線性代數(shù)試題集

1、（1）一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分）1設(shè)A是方陣且非奇異，若AB=AC，則必有( )（a） B=C; b）B=C=O;（c）A=B=C;（d）BC.2. 設(shè)A為3階方陣，|A| = 3，則其行列式 | 3A|是（ ）（a）3 （b）32 （c）33 （d）34 3設(shè)齊次線性方程組有非零解，則k = （ ）（a）2 （b）0 （c）-1 （d）-24下列矩陣為初等矩陣的是（ ）（a） （b） （c）（d）5設(shè)向量組線性相關(guān)，則一定有（ ）（a）線性相關(guān) （b）線性相關(guān)（c）線性無關(guān) （d）線性無關(guān)6設(shè)n階方陣A為非奇異陣，則必有（ ）（a） 秩（A）= n；（b）秩（A）= 0；（c）|

2、A|=0；（d）方程組AX=0有非零解。7設(shè)向量（2，-3，5）與向量（- 4，6，k）線性相關(guān)，則k=（ ） （a）5；（b）-5；（c）10； （d）-10.8設(shè)AX=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）（a）是AX=0的一個(gè)解；（b）是AX=b的一個(gè)解；（c）是AX=0的一個(gè)解；（d）是AX=b的一個(gè)解。二、填空題（每格2分，共26分）1.求行列式的值(1) =_；（2）=_ ； (3) =_;(4)行列式中元素0的代數(shù)余子式的值為_2. 設(shè)，則3A+2B=_; AB=_; _.3.齊次線性方程組的全部解 =_4. ， 若；則=_；_5.若A= 則r(A

3、)=_6. 已知, 向量與的內(nèi)積=_, 的長度=_.三、證明題（任選兩題,每小題5分,共10分）1. 設(shè)線性無關(guān)，試證：線性無關(guān)。2. 如果n階方陣A滿足試證:A的特征值只能是0或.3. 如果對稱矩陣A為非奇異,試證:也是對稱矩陣四、計(jì)算題（共48分）1. （10分）已知向量組=（1,1,3）,=(-1,1,-1) , =(5,-2,8), =(-1,3,1), (1)求向量組的一組極大無關(guān)組,(2)將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示,(3)求這組向量組的秩. 2（10分）若AX = B，其中，求（1）A-1；（2）X 3（12分）解線性方程組,要求用其齊次方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解4. （10

4、分）設(shè)方陣, (1)求A的特征值和特征向量, (2)求可逆矩陣P,使為對角陣5.（6分）設(shè)實(shí)對稱矩陣的三個(gè)特征值,相應(yīng)的特征向量為, 試求正交矩陣Q,使得為對角陣，并寫出此對角陣.（2）一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分) 1 A是n階方陣，則有。 （ ）2 A，B是同階方陣，且，則。 （ ）3如果與等價(jià)，則的行向量組與的行向量組等價(jià)。 ( )4若均為階方陣，則當(dāng)時(shí)，一定不相似。 ( )5n維向量組線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。 （ ）二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1下列矩陣中，（      ）不是初等矩陣。（A） (B)

5、(C) (D) 2設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（ ）。（A） （B） （C） （D）3設(shè)A為n階方陣，且。則（） (A) (B) (C) (D) 4設(shè)為矩陣，則有（ ）。（A）若，則有無窮多解；（B）若，則有非零解，且基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)解向量；（C）若有階子式不為零，則有唯一解；（D）若有階子式不為零，則僅有零解。5若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（ ） （A）A與B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A與B不一定相似，但|A|=|B| 三、填空題（每小題4分，共20分）1 。2為3階矩陣，且滿足3,則=_， 。3向量組，是線

6、性 （填相關(guān)或無關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是 。4 已知是四元方程組的三個(gè)解，其中的秩=3，則方程組的通解為 。5設(shè)，且秩(A)=2，則a= 。四、計(jì)算下列各題（每小題9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩陣B。2.設(shè)，而，求。3.已知方程組有無窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型5 A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。五證明題（每題5分，共10分）。1若是對稱矩陣，是反對稱矩陣，是否為對稱矩陣？證明你的結(jié)論。2設(shè)為矩陣，且的秩

