計算方法考題B08答案

1、西安交通大學(xué) 考試題 課 程 計算方法B 系 別 考 試 日 期 2008 年 12 月 27 日專業(yè)班號 姓 名 學(xué) 號 期中 期末1、（4分）在浮點(diǎn)數(shù)系中，共有 4097 個數(shù)（包括0），實數(shù)和在該數(shù)系中的浮點(diǎn)化數(shù)= ，= ，在浮點(diǎn)數(shù)系中計算 ；2、（4分）矩陣，則 7 ，范數(shù)意義下的條件數(shù) = 4.2 ；3、（4分）設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，是基本插值多項式，則 1 ， 0 ；4、（4分）若，則以-1，0，1，4為插值節(jié)點(diǎn)的三次插值多項式；差商 4 ；5、（4分）采用牛頓迭代求解方程 來計算的近似值，若以作為初值，則 3 ，該迭代序列是否收斂到？ 是 （填“是”或“否”）； 共 7頁 第 1 頁6、

2、（8分）在復(fù)化梯形公式用計算時，若要求誤差不超過，至少為多少？解：復(fù)化梯形公式誤差估計，由于單調(diào)增，因此，應(yīng)滿足，所以，至少為20。7、（8分）用最速下降法求如下二次函數(shù)的極小點(diǎn)取初值，用精確的一維搜索，迭代一步求；解： 取作為方向，取 共 7 頁 第 2 頁 8、（10分）求不超過2次插值多項式，使之滿足條件：124(x)-15(x)1解：令則由導(dǎo)數(shù)插值條件，應(yīng)： 由，9、（10分）給定數(shù)據(jù)表如下：-1-0.500.510.66670.50000.40000.33330.2857求形如的最小二乘近似函數(shù)。解：令，則擬合函數(shù)變?yōu)?，故首先將所給數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為-1-0.500.511.52.02.53

3、.03.5, , 近似函數(shù)為 共 7 頁 第 3 頁 10、（10分）將如下線性方程組的系數(shù)矩陣分解為形式（單位下三角、對角、單位上三角矩陣），并求解該線性方程組。解： 共 7 頁 第 4 頁 11、（10分）設(shè) 用迭代格式求解方程組，試問實數(shù)取何值可使迭代收斂？解：迭代格式為,故迭代矩陣為又，該迭代格式收斂故時，可使迭代收斂。 共 7 頁 第 5 頁 共 7 頁 第 6 頁 12、（12分）確定以下公式的系數(shù) 及節(jié)點(diǎn)使公式具有盡可能高的代數(shù)精度，求其代數(shù)精度，及公式誤差：解：具有最高代數(shù)精度的求積公式必是Gauss型求積公式，對積分區(qū)間，先求相應(yīng)的正交多項式：內(nèi)積：, 結(jié)點(diǎn)： 插值多項式： 由求積系數(shù) 因此求積公式：代數(shù)精度： 令,誤差： 13、（12分）解常微分方程初值問題的一個算法有如下形式：1）確定系數(shù)，使算法具有盡可能高的精度，并給出局部截斷誤差；2）請將所得公式與以下公式結(jié)合，組成“預(yù)估-修正-校正-改進(jìn)”公式：, 解：, Taylor展開