解析幾何中定值和定點(diǎn)問題

1、解析幾何中定值與定點(diǎn)問題【探究問題解決的技巧、方法】(1)定點(diǎn)和定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2)解圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題也可以先研究一下特殊情況，找出定點(diǎn)或定值，再視具體情況進(jìn)行研究【實(shí)例探究】題型1：定值問題:例1：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若為定值.解：（I）設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.橢圓C的方程為 

2、; （II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得去分母整理得 方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得 又例2.已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,3/2),兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0).1）求橢圓方程2）E、F是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值（1）a²-b²=c² =1設(shè)橢圓方程為x

3、²/（b²+1）+y²/b²=1將（1，3/2）代入整理得4b4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）所以橢圓方程為x²/4+y²/3=1（2）設(shè)AE斜率為k則AE方程為y-(3/2)=k(x-1) x²/4+y²/3=1 ，聯(lián)立得出兩個(gè)解一個(gè)是A（1,3/2）另一個(gè)是E（x1，y1）代入消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0根據(jù)韋達(dá)定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k&

4、#178;/3） 將的結(jié)果代入式得 y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)設(shè)AF斜率為-k，F(xiàn)（x2，y2）則AF方程為y-（3/2）=-k（x-1） x²/4+y²/3=1 聯(lián)立同樣解得 x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3） y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）EF斜率為（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直線EF斜率為定值，這個(gè)定值是1/2。例3、已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（）求橢圓的方程；（）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的

5、兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）橢圓離心率為，. 又橢圓過點(diǎn)（，1），代入橢圓方程，得. 所以. 橢圓方程為，即. （2）在x軸上存在點(diǎn)M，使是與K無關(guān)的常數(shù). 證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m,0）,使是與k無關(guān)的常數(shù)，直線L過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為K,L方程為，由 得. 設(shè)，則 = 設(shè)常數(shù)為t，則. 整理得對(duì)任意的k恒成立，解得， 即在x軸上存在點(diǎn)M（）， 使是與K無關(guān)的常數(shù). 題型2：定點(diǎn)問題例4.已知橢圓C： (a > b > 0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x-y+b=0是拋物線

6、y2=4x的一條切線。（1）求橢圓的方程     (2)過點(diǎn) S（0，-1/3）的動(dòng)直線L交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。例5. .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：，如圖所示，斜率為k（k0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=-3于點(diǎn)D（-3，m）（）求m2+k2的最小值；（）若|OG|2=|OD|·|OE|，（）求證：直線l過定點(diǎn)；（）試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出

7、此時(shí)ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說明理由。解：（）由題意：設(shè)直線l：y=kx+n(n0)，由，消y得：，設(shè)A、B，AB的中點(diǎn)E，則由韋達(dá)定理得：=，即，所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E，因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上，所以kOE=kOD，即，解得，所以m2+k2=，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)，即m2+k2的最小值為2。（）（）證明：由題意知：n0，因?yàn)橹本€OD的方程為，所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，又因?yàn)?，且|OG|2=|OD|·|OE|，所以，又由（）知：，所以解得k=n，所以直線l的方程為l：y=kx+k，即有l(wèi)：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，與實(shí)數(shù)k無關(guān)，所以直線l過定點(diǎn)(-1，0)；

8、（）假設(shè)點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則有ABG的外接圓的圓心在x軸上，又在線段AB的中垂線上，由（）知點(diǎn)G，所以點(diǎn)B，又因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)(-1，0)，所以直線l的斜率為，又因?yàn)?，所以解得?，又因?yàn)?，所以m2=6舍去，即m2=1，此時(shí)k=1，m=1，E，AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標(biāo)為，G，圓半徑為，圓的方程為；綜上所述，點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)ABG的外接圓的方程為。【針對(duì)練習(xí)】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,離心率為,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.()求橢圓的方程; ()點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接,設(shè)的角平分線交 的長(zhǎng)軸于點(diǎn),求的取值范圍;()在()的條件下,過點(diǎn)作斜

9、率為的直線,使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個(gè)定值. 2、如圖，是拋物線為上的一點(diǎn)，以S為圓心，r為半徑（）做圓，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)SA、SB，分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)。()求證：直線CD的斜率為定值；()延長(zhǎng)DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，若EC : ED = 1 : 3，求的值。3、已知橢圓C:( )的離心率為,點(diǎn)(1,)在橢圓C上.()求橢圓C的方程;() 若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M(4,),其中,切點(diǎn)分別是A、B,試?yán)媒Y(jié)論:在橢圓上的點(diǎn)()處的橢圓切線方程是,證明直線AB恒過橢圓的右焦點(diǎn);()在()的前提下，試探究的值是否恒為常數(shù),

10、若是,求出此常數(shù);若不是,請(qǐng)說明理由.4、橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；F2OxyPABF1A2l(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 5、如圖，已知橢圓是四條直線所圍成長(zhǎng)方形的兩個(gè)頂點(diǎn).（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，若求證：動(dòng)點(diǎn)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；（2）若是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率之積等于直線的斜率之積，試探求的面積是否為定值，說明理由.【針對(duì)練習(xí)參考答案】1、解:()由于,將代入橢圓方程得 由題意知,即 又 所以, 所以橢圓方程為 ()由題意可知:=,=,設(shè)其中,將向

11、量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得:m(,因?yàn)? 所以,而,所以 (3)由題意可知,l為橢圓的在p點(diǎn)處的切線,由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線方程為: ,所以,而,代入中得 為定值. 2、解（1）將點(diǎn)（1，1）代入，得 拋物線方程為設(shè)，與拋物線方程 聯(lián)立得： 由題意有， （2）設(shè) 同理 ， 因此： 3、解:()設(shè)橢圓C的方程為()點(diǎn)(1,)在橢圓C上,由得:橢圓C的方程為， ()設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),則切線方程分別為,.又兩條切線交于點(diǎn)M(4,),即,即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)都適合方程,顯然對(duì)任意實(shí)數(shù),點(diǎn)(1,0)都適合這個(gè)方程，故直線AB恒過橢圓的右焦點(diǎn). ()將直線的方程，代入橢圓方程,得,即所以,不妨設(shè),同理所以=所以的值恒為常數(shù)4

12、、解：（1）由題： 左焦點(diǎn) (c,0) 到點(diǎn) P(2,1) 的距離為：d = = OxyPABF1F2A2l由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3 所求橢圓 C 的方程為 （2）設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2)，將 y = kx + m代入橢圓方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ，所以 = 0 所以 (x12,y1)·(x22,y2) = (x12) (x22) + y1

13、y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·(km2)·+ m 2 + 4 = 0 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0m = k 或 m = 2k 都滿足 > 0 若 m = 2k 時(shí)，直線 l 為 y = kx2k = k (x2) ，恒過定點(diǎn) A2(2,0)，不合題意舍去若 m = k 時(shí)，直線 l 為 y = kxk = k (x)， 恒過定點(diǎn) (,0) 5.解析: (1)證明：由題意可知A(2,1)，B(2,1)設(shè)P(x0，y0)，則y1.由mn，得 所以(mn)21，即m2n2.故點(diǎn)Q(m，n)在定圓x2y2上(2)設(shè)M(x1，y1)，N