7、為n，判斷是否為正定陣？證明你的結(jié)論。（3）一. 填空(每題2分, 共20分)1 1設(shè)五階行列式|aij|=3(i,j=1,2,3,4,5)，先交換1、5兩行；再轉(zhuǎn)置；最后用2乘所有元素, 其結(jié)果為_。2 2設(shè)A為四階矩陣，若，則|AA*|= , |A*|= , (A*)-1= , |2A-1|= 3 3設(shè), f(x)=2x2-4x+5, 則f(D)= 4 4設(shè)C=, A = (3, 2, 1), B = (1, -2, 1),則ATB-2C= 5非齊次線性方程組AX=b有解的充要條件是 。6設(shè)A為m×n矩陣，則AX=0有非零解的充要條件是 。7設(shè)為矩陣，且2，則_。8= ， = 。

8、9設(shè)，則 。10A,B為同階方陣，則（A+B）（A-B）=A2-B2成立的充要條件是 。二選擇題(每題2分, 共10分)1. 若 n階矩陣A滿足A2-A-3I=0,，則A （ ）(a) (a)    不可逆(b) (b)    可逆，且A-1=A-I (c) (c)    可逆，且A-1=(A-I)(d) (d)    以上結(jié)論都不對2設(shè)矩陣A=(aij)，AX=0僅有零解的充要條件是（ ）(a) (a)A的行向量組線性無關(guān)(b) (b)A的行向量組線性相關(guān)(c) (c)A的

9、列向量組線性無關(guān)(d) (d)A的列向量組線性相關(guān)3 設(shè)a1,a2,as為n維向量組, 則( )正確.(a).若 k1 a1+ k2 a2+ k s as=0, 則a1,a2,as線性相關(guān);(b).對任一組不全為零的數(shù)k1, k2, ks總有k1 a1+ k2 a2+ k s as ¹0,則a1,a2,as線性無關(guān);(c).若a1,a2,as線性相關(guān),則對任一組不全為零的數(shù)k1, k2, ks總有k1 a1+ k2 a2+ ks as =0;(d).若k1 a1+ k2 a2+ k s as ¹0, 則a1,a2,as線性相關(guān).4若是線性方程組的兩個(gè)解向量，則（ ）必為其導(dǎo)

10、出組的解。 (a)； (b)； (c)； 以上答案都不對。5. 向量組 的秩為r,則下述說法不正確的是（ ）(a) 中至少有一個(gè)r個(gè)向量的部分組線性無關(guān)(b) 中任何r個(gè)向量的線性無關(guān)部分組與可互相線性表示© 中r個(gè)向量的部分組皆線性無關(guān)(d) 中r+1個(gè)向量的部分組皆線性相關(guān)三計(jì)算題(每題10分, 共40分)1、計(jì)算n階行列式Dn=2解矩陣方程AX=A+X,其中A=3. 解下列方程組: 4. 求向量組a1=(1,-1,2,4), a2=(0,3,1,2), a3=(3,0,7,14), a4(2,1,5,6), a5=(1,-1,2,0)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組,并把每個(gè)向量都用極大無

11、關(guān)組線性表示出來.四證明題(每題10分, 共30分)1已知向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，試證明：（1）向量一定可由向量組線性表示；（2）表示法是唯一的。 2A,B是同階對稱矩陣，證明：AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。3設(shè)A為n階實(shí)方陣, 且A0, 求證:若Am = 0(m為大于1的正整數(shù)),則A不能與實(shí)對角形方陣相似.（4）一、選擇題1. 設(shè)為階矩陣，則下列矩陣中不是對稱矩陣的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量組線性相關(guān)，則（ ）。 （A）可由線性表示 （B）不可由線性表示 （C）若，則可由線性表示 （D）若線性無關(guān)，則可由線性表示3. 設(shè)，則當(dāng)（）時(shí)，。（

