解三角形綜合小練習(xí)

1、解三角形綜合小練習(xí)1 給出四個命題 (1)若sin2A=sin2B，則ABC為等腰三角形；(2)若sinA=cosB，則ABC為直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，則ABC為鈍角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，則ABC為正三角形 以上正確命題的個數(shù)是( )A 1 B 2 C 3 D 42 在ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，則cos2(B+C)=_ _ 3. 在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin的值4.在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A，(1

2、)c2b.(1)求角C；(2)若1，求a，b，c. 5.如圖，一船在海上由西向東航行，在處測得某島的方位角為北偏東角，前進(jìn)后在處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行（1）若，問該船有無觸礁危險？如果沒有，請說明理由；如果有，那么該船自處向東航行多少距離會有觸礁危險？北MABC（2）當(dāng)與滿足什么條件時，該船沒有觸礁危險？6.已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B ，求cos的值 7.如圖4所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形，其底邊.（1）設(shè)，求三角形鐵皮的面積；（2）求剪下的鐵皮三角形的面

3、積的最大值.【試一試】 在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，根據(jù)正弦定理，.于是ABBC2BC2.(2)在ABC中，根據(jù)余弦定理，得cos A.于是sin A.從而sin 2A2sin Acos A，cos 2Acos2Asin2A.所以sinsin 2Acoscos 2Asin.例3已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B ，求cos的值 解法一 由題設(shè)條件知B=60，A+C=120 設(shè)=，則AC=2，可得A=60+，C=60，依題設(shè)條件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2co

4、s+30，2cos=0 從而得cos 【例3】 在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A，(1)c2b.(1)求角C；(2)若1，求a，b，c.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由(1)c2b及A可利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系；(2)將向量關(guān)系式1轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，再利用解三角形的知識求解解(1)由(1)c2b，得，則有，得tan C1，即C.(2)由1，推出abcos C1.而C，即得ab1，則有解得 解答這一類問題，首先要保證向量運(yùn)算必須正確，否則，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的應(yīng)用條件及靈活變形，方能使問題簡捷解答【例4】 (2012沈陽模擬)如圖，漁船甲

5、位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 第(1)問實(shí)質(zhì)求BC；第(2)問運(yùn)用正弦定理可求解解(1)依題意，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/時(2)在ABC中，因?yàn)锳B12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即si

6、n ，所以sin 的值為. (1)三角形應(yīng)用題的解題要點(diǎn)：解斜三角形的問題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問題中尋找出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形得出所要求的量，從而得到實(shí)際問題的解(2)有些時候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等正確理解和掌握方位角、俯角、仰角對于解決三角形應(yīng)用題也是必不可少的25、（07福建理17）在中，（）求角的大小；（）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運(yùn)算能力，滿分12分解：（），又，（），邊最大，即又，角最小，邊為最小邊由且，得由得：所以，最小邊1本題共有

7、2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分 如圖，一船在海上由西向東航行，在處測得某島的方位角為北偏東角，前進(jìn)后在處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行 （1）若，問該船有無觸礁危險？如果沒有，請說明理由；如果有，那么該船自處向北MABC東航行多少距離會有觸礁危險？（2）當(dāng)與滿足什么條件時，該船沒有觸礁危險？1解：（1）作，垂足為，由已知，所以，北MABCD所以，（2分）所以，所以該船有觸礁的危險（4分）設(shè)該船自向東航行至點(diǎn)有觸礁危險，則，（5分）在中，所以，（）（7分）所以，該船自向東航行會有觸礁危險（8分）（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，即，（10分）而，（

8、12分）所以，當(dāng)，即，即時，該船沒有觸礁危險（14分）例13. 設(shè)二次函數(shù)，已知不論，為何實(shí)數(shù)，恒有和（1）求證： ；（2）求證：； （3）若函數(shù)的最大值為，求，的值分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出，再結(jié)合有界性探求解析：（1）因?yàn)榍液愠闪?，所以，又因?yàn)?且恒成立，所以， 從而知，即（2）由且恒成立得，即，將代如得，即（3），因?yàn)?，所以?dāng)時， 由 ， 解得 ，點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是，由 利用正余弦函數(shù)的有界性得出，從而，使問題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用30、（07全國卷2理17）在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值解：（1）的內(nèi)角和，由得應(yīng)

9、用正弦定理，知，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，所以，當(dāng)，即時，取得最大值23.如圖4所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形，其底邊.（1）設(shè)，求三角形鐵皮的面積；（2）求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.【解析】【例2】 (2011山東)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面積S.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)根據(jù)所給式子和第(1)問式子的特征，采用邊化角較為簡單；(2)借用第(1)問的結(jié)果可知a、c間的關(guān)系，再結(jié)合cos ，b2，利用余弦定理可求解解(1)由正弦定理，設(shè)k，則，所以.即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化簡可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以原等式可化為sin C2sin A，因此2.(2)由2，得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及cos B，得4a2