正交實驗設(shè)計

1、正交實驗設(shè)計當(dāng)析因設(shè)計要求的實驗次數(shù)太多時，一個非常自然的想法就是從析因設(shè)計的水平組合中，選擇一部分有代表性水平組合進(jìn)行試驗。因此就出現(xiàn)了分式析因設(shè)計（fractionalfactorialdesigns）,但是對于試驗設(shè)計知識較少的實際工作者來說，選擇適當(dāng)?shù)姆质轿鲆蛟O(shè)計還是比較困難的。正交試驗設(shè)計（Orthogonalexperimentaldesign）是研究多因素多水平的又一種設(shè)計方法，它是根據(jù)正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進(jìn)行試驗，這些有代表性的點具備了均勻分散，齊整可比”的特點，正交試驗設(shè)計是分式析因設(shè)計的主要方法。是一種高效率、快速、經(jīng)濟(jì)的實驗設(shè)計方法。日本著名的統(tǒng)計學(xué)家

2、田口玄一將正交試驗選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。例如作一個三因素三水平的實驗，按全面實驗要求，須進(jìn)行33=27種組合的實驗，且尚未考慮每一組合的重復(fù)數(shù)。若按L9（3）3正交表按排實驗，只需作9次，按Li8（3）7正交表進(jìn)行18次實驗，顯然大大減少了工作量。因而正交實驗設(shè)計在很多領(lǐng)域的研究中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。1 .正交表正交表是一整套規(guī)則的設(shè)計表格，用工式/）。L為正交表的代號，n為試驗的次數(shù)，t為水平數(shù)，c為列數(shù)，也就是可能安排最多的因素個數(shù)。例如L9（34）,（表11）,它表示需作9次實驗，最多可觀察4個因素，每個因素均為3水平。一個正交表中也可以各列的水平數(shù)不相等，我們稱它為混合型正

3、交表，如L8（4>24）（表12）,此表的5列中，有1列為4水平，4列為2水平。根據(jù)正交表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)看出，正交表是一個n行c列的表，其中第j列由數(shù)碼1,2,S組成，這些數(shù)碼均各出現(xiàn)N/S次，例如表11中，第二列的數(shù)碼個數(shù)為3,S=3,即由1、2、3組成，各數(shù)碼均出現(xiàn)明3=邛=3次。表nl式廠）表引號13411i11212213iJ33.4212352A3I52?上73133R333P3331表廣X公）表民喳號-班片123451111112122223211224222IL531A1W6331Q17A122LS42112表134（2）正交表遍彳列EI2345d711111112111222

4、2312211224122221152111316212212172211221£221211口正交表具有以下兩項性質(zhì)：（1）每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如在兩水平正交表中，任何一列都有數(shù)碼“1與“2；且任何一列中它們出現(xiàn)的次數(shù)是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“17”27”3；且在任一列的出現(xiàn)數(shù)均相等。（2）任意兩列中數(shù)字的排列方式齊全而且均衡。例如在兩水平正交表中，任何兩列（同一橫行內(nèi)）有序?qū)ψ庸灿?種：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）。每種對數(shù)出現(xiàn)次數(shù)相等。在三水平情況下，任何兩列（同一橫行內(nèi)）有序?qū)灿?種，1.1、1.2、1.3、2.1、2.

5、2、2.3、3.1、3.2、3.3,且每對出現(xiàn)數(shù)也均相等。以上兩點充分的體現(xiàn)了正交表的兩大優(yōu)越性，即均勻分散性，整齊可比通俗的說，每個因素的每個水平與另一個因素各水平各碰一次，這就是正交性。2 .交互作用表每一張正交表后都附有相應(yīng)的交互作用表，它是專門用來安排交互作用試驗。表14就是L8（27）表的交互作用表。表145（2，）表的交互作用表號列4、12345672325416167457654123321安排交互作用的試驗時，是將兩個因素的交互作用當(dāng)作一個新的因素，占用一列，為交互作用列，從表14中可查出L8（27）正交表中的任何兩列的交互作用列。表中帶（）的為主因素的列號，它與另一主因素的交

6、互列為第一個列號從左向右，第二個列號順次由下向上，二者相交的號為二者的交互作用列。例如將A因素排為第（1）列，B因素排為第（2）列，兩數(shù)字相交為3,則第3列為AXB交互作用列。又如可以看到第4列與第6列的交互列是第2歹U,等等。3 .正交實驗的表頭設(shè)計表頭設(shè)計是正交設(shè)計的關(guān)鍵，它承擔(dān)著將各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任務(wù)，因此一個表頭設(shè)計就是一個設(shè)計方案。表頭設(shè)計的主要步驟如下：(1)確定列數(shù)根據(jù)試驗?zāi)康?，選擇處理因素與不可忽略的交互作用，明確其共有多少個數(shù)，如果對研究中的某些問題尚不太了解，列可多一些，但一般不宜過多。當(dāng)每個試驗號無重復(fù)，只有1個試驗數(shù)據(jù)時，可設(shè)2個或多個空白