12、A）1 （B） （C） 2（D） 4. 齊次線性方程組有非零解的充要條件是（ ）。 （A）的列向量組線性無關(guān) （B）的列向量組線性相關(guān) （C）的行向量組線性無關(guān) （D）的行向量組線性相關(guān)5. 設(shè)階矩陣的個(gè)特征值全為零，則（ ）。 （A） （B）只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量 （C）不能與對角矩陣相似 （D）當(dāng)與對角矩陣相似時(shí)，二、填空題1. 設(shè)四階行列式的第一行元素分別為第一行元素的余子式分別為，則 2. 設(shè)，則 3. 設(shè)，則 4. 設(shè)是由向量組，所生成的向量空間，則的維數(shù)為 5. 設(shè)三階矩陣的特征值分別為1，2，3，則的特征值為 ， 6. 實(shí)二次型的矩陣為 三，解答題 1. 設(shè)三階矩陣、滿足，且

13、，求。2. 當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組（1）有惟一解（2）無解；（3）有無窮多解，并求通解。3. 設(shè)為三階矩陣，三維列向量組線性無關(guān)，且，（1）求，使得；（2）求。4. 設(shè)三階矩陣的特征值分別為，對應(yīng)的特征向量分別為，求。四、證明題1. 設(shè)為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，證明的秩。2. 設(shè)維向量組線性無關(guān)， 證明：線性無關(guān)的充要條件是為奇數(shù)（5）一、選擇題1. 設(shè)、為階矩陣，則下面必成立的是（ ）。 AB C （D）2. 設(shè)為階矩陣，且，則（ ）。 ABCD3. 設(shè)向量組的秩為3，則（A）任意三個(gè)向量線性無關(guān)（B）中無零向量（C）任意四個(gè)向量線性相關(guān)（D）任意兩個(gè)向量線性無關(guān)4. 線性方程組，有解的充

14、要條件是（A） （B） （C）（D）5. 階矩陣與對角矩陣相似的充要條件是（ ）。（A）的個(gè)特征值互不相同 （B）可逆（C）無零特征值 （D）有個(gè)線性無關(guān)的特征向量二，填空題1. 各列元素之和為0的階行列式的值等于 2. 設(shè)三階矩陣，則 3. 設(shè)矩陣，則 （為正整數(shù)）4. 設(shè)，則 5. 設(shè)向量組線性無關(guān)，則向量組，線性 6. 設(shè)三階可逆矩陣的特征值分別為2、3、5，則的伴隨矩陣的特征值為 7. 設(shè)實(shí)二次型為正定二次型，則參數(shù)的取值范圍是 三，解答題1. 設(shè)，求矩陣。2. 當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有（1）惟一解；（2）無解；（3）無窮多解，并求通解。3. 設(shè)四維向量組，求該向量組的秩及一個(gè)極大線性

15、無關(guān)組，并把其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。4. 求一個(gè)正交變換，將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷該二次型是否正定。四，證明題1. 設(shè)為階矩陣，如果，則。2. 設(shè)階矩陣，（為正整數(shù)），則不能與對角矩陣相似。（6）一、選擇題1. 如果行列式，則（A）可能為（B）不可能為1 （C）必為1（D）不可能為22. 設(shè)、為階矩陣，則（ ）成立。 （A） （B） （C） （D）3. 設(shè)均為維向量，則下面結(jié)論正確的是（ ）。 （A）如果，則線性相關(guān) （B）若線性相關(guān)，則對任意一組不全為零的數(shù)，有 （C）若對任意一組不全為零的數(shù)，有，則 線性無關(guān) （D）如果，則 線性無關(guān)4. 齊次線性方程組有非零解的充要條件是

