shí)踐表明，從尋求根源入手，不僅能使學(xué)生一接觸到新的數(shù)學(xué)概念便對(duì)它產(chǎn)生濃厚的興趣，而且還能比較容易接受并理解數(shù)學(xué)概念。2.2 形成概念的方法認(rèn)識(shí)是一個(gè)特殊的心理過(guò)程。學(xué)生初步學(xué)習(xí)概念后，還需有一個(gè)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的

7、改造、制作、深化過(guò)程，以逐步形成概念。 (1) 揭示概念的本質(zhì)數(shù)學(xué)概念是客觀世界的數(shù)量和空間形式在人們頭腦中的反映，而概念的本質(zhì)是概念所反映事物的屬性的總和，因此，掌握概念的關(guān)鍵便是明確概念的實(shí)質(zhì)，也就是如何借助語(yǔ)言文字或符號(hào)等關(guān)鍵詞來(lái)表達(dá)，講解中突出這一關(guān)鍵詞使學(xué)生易于接受。在正面闡述了概念的本質(zhì)屬性后應(yīng)安排一些簡(jiǎn)單的鞏固練習(xí)。通過(guò)回答問(wèn)題并說(shuō)明理由，概念的本質(zhì)屬性會(huì)在頭腦中重復(fù)出現(xiàn)，可培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念作判斷的能力，對(duì)促進(jìn)概念的形成是行之有效的。 (2) 利用概念之間的關(guān)系構(gòu)建概念體系我們可以利用概念之間存在的從屬關(guān)系、合成關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系、對(duì)稱關(guān)系等構(gòu)建出一些章節(jié)或系統(tǒng)的概念體系，從而使學(xué)生

8、對(duì)這部分的概念有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，把它們之間的聯(lián)系與區(qū)別理解得更清楚。如我們對(duì)“距離”概念得到概念體系：兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線的距離異面直線的距離點(diǎn)到平面的距離直線到平面的距離兩平行平面的距離。這樣可使學(xué)生對(duì)于“距離”這個(gè)綱可以做到“綱舉目張”。因它們的計(jì)算思想是一致的。2.3 概念的鞏固(1) 把概念教學(xué)與定理、公式及解題教學(xué)融為一體定理、性質(zhì)、公式的教學(xué)是概念教學(xué)的延伸，完整地掌握與概念有關(guān)的定理、性質(zhì)和公式才能完整地掌握概念的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程中不斷加深對(duì)概念的理解，提高解題能力，必須把概念教學(xué)貫穿于解決問(wèn)題的實(shí)踐之中，概念與解題、基礎(chǔ)與能力、兩者應(yīng)該相輔相成

9、，由概念指導(dǎo)解題，以基礎(chǔ)培養(yǎng)能力，辯證地統(tǒng)一于教學(xué)之中。(2) 利用分層次的例題培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念解決問(wèn)題的能力多層次的例題，不僅使學(xué)生能辨析各概念間的明顯區(qū)別，而且有助于學(xué)生的思維向縱深引伸，對(duì)他們的創(chuàng)新意識(shí)和能力的培養(yǎng)很有好處，如下例的解答。例一個(gè)ABC中，BC=6cm，再給定一個(gè)什么條件，A點(diǎn)的軌跡是：1)直線？2)圓？3)橢圓？4)雙曲線(除特殊點(diǎn)外)？分析1) 軌跡是直線，易想到如果A點(diǎn)到線段BC的兩個(gè)點(diǎn)端點(diǎn)距離相等，那么點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線。所以AB=AC可得點(diǎn)的軌跡是一條直線(BC的中點(diǎn)除外)。又如果點(diǎn)A到BC距離等于一常數(shù)，即么點(diǎn)A的軌跡是一平行于BC的兩條直線。所以ABC

