隨機(jī)過(guò)程第3講概念

1、第第1 1章章 概論概論隨機(jī)過(guò)程及其描述隨機(jī)過(guò)程及其描述隨機(jī)對(duì)象的矩描述隨機(jī)對(duì)象的矩描述鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程及其應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程及其應(yīng)用主要內(nèi)容主要內(nèi)容隨機(jī)過(guò)程的定義及描述方式隨機(jī)過(guò)程的定義及描述方式隨機(jī)過(guò)程的分類及例子隨機(jī)過(guò)程的分類及例子隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征2022-3-52鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院概率空間和隨機(jī)對(duì)象概率空間和隨機(jī)對(duì)象2022-3-53鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院概率空間隨機(jī)變量隨機(jī)向量隨機(jī)過(guò)程樣本空間隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程事物的變化過(guò)程不能用一個(gè)時(shí)間事物的變化過(guò)程不能用一個(gè)時(shí)間t t的確定性函的確定性函數(shù)描述。數(shù)描述。如果對(duì)該事物的變化全過(guò)程進(jìn)行一次

2、觀察，如果對(duì)該事物的變化全過(guò)程進(jìn)行一次觀察，可得到一個(gè)時(shí)間可得到一個(gè)時(shí)間t t的函數(shù)，但是若對(duì)該事物的的函數(shù)，但是若對(duì)該事物的變化過(guò)程重復(fù)地獨(dú)立地進(jìn)行多次觀察，則每變化過(guò)程重復(fù)地獨(dú)立地進(jìn)行多次觀察，則每次得到的結(jié)果是不相同的。次得到的結(jié)果是不相同的。從另一角度來(lái)看，如果固定某一觀測(cè)時(shí)刻從另一角度來(lái)看，如果固定某一觀測(cè)時(shí)刻t t，事物在時(shí)刻事物在時(shí)刻t t出現(xiàn)的狀態(tài)是隨機(jī)的。出現(xiàn)的狀態(tài)是隨機(jī)的。2022-3-54鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院例子例子某電話交換臺(tái)在時(shí)間段某電話交換臺(tái)在時(shí)間段0，t內(nèi)接到的呼喚次數(shù)是與內(nèi)接到的呼喚次數(shù)是與t有關(guān)的隨機(jī)變量有關(guān)的隨機(jī)變量X(t),對(duì)于固定的對(duì)于固定的t， X(t

3、)是一個(gè)取非是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，但是負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，但是t是可變參數(shù)是可變參數(shù),是一個(gè)連續(xù)是一個(gè)連續(xù)變量變量,所以所以X(t)又是一個(gè)過(guò)程。因此又是一個(gè)過(guò)程。因此,這個(gè)問(wèn)題所涉及這個(gè)問(wèn)題所涉及的不僅是一個(gè)隨機(jī)變量的問(wèn)題，它既是隨機(jī)的，又的不僅是一個(gè)隨機(jī)變量的問(wèn)題，它既是隨機(jī)的，又是一個(gè)過(guò)程。是一個(gè)過(guò)程。 2022-3-55鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院2022-3-56鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院例子例子電子元器件由于內(nèi)部微觀粒子（如電子）的隨機(jī)熱騷動(dòng)所引電子元器件由于內(nèi)部微觀粒子（如電子）的隨機(jī)熱騷動(dòng)所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓，它在任一確定時(shí)刻的值是隨機(jī)起的端電壓稱為熱噪聲電壓，它在任一確定時(shí)刻的

