計數(shù)方法三——幾何圖形計數(shù)WPS文字 文檔

1、第二講：計數(shù)方法（三）幾何圖形計數(shù)例1 你能數(shù)出下面共有幾條線段么？解：_ _答案：15-專家點評：線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1= （n表示段數(shù)）BACDEO例2 數(shù)一數(shù)，下面共有多少個角？解：_ _答案：10專家點評：與數(shù)線段類似。ABCDEFGHQPMN圖中共有-個長方形例3 下圖中共有多少個長方形？解：_答案：18專家點評：類似于這樣的長方形，若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形mn個。例4 如圖，圖中平行四邊形的個數(shù)為多少？ 解：_ _ _答案：72可以將圖形分割成幾部分，使每一部分都像例4那樣的圖形，但分割的塊數(shù)越少越好。假設(shè)分為如下圖所示的兩塊，那么每塊

2、中的平行四邊形的個數(shù)都是 思考：如最右側(cè)的圖形中也有30個平行四邊形， 那么原圖中平行四邊形的個數(shù)是否是3×30=90？ 不是90，還應(yīng)減去如下圖所示的兩個“田字格”中的各9個平行四邊形，因為這18個平行四邊形已經(jīng)包含在前60個之中所以，原圖形中平行四邊形的個數(shù)是9018=72 專家點評：分部分計算，且注意在使用分類計數(shù)法時，一定要注意是否有遺漏或重復(fù)計數(shù)的。例5 如左、中、右三圖，各包含多少個正方形？解：_ _ _答案：8、20、50為便于敘述，我們設(shè)一個小正方形的邊長為1，那么左圖中邊長為1的正方形的個數(shù)是 3×2=6 邊長為2的正方形的個數(shù)是 2×1=2 所

3、以左圖中共有正方形 3×2+2×1=8（個）同理，數(shù)出中圖和右圖。專家點評：如果一橫行有m個小正方形，一豎行有n個（假設(shè)mn）小正方形，那么圖中正方形的個數(shù)是mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) 例6 下圖中一共有（ ）條線段.解：_ _ _答案： 30 圖形中每邊有3+2+1=6（條）線段，因此整個圖形中共有65=30條線段.專家點評：按照數(shù)線段的方法數(shù)。ADCB例7 下圖中有_個三角形. 解：_ _ _ 答案： 15此題中的三角形可先分成含頂點C的和不含頂點C的兩大類.含頂點C的又可分成另外兩頂點在線段AB上的和在線段BD上的兩小類.專家點評：這樣的問題應(yīng)該

4、通過分類計數(shù)求解.例8 下圖中共有_個梯形. 解：_ _ _答案：18梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(個),所以一共有63=18(個)梯形.專家點評：按照分類計數(shù)求解。例9 在下圖中,所有正方形的個數(shù)是_ 解：_ _ _答案：30整個圖形中共有12+22+32+42=30個正方形.專家點評：按照正方形邊長大小分別計數(shù)。例10 一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板,上面有44個釘(如右圖).以每個釘為頂點,你能用皮筋套出正方形和長方形共_個.hhhhhhhhhhhhhhhh 解：_ _ _答案： 44先考慮有一組對邊平行于BC的長方形有多少個.這一類按其水平邊的位置可分為6小類,即位置在B

5、F、FE、EC、FC、BE、BC.同樣,其豎直邊也分為6類.所以這一類有66=36個長方形.DACBB另一類是沒有邊平行于BC的.這一類又分類兩小類,分解圖如下頁圖所示,其中分別有6個和2個長方形.hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh所以，一共可套出正方形和長方形36+6+2=44個.專家點評：因為正方形是特殊的長方形,所以可以把正方形看成長方形,這樣就不必分別求正方形和長方形的個數(shù),仍用分類計數(shù)的方法求解.體驗訓(xùn)練1. 數(shù)一數(shù)下圖中有多少個三角形？解：_ _ _答案：15個2. 下圖共有( )個長方形. 解：_ _ _答案：25個3. 下圖一共有( )個梯形.解：

6、_ _ _答案：45個4.圖中一共有多少個長方形?(含正方形).解：_ _ _答案： 1980個圖中線段10×11÷2=55(條),邊上共有線段8×9÷2=36(條),因此,圖中共有長方形55×36=1980(個).內(nèi)化訓(xùn)練1. 下圖共有( )個平行四邊形.解：_ _ _答案： 315個(個)2. 下圖有( )個長方形.解：_ _ _答案：58個3. 數(shù)一數(shù)下圖中有（ ）個長方形。DBBCA解：_ _ _答案：108(1)因為長方形是由長和寬組成的,因此可分別考慮所有長方形的長和寬的可能種數(shù).按照前面所介紹的線段的計數(shù)方法可分別求出長和寬的線段

7、條數(shù),將它們相乘就是所有長方形的個數(shù).因為AB邊上有8+7+6+2+1=36條線段，AD邊上有2+1=3條線段，所以圖中一共有363=108個長方形.4. 數(shù)一數(shù)下圖一共有( )個三角形. 解：_ _ _答案：36 三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(個),所以一共有66=36(個)三角形.內(nèi)化訓(xùn)練1.數(shù)一數(shù)下圖一共有( )個三角形.（三）數(shù)三角形解：_ _ _答案：30個DE上有15條線段，每條線段的兩端點與點A相連，可構(gòu)成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形。2. 數(shù)一數(shù)圖中長方形的個數(shù) 解：_ _ _答案： 90個 AB邊上分成

8、的線段有：5+4+3+2+1=15. BC邊上分成的線段有： 3+2+1=6.共有長方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（個）3.數(shù)一數(shù)圖中有多少個正方形（其中每個小方格都是邊長為1個長度單位的正方形） 解：_ _ _ 答案：70個邊長為1正方形個數(shù)共有： 6×5=30（個）.邊長為2正方形個數(shù)共有： 5×4=20（個）邊長為3正方形個數(shù)共有： 4×3=12（個）邊長為4正方形個數(shù)共有： 3×2=6（個）邊長為5正方形個數(shù)共有： 2×1=2（個） 正方形總數(shù)為： 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（個）4. 下圖共有幾個正方形? 解：_ _ _答案：10個5. 數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù) 解：_ _ _ 答案： 246.一條直線上共有50個點,可以數(shù)出( )條線段.答案：50492=1225(條)7.數(shù)一數(shù)下圖共有( )條線段.解：_ _ _ 答案：368.數(shù)一數(shù)下圖共有( )條線段.解：_ _ _ 答案：27個9.下