解析幾何中的面積問題1

1、解析幾何中的面積問題（第20題）1、如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記的面積為（I）求在，的條件下，的最大值；（II）當(dāng)，時(shí)，求直線的方程本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分14分（）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值（）解：由得， 設(shè)到的距離為，則，又因?yàn)?，所以，代入式并整理，得，解得，代入式檢驗(yàn)，故直線的方程是或或，或2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足（）求點(diǎn)P的軌跡的方程；（）若Q 是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且，直線與交于點(diǎn)M，問：是否存在點(diǎn)P使得和的面積滿

2、足？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（）設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由得，整理得軌跡的方程為（且）. （）設(shè)由可知直線，則，故，即， 6分直線OP方程為： ； 8分直線QA的斜率為：， 直線QA方程為：，即， 10分聯(lián)立，得，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值 12分由，得到，因?yàn)?，所以，由，得，的坐?biāo)為 14分3、已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)(，)（）求橢圓的方程；（）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求OPQ面積的取值范圍解：（）由題意可設(shè)橢圓方程為 (ab0)，xyOPQ則 故 ，所以，橢圓方程為 （）由題意可

3、知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為 ykxm (m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 消去y得(14k2)x28kmx4(m21)0，則64 k2b216(14k2b2)(b21)16(4k2m21)0，且，故 y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2因?yàn)橹本€OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，所以，k2，即，m20，又m0，所以 k2，即 k由于直線OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22 且 m21設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，則 SOPQd | PQ | x1x2 | | m |，所以 SOPQ的取值范圍為 (0，1) 4、過點(diǎn)M（4，2）作x軸的平行線被拋物線截得的弦長為。 （I）求p的值； （II）過拋物線C上兩點(diǎn)A，B分別作拋物線C的切線（i）若交于點(diǎn)M，求直線AB的方程；（ii）若直線AB經(jīng)過點(diǎn)M，記的交點(diǎn)為N，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)。解：（I）由已知得點(diǎn)在拋物線上，代入得8=4p，故p=2. （II）設(shè)直線AB方程為則故拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為故在A，B點(diǎn)處的切線方程分別為于是8分 （i