4、值是隨機(jī)變量，記為變量，記為V(t)V(t)。如果。如果t t從從0 0變到變到+ + ，t t時(shí)刻的熱噪聲電壓需用時(shí)刻的熱噪聲電壓需用一族隨機(jī)變量一族隨機(jī)變量V(t),tV(t),t 0,0, ) )來(lái)表示，則該隨機(jī)現(xiàn)象就是一個(gè)來(lái)表示，則該隨機(jī)現(xiàn)象就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)某種裝置做一次試驗(yàn)，便可得到一個(gè)電壓隨機(jī)過(guò)程。對(duì)某種裝置做一次試驗(yàn)，便可得到一個(gè)電壓時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)v v1 1(t)(t)，這個(gè)電壓，這個(gè)電壓時(shí)間函數(shù)是不可能預(yù)先確知的，時(shí)間函數(shù)是不可能預(yù)先確知的，只有通過(guò)測(cè)量才能得到。如果在相同條件下獨(dú)立地再進(jìn)行一只有通過(guò)測(cè)量才能得到。如果在相同條件下獨(dú)立地再進(jìn)行一次測(cè)量，則得到的記錄是不同

5、的。如下頁(yè)圖所示。次測(cè)量，則得到的記錄是不同的。如下頁(yè)圖所示。2022-3-57鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院2022-3-58鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院樣本曲線（軌道或?qū)崿F(xiàn)）樣本曲線（軌道或?qū)崿F(xiàn)）例子例子在海浪分析中，需要觀察某固定點(diǎn)處海平面的在海浪分析中，需要觀察某固定點(diǎn)處海平面的垂直振動(dòng)，設(shè)垂直振動(dòng)，設(shè)X(t)X(t)表示在時(shí)刻表示在時(shí)刻t t該處的海平面相該處的海平面相對(duì)于平均海平面的高度，則對(duì)于平均海平面的高度，則X(t) X(t) 是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，而而X(t),tX(t),t 0, 0, ） 是隨機(jī)過(guò)程。是隨機(jī)過(guò)程。2022-3-5鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院91 1、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)定義隨機(jī)過(guò)程的

6、數(shù)學(xué)定義2022-3-510鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院隨機(jī)對(duì)象所描述的客觀對(duì)象的差別隨機(jī)對(duì)象所描述的客觀對(duì)象的差別隨機(jī)變量、隨機(jī)向量是狀態(tài)觀察的結(jié)果隨機(jī)變量、隨機(jī)向量是狀態(tài)觀察的結(jié)果隨機(jī)過(guò)程是過(guò)程觀察的結(jié)果隨機(jī)過(guò)程是過(guò)程觀察的結(jié)果對(duì)隨機(jī)過(guò)程采樣得到隨機(jī)變量和隨機(jī)向量對(duì)隨機(jī)過(guò)程采樣得到隨機(jī)變量和隨機(jī)向量2022-3-511鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院隨機(jī)過(guò)程的兩種觀點(diǎn)隨機(jī)過(guò)程的兩種觀點(diǎn)觀點(diǎn)一觀點(diǎn)一：隨機(jī)過(guò)程是樣本空間為函數(shù)的概率：隨機(jī)過(guò)程是樣本空間為函數(shù)的概率空間空間缺點(diǎn)：概率特性描述上不方便。概率集函數(shù)描述了樣缺點(diǎn)：概率特性描述上不方便。概率集函數(shù)描述了樣本函數(shù)組成的事件的概率，不直觀本函數(shù)組成的事件的概率

7、，不直觀觀點(diǎn)二觀點(diǎn)二：隨機(jī)過(guò)程是隨時(shí)間參變量變化的一：隨機(jī)過(guò)程是隨時(shí)間參變量變化的一族隨機(jī)變量族隨機(jī)變量直觀，便于用概率函數(shù)描述直觀，便于用概率函數(shù)描述2022-3-5鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院12重點(diǎn)考慮第二種描述方式重點(diǎn)考慮第二種描述方式：固定時(shí)刻固定時(shí)刻t, t,隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 在該時(shí)刻所取的值是一個(gè)隨機(jī)變量。在該時(shí)刻所取的值是一個(gè)隨機(jī)變量。為描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的相互關(guān)系，就要求用為描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的相互關(guān)系，就要求用n n維聯(lián)合維聯(lián)合分布函數(shù)來(lái)描述分布函數(shù)來(lái)描述n n個(gè)不同時(shí)刻個(gè)不同時(shí)刻t t1 1,t ,t2 2,t,tn n，相對(duì)應(yīng)的，相對(duì)應(yīng)的n n個(gè)隨機(jī)變個(gè)隨機(jī)變量量202

