高三數(shù)學(xué)培優(yōu)補(bǔ)差輔導(dǎo)專(zhuān)題講座-平面向量單元易錯(cuò)題分析與練習(xí)p

1、平面向量易錯(cuò)題解析1、你熟悉平面向量的運(yùn)算（和、差、實(shí)數(shù)與向量的積、數(shù)量積）、運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算的幾何意義嗎？2、你通常是如何處理有關(guān)向量的模（長(zhǎng)度）的問(wèn)題？（利用；）3、你知道解決向量問(wèn)題有哪兩種途徑？（向量運(yùn)算；向量的坐標(biāo)運(yùn)算）4、你弄清“”與“”了嗎？問(wèn)題：兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積有什么區(qū)別？（1） 在實(shí)數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.（2） 已知實(shí)數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒(méi)有.（3） 在實(shí)數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因?yàn)樽筮吺桥c共線的向量，而右邊是與共線的向量.5、向量的平移公式、函數(shù)圖象的平移公式你掌握了嗎？6、正弦定理、余

2、弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內(nèi)的求值、化簡(jiǎn)和證明恒等式有什么特點(diǎn)？1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的

3、非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_（答：（4）（5）2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)

4、在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在

5、邊上，且，則的值是_（答：0）4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。5、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答

6、：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)（答：）（3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)（答：）（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此

7、時(shí)與的夾角的大?。ù穑?；最小值為，）6、向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡(jiǎn)：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則_（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_(kāi)（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_(kāi)（答：2）；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_(kāi)（答：）；（2）坐標(biāo)運(yùn)算

8、：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，則 （答：或）；（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1）實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_（答：）；平面向量數(shù)量積：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_（答：）； 兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)

9、系中，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，2），求P到O的距離PO；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。（答：（1）2；（2）；7、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，。如下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相

10、約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？8、向量平行(共線)的充要條件：0。如(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）9、向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （答：）10.線段的定比分點(diǎn)：（1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定

11、比為的定比分點(diǎn)；（2）的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)；若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比為。如若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_(kāi)（答：）（3）線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當(dāng)1時(shí)，就得到線段PP的中點(diǎn)公式。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；（2

12、）已知，直線與線段交于，且，則等于_（答：或）11.平移公式：如果點(diǎn)按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如（1）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_（答：（，）；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_（答：）12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類(lèi)似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的

13、重心的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則，特別地為的中點(diǎn)；（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（答：直線AB）例題2在中,已知,且的一個(gè)內(nèi)角為直角,求實(shí)數(shù)的值.錯(cuò)誤分析:是自以為是,憑直覺(jué)認(rèn)為某個(gè)角度是直角,而忽視對(duì)諸情況的討論.答案: (1)若即 故,從而解得; (2)若即,也就是,而故,解得; (3)若即,也就是而,故,解得 綜合上面討論可知,或或例題4已知向量m=(1,1)，向量與向量夾

14、角為，且·=-1，求向量；解：設(shè)=(x,y)則由<,>=得：cos<,>= 由·=-1得x+y=-1 聯(lián)立兩式得或=(0,-1)或(-1,0)例題7已知向量（m為常數(shù)），且,不共線，若向量,的夾角< , >為銳角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：要滿足<>為銳角 只須>0且（） = = =即x (mx-1) >0 1°當(dāng) m > 0時(shí)x<0 或2°m<0時(shí)，x ( -mx+1) <0 ， 3°m=0時(shí)只要x<0綜上所述：x > 0時(shí)， x = 0時(shí)， x &

15、lt; 0時(shí)，例題9已知向量， （）求的值；（）若，且，求的值解（）,. , ,即 . . （） ， ， .基礎(chǔ)練習(xí)題1、設(shè)平面向量=(2，1)，=(，1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、答案：A 點(diǎn)評(píng)：易誤選C，錯(cuò)因：忽視與反向的情況。2、O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,則P的軌跡一定通過(guò)ABC的( ) (A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心正確答案：B。錯(cuò)誤原因：對(duì)理解不夠。不清楚與BAC的角平分線有關(guān)。3、若向量 =(cosa,sina) ， =， 與不共線，則與一定滿足（ ）A 與的夾角等于a-b B C(+)(-)D

16、 正確答案：C 錯(cuò)因：不能把、的終點(diǎn)看成是上單位圓上的點(diǎn)，用四邊形法則來(lái)處理問(wèn)題。4、已知O、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P線段AB上且 =t (0t1)則· 的最大值為（） A3B6C9D12正確答案：C 錯(cuò)因：不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)|OP|cosa最大時(shí)，· 即為最大。5、在中,則的值為 ( )A 20 B C D 錯(cuò)誤分析:錯(cuò)誤認(rèn)為,從而出錯(cuò). 答案: B略解: 由題意可知,故=.6、已知向量 =(2cosj，2sinj)，jÎ()， =（0,-1)，則 與 的夾角為( )A-jB+jCj-Dj正確答案：A 錯(cuò)因：忽

17、略考慮與夾角的取值范圍在0，p。7、如果，那么 （ ）A B C D在方向上的投影相等正確答案：D。錯(cuò)誤原因：對(duì)向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。8、已知向量則向量的夾角范圍是（ ） A、/12，5/12 B、0，/4 C、/4，5/12 D、 5/12，/2 正確答案：A錯(cuò)因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。9、設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列與共線的充要條件的有（ ） 存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使=或=； |·|=| |； ； (+)/()A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)答案：C點(diǎn)評(píng)：正確，易錯(cuò)選D。10、以原點(diǎn)O及點(diǎn)A（5，2）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，使，則的坐標(biāo)為（ ）。A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5） C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）正解：B設(shè)，則由 而又由得 由聯(lián)立得。誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解。11、設(shè)向量，則是的（ ）條件。A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要正解：C若則，若，有可能或?yàn)?，故選C。誤解：，此式是否成立，未考慮，選A。12、在OAB中，若，則=（ ）A、 B、 C、 D、正解：D。（LV為與的夾角）誤解：C。將面積公式記錯(cuò)，誤記為13、設(shè)平面向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 （ ）A、 B、（2，+ C、（ D、（-錯(cuò)解：C 錯(cuò)因：忽視使用時(shí)，其中包