10、的面積一定時(shí)，點(diǎn)的軌跡是直線。2) 軌跡是圓，平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的軌跡叫圓。所以只要點(diǎn)滿足這個(gè)定義，它的軌跡就是圓。所以(1)點(diǎn)A到線段BC中點(diǎn)距離等于一常數(shù)。(2)AB=BC或AC=BC這時(shí)得到點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)B或點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑的圓(點(diǎn)C或除外)。(3)AB：AC =k，(k>0，k1)(建立坐標(biāo)系后其軌跡方程易求出，略)。3) 軌跡是橢圓，平面內(nèi)到兩點(diǎn)的距離的和等于一常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。所以若點(diǎn)到，的距離之和為k(k>6)，即AB+AC =k，那么點(diǎn)的軌跡是橢圓。4) 軌跡是雙曲線，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。所以只要點(diǎn)A到B

11、，C的距離的差的絕對(duì)值為k(0<k<6)，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線。從上可看出在解題過(guò)程中加深了概念的理解和各概念的區(qū)別，同時(shí)也看到概念在解決問(wèn)題時(shí)所起到的作用。(3) 利用框圖使學(xué)生加深聯(lián)想記憶引入概念后，對(duì)概念所屬對(duì)象進(jìn)行分類，以加深對(duì)概念實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延在自身發(fā)展中充實(shí)并逐步完善，在教學(xué)中，應(yīng)將概念納入它自身的矛盾運(yùn)動(dòng)中去進(jìn)行分析，把概念的確定性和靈活性辯證地統(tǒng)一起來(lái)。概念之間的種屬關(guān)系使概念之間形成非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)，而在教材中常分散出現(xiàn)，應(yīng)適時(shí)地將它們聯(lián)系、歸納、概括于一個(gè)體系之中。在概念課的教學(xué)中，建立概念體系后，盡量多用框圖把概念體系表示出來(lái)，可以加深對(duì)各概念的

12、區(qū)別和聯(lián)系的理解，可使知識(shí)系統(tǒng)化，使學(xué)生易于聯(lián)想記憶。如引入虛數(shù)后可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出復(fù)數(shù)系框圖。3 概念教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題3.1 注意數(shù)學(xué)概念的科學(xué)性和邏輯性數(shù)學(xué)概念是發(fā)展進(jìn)化的，不易一次講透，教學(xué)中不必死摳概念的嚴(yán)密性，這樣并不能妨礙概念的科學(xué)性和邏輯性，能突出其本質(zhì)即可。3.2 概念課教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用啟發(fā)性原則教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，提供機(jī)會(huì)、創(chuàng)設(shè)情景，善于提出問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生積極、主動(dòng)思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)的能力，引導(dǎo)學(xué)法，培養(yǎng)習(xí)慣。正像波利亞所說(shuō)：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬(wàn)倍的是學(xué)生想了些什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于“系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)

13、現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)”。如，學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)計(jì)系列啟發(fā)性思考題，啟動(dòng)學(xué)生自主地觀察、歸納、概括出等比數(shù)列的概念，并把類比的數(shù)學(xué)思想方法落到實(shí)處，一一引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列進(jìn)行概念類比、內(nèi)涵類比、外延類比、通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)類比、概念應(yīng)用中的解法類比等，使學(xué)生在類比和自主探索中學(xué)習(xí)、理解、掌握等比數(shù)列及相關(guān)概念。 3.3 注意防止概念的混淆 學(xué)生在學(xué)習(xí)概念之前頭腦中并不是一片空白，已有一些形成的概念。這些概念由于表示它們的符號(hào)、詞語(yǔ)和概念本身的含義不同可能產(chǎn)生相互干擾，故克服概念混淆是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要工作，將相關(guān)概念進(jìn)行比較，說(shuō)明它們的區(qū)別，進(jìn)行驗(yàn)證，有意引出謬誤以加深印象是很有必要的。3.4 注意在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授知識(shí)，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的多種能力。故在概念教學(xué)中不僅要使學(xué)生理解和掌握概念，會(huì)運(yùn)用概念解題，更重要的是在概念的形成過(guò)中讓學(xué)生掌握思維方法，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到有效的培養(yǎng)和開發(fā)。例如我們可以：1.求知情景，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性；2.新概念，培養(yǎng)思維的深刻性；3.新概念，培養(yǎng)思維的廣闊性；4