8、2-3-513鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院上式中上式中n及及t1,t2,tn是任意選定的，因此要求給出的是是任意選定的，因此要求給出的是一族一族有限維分布函數(shù)，故可以利用研究隨機(jī)矢量的方法研究隨有限維分布函數(shù)，故可以利用研究隨機(jī)矢量的方法研究隨機(jī)過(guò)程。機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程的分類隨機(jī)過(guò)程的分類時(shí)間指標(biāo)上分類時(shí)間指標(biāo)上分類連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)變量（狀態(tài)）的類型上分類隨機(jī)變量（狀態(tài)）的類型上分類離散狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程離散狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程連續(xù)狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程連續(xù)狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程2022-3-514鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院離散參數(shù)離散型隨機(jī)過(guò)程例子離散參數(shù)離散型隨機(jī)過(guò)程例子一維隨機(jī)游動(dòng)的研

9、究。質(zhì)點(diǎn)在x軸上做隨機(jī)游動(dòng)，t=0時(shí)位置取為x軸原點(diǎn)0，在t=1，2，3，.時(shí)質(zhì)點(diǎn)可在x軸正向或反向移動(dòng)一個(gè)單位距離，正向移動(dòng)一個(gè)單位距離的概率為p，反向移動(dòng)一個(gè)單位距離的概率為q=1-p。經(jīng)時(shí)間n，質(zhì)點(diǎn)偏離原點(diǎn)的距離為k，問(wèn)處于k的概率如何？（求一維分布 ）2022-3-515鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院解解 ：設(shè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)的距離為：設(shè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)的距離為 ， 可取可取+1+1，也可取，也可取-1-1，即，即2022-3-516鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院設(shè)質(zhì)點(diǎn)在設(shè)質(zhì)點(diǎn)在t=n時(shí)，偏離原點(diǎn)的距離為時(shí)，偏離原點(diǎn)的距離為 ， 也也是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量，于是于是2022-3-517鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院以此

10、類推，如果在如果在n n次游動(dòng)中有次游動(dòng)中有mm次質(zhì)點(diǎn)正向移動(dòng)，即有次質(zhì)點(diǎn)正向移動(dòng)，即有mm次次 i i=+1=+1，則有則有n-mn-m次質(zhì)點(diǎn)作反向運(yùn)動(dòng)，即有次質(zhì)點(diǎn)作反向運(yùn)動(dòng)，即有n-mn-m次次 i i =-1 =-1。此時(shí)。此時(shí) 2022-3-518鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院連續(xù)參數(shù)離散型隨機(jī)過(guò)程舉例連續(xù)參數(shù)離散型隨機(jī)過(guò)程舉例設(shè)有一脈沖數(shù)字通信系統(tǒng)，它傳送的信號(hào)是脈寬為設(shè)有一脈沖數(shù)字通信系統(tǒng)，它傳送的信號(hào)是脈寬為T(mén) T0 0的脈沖信號(hào)，每隔的脈沖信號(hào)，每隔T T0 0送出一個(gè)脈沖。脈沖幅度送出一個(gè)脈沖。脈沖幅度 是一個(gè)隨機(jī)變量，它可取四個(gè)值（是一個(gè)隨機(jī)變量，它可取四個(gè)值（+2+2，+1+1，-