7、列，作為計算誤差項之用。(2)確定各因素的水平數(shù)根據(jù)研究目的，一般二水平(有、無)可作因素篩選用；也可適用于試驗次數(shù)少、分批進(jìn)行的研究。三水平可觀察變化趨勢，選擇最佳搭配；多水平能以一次滿足試驗要求。(3)選定正交表根據(jù)確定的列數(shù)(c)與水平數(shù)(t)選擇相應(yīng)的正交表。例如觀察5個因素8個一級交互作用，留兩個空白列，且每個因素取2水平，則適宜選Li6(215)表。由于同水平的正交表有多個，如L8(27)、Li2(211)、Li6(215),一般只要表中列數(shù)比考慮需要觀察的個數(shù)稍多一點即可，這樣省工省時。(4)表頭安排應(yīng)優(yōu)先考慮交互作用不可忽略的處理因素，按照不可混雜的原則，將它們及交互作用首先在

8、表頭排妥，而后再將剩余各因素任意安排在各列上。例如某項目考察4個因素A、B、C、D及AXB交互作用，各因素均為2水平，現(xiàn)選取L8(27)表，由于AB兩因素需要觀察其交互作用，故將二者優(yōu)先安排在第1、2歹U,根據(jù)交互作用表查得AXB應(yīng)排在第3歹U,于是C排在第4歹U,由于AXC交互在第5歹U,BXC交互作用在第6歹U,雖然未考查AXC與BXC,為避免混雜之嫌，D就排在第7歹U。表151。丁)表頭設(shè)計列號123453因素與交互作用ABCD(5)組織實施方案根據(jù)選定正交表中各因素占有列的水平數(shù)列，構(gòu)成實施方案表，按實驗號依次進(jìn)行，共作n次實驗，每次實驗按表中橫行的各水平組合進(jìn)行。例如L9(34)表，

9、若安排四個因素，第一次實驗A、B、C、D四因素均取1水平，第二次實驗A因素1水平，B、C、D取2水平，第九次實驗A、B因素取3水平，C因素取2水平,D因素取1水平。實驗結(jié)果數(shù)據(jù)記錄在該行的末尾。因此整個設(shè)計過程我們可用一句話歸納為：因素順序上列、水平對號入座，實驗橫著作4 .二水平有交互作用的正交實驗設(shè)計與方差分析例8某研究室研究影響某試劑回收率的三個因素，包括溫度、反應(yīng)時間、原料配比，每個因素都為二水平，各因素及其水平見表16。選用L8(27)正交表進(jìn)行實驗，實驗結(jié)果見表17。5表1。因素與水平因素水平12A溫度七60SOB反應(yīng)時間h253：.5C原料配比11:112:1表17票試劑回收率的

10、正交實噓口（2，）去結(jié)果試虻號kk2B3AXB4-C563試脂給果回收率了乂i11Ii111U2L1r：2.22.餐953122品.122914L222211945)12ia1291621221219672211.221£3822鳥1；11'128S3663633523513593SP3581(53723733(533fi53fi5?1220爾聾-a-6,占J喀VS.&50,。缸50.54.54.5首先計算Ij與山，Ij為第j列第1水平各試驗結(jié)果取值之和，山為第j列第2水平各試驗結(jié)果取值之和。然后進(jìn)行方差分析。過程為：/=58-=M6.0求：總離差平方和-3TI/各列

11、離差平方和SS=，本例各列離均差平方和見表10最底部一行。即各空列SS之和。即誤差平方和=£&&至負(fù)=05+45+45=95自由度v為各列水平數(shù)減1,交互作用項的自由度為相交因素自由度的乘積。分析結(jié)果見表18表三種因素對某試劑回收率哥晌的正較實驗方差分析表變異來源離差平方和S寫自由度U均方MSF值P值A(chǔ)801S.02.2530.2102B1S.0112.05右80.0973AXB5k0150.015.390.02S5C60U160.519.10.0222誤差Q.53316總變異146.0?從表18看出，在a=0.05水準(zhǔn)上，只有C因素與AXB交互作用有統(tǒng)計學(xué)意義，其余

12、各因素均無統(tǒng)計學(xué)意義，A因素影響最小，考慮到交互作用AXB的影響較大，且它們的二水平為優(yōu)。在C2的情況下，有B1A2和Bi,Ai兩種組合狀況下的回收率最高?？紤]到B因素影響較A因素影響大些，而B中選Bi為好，故選A2B10這樣最后決定最佳配方為A2B1C2,即80C,反應(yīng)時間2.5h,原料配比為121。如果使用計算機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計分析，在數(shù)據(jù)是只需要輸入試驗因素和實驗結(jié)果的內(nèi)容，交互作用界的內(nèi)容不用輸入，然后按照表頭定義要分析的模型進(jìn)行方差分析。附錄1:常用正交表(1)L4(23)列號試驗號123111121223二2124221L8(27)列號1234567試驗號11111111211122122

13、31221122412222115212121262口221217221122182212112(3)L 12(211)列號1234567891011試驗號111111111111211111222222J311222111222412122122112512212|21212161I2I212212117212211221218212122211129211222122111022211112212112212121112212221121212214(4)L9(3)列號1234試驗號1111121222313334212352231623127313283213933216(5)L16(4

14、5)列號試驗號1234511111121222231333341444452123462214372341218243219313421032431113312412342131341423144231415432411644132(6)L25(56)列號試驗號123456111111121222223133333414444451555556212345722一3451823451292451231025123411313524123241351333524114341352153524131641425317425314184314251944253120453142215154322252一1543235321542454321525554321，、，4、L8(4X2)列號實驗號123451|1|1|1112|12222321122422211531212632121741221842112(8)L12(3X24)列號試驗號123451111112111