16、（ ）。 （A） （B） （C） （D） 5. 設(shè)可逆矩陣有一個(gè)特征值為2，則有一個(gè)特征值為（ ）。 （A） （B） （C） （D） 二、填空題1. 行列式 2. 設(shè)，則3. 設(shè)，則 4. 已知向量組，線性相關(guān)，則 5. 向量組，的一個(gè)最大無關(guān)組為 6. 如果線性方程組有解，則常數(shù)滿足條件 7. 二次型的秩為 三、計(jì)算題1. 設(shè)，且，求。2. 設(shè)，（1）是否線性相關(guān)；（2）可否由線性表示，如能則求其表示式。3. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，為它的三個(gè)解向量，且，求該方程組的通解。4. 設(shè)，求一個(gè)正交矩陣使得，其中為對角矩陣。四、證明題1. 設(shè)階矩陣滿足，證明：。2. 設(shè)階實(shí)對稱矩

17、陣滿足，證明。（7）一、 1. 填空 （每空4分，共20分）1 . 2.若，則 . 3. 的伴隨矩陣，則.4.從的基到基的過渡矩陣為 5.若，是4階方陣的伴隨矩陣，則 .二、 選擇題 （每題5分，共40分）1.已知是階方陣，則下列結(jié)論中正確的是( )(A)且 (B) (C)或 (D)2.設(shè)，若的伴隨矩陣的秩等于1，則必有( ).(A)或 (B) 或 (C) 或 (D) 或3.設(shè)三階方陣滿足，其中為三階單位矩陣，則( ).(A) (B) (C) (D) 4. 是階方陣,且則未必有( ).(A) 可逆， (B) 可逆 (C) 可逆 (D) 可逆5.設(shè)是矩陣，是矩陣，則線性方程組 （ ）.（A）當(dāng)時(shí)

18、，僅有零解 （B）當(dāng) 時(shí)，必有非零解（C）當(dāng) 時(shí)，僅有零解 （D）當(dāng)時(shí)，必有非零解6.若向量組線性無關(guān)；線性相關(guān)，則（ ）（A）必可由線性表示 （B）必不可由線性表示7. 是階可逆矩陣的一個(gè)特征值，則的伴隨矩陣的特征值之一是（ ）（A） （B） （C） （D）（C）必可由線性表示 （D）必不可由線性表示8. 二次型，若其對稱矩陣的秩為2，則值應(yīng)為（ ）（A） 0 （B） （C） （D） 1.三、若線性無關(guān)，則 線性無關(guān). (10分)四、設(shè) 求正交陣，使 為對角陣.（10分）五、（10分）設(shè)二次型， 其中的特征值之和為1，特征值之積為-12. （1）求的值；（2）利用正交變法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，

19、并寫出正交矩陣.六、（10分）設(shè)線性方程組與有公共解，求的值及所有公共解.（8）一、 單項(xiàng)選擇題1.設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.設(shè)矩陣A=，則A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（ ） A. A =0B. BC時(shí)A=0 C. A0時(shí)B=CD. |A|0時(shí)B=C5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D.

20、 46.設(shè)兩個(gè)向量組1，2，s和1，2，s均線性相關(guān)，則（ ） A.有不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全為0的數(shù)1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全為0的數(shù)1，2，s和不全為0的數(shù)1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（ ） A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0 C.至少有一個(gè)r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，1，2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論

21、錯(cuò)誤的是（ ） A.1+2是Ax=0的一個(gè)解B.1+2是Ax=b的一個(gè)解 C.1-2是Ax=0的一個(gè)解D.21-2是Ax=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（ ） A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（ ） A.如存在數(shù)和向量使A=，則是A的屬于特征值的特征向量 B.如存在數(shù)和非零向量，使(E-A)=0，則是A的特征值 C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量 D.如1，2，3是A的3個(gè)互不相同的特征值，1，2，3依次是A的屬于1，2，3的特征向量，則1，2，3有可能線性相關(guān)11.設(shè)0是矩陣

22、A的特征方程的3重根，A的屬于0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有（ ） A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A.|A|2必為1B.|A|必為1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（ ） A.A與B相似 B. A與B不等價(jià) C. A與B有相同的特征值 D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） A.B. C.D.第二部分 非選擇題（共72分）二、填空題15. .16.設(shè)A=，B=.則A+2B= .17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22