11、1-1，- -2 2），且取這四個(gè)值的概率是相等的，即），且取這四個(gè)值的概率是相等的，即不同周期內(nèi)脈沖幅度是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，脈沖的起不同周期內(nèi)脈沖幅度是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，脈沖的起始時(shí)間相對(duì)于原點(diǎn)（始時(shí)間相對(duì)于原點(diǎn)（t=0t=0）的時(shí)間差）的時(shí)間差u u為均勻分布在為均勻分布在（0 0，T T0 0）內(nèi)的隨機(jī)變量。試求在兩個(gè)時(shí)刻）內(nèi)的隨機(jī)變量。試求在兩個(gè)時(shí)刻t t1 1，t t2 2該該隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 所取值所取值 ， 的二維聯(lián)合概率密度。的二維聯(lián)合概率密度。 2022-3-519鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院2022-3-520鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院該脈沖數(shù)字信號(hào)的典型樣本函數(shù)圖該脈沖數(shù)字信號(hào)的典型樣本函

12、數(shù)圖 在時(shí)間軸上固定兩個(gè)時(shí)刻在時(shí)間軸上固定兩個(gè)時(shí)刻t t1 1，t t2 2。 首先要研究的問(wèn)題是首先要研究的問(wèn)題是t t1 1，t t2 2是否處在同一脈沖內(nèi)。是否處在同一脈沖內(nèi)。 設(shè)事件設(shè)事件c c表示表示t t1 1，t t2 2間有不同周期的脈沖沿存在，即事件間有不同周期的脈沖沿存在，即事件c c表示表示t t1 1，t t2 2處在不同的脈沖周期內(nèi)。它的逆事件處在不同的脈沖周期內(nèi)。它的逆事件c cc c 表表示在示在t t1 1，t t2 2間沒(méi)有不同周期的脈沖沿，即間沒(méi)有不同周期的脈沖沿，即t t1 1，t t2 2處在同處在同一脈沖周期內(nèi)。一脈沖周期內(nèi)。 當(dāng)當(dāng)|t|t1 1-t

13、-t2 2|T|T0 0時(shí)，事件時(shí)，事件c c為必然事件，因此為必然事件，因此 當(dāng)當(dāng) |t|t1 1-t -t2 2|T|T0 0時(shí)，時(shí)， P(c)=1 P(c)=1 （1 1） 反之，當(dāng)反之，當(dāng)|t|t1 1-t -t2 2|T|T0 0時(shí)，時(shí)， 事件事件 c cc c為不可能事件，即當(dāng)為不可能事件，即當(dāng) |t|t1 1-t -t2 2|T|T0 0時(shí)，時(shí)， P( cP( cc c )=1-P(c)=0 )=1-P(c)=0 （2 2） 2022-3-521鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院當(dāng)當(dāng)|t|t1 1-t -t2 2| | T T0 0時(shí)，時(shí)，t t1 1，t t2 2有可能處在同一脈沖內(nèi)，有可能處在同一脈沖內(nèi)，也有可能處于兩個(gè)不同脈沖內(nèi)。也有可能處于兩個(gè)不同脈沖內(nèi)。 設(shè)設(shè) 為為t t1 1所在的脈沖的起始時(shí)刻。由于脈沖的所在的脈沖的起始時(shí)刻。由于脈沖的起始時(shí)間相對(duì)于原點(diǎn)（起始時(shí)間相對(duì)于原點(diǎn)（t=0t=0）的時(shí)間差）的時(shí)間差u u均勻分均勻分布于（布于（0 0，T T0 0）內(nèi)，而且該信號(hào)為等脈寬的脈沖）內(nèi)，而且該信號(hào)為等脈寬的脈沖信號(hào)，脈寬均為信號(hào)，脈寬均為T(mén) T0 0，則，則 也是均勻分布的隨機(jī)變也是均勻分布的隨機(jī)變量，量， 可視為均勻分布于（可視為均勻分布于（t t1 1-T-T0 0，t t1 1）內(nèi)的隨機(jī)）內(nèi)的隨機(jī)變量。變量。 2022-3-522鄭州大學(xué)信息