論文分數(shù)化小數(shù)循環(huán)節(jié)的長度與什么有關(guān)

1、附件12015年龍灣區(qū)小學(xué)生數(shù)學(xué)小論文評比學(xué) 校： 溫州市龍灣區(qū)海濱第二小學(xué) 姓 名： 孫旭冉劉煜 題 目： 分數(shù)化小數(shù)循環(huán)節(jié)的長度與什么有關(guān)？指導(dǎo)教師： 陳曉娜 聯(lián)系電話： 分數(shù)化小數(shù)循環(huán)節(jié)的長度與什么有關(guān)？摘要：根據(jù)分數(shù)化小數(shù)的方法（分子除以分母），我們推測分數(shù)循環(huán)節(jié)的長度與分子和分母有關(guān)。針對這個推測我們展開具體研究：做了大量計算、統(tǒng)計、猜想、推理、總結(jié)經(jīng)驗。得出循環(huán)節(jié)的長度與分數(shù)的分母有著密不可分的關(guān)系。 關(guān)鍵詞：分數(shù)化小數(shù)循環(huán)節(jié)長度分子分母正文：一、提出問題我們學(xué)習(xí)了分數(shù)化小數(shù)的課后，老師就在黑板上寫了（ ）讓我們化成小數(shù)，第一個完成的將獲得獎勵。大家算了很久還沒有結(jié)果，有一位同學(xué)就

2、說：“肯定化不成小數(shù)，被老師耍了?！崩蠋熉犃诵χf：“任何分數(shù)都能化成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)。當分數(shù)化為小數(shù)時有兩種情況：當分數(shù)的分母分解后只有2或5的質(zhì)因數(shù)時就可以除盡（為有限小數(shù)），分母分解后除2或5之外別的質(zhì)因數(shù)時除不盡（成為無限小數(shù)）?！蹦敲茨芑墒裁礃拥男?shù)呢？通過計算發(fā)現(xiàn)0.03225806451612903225它是個無限循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)為032258064516129有15位之長。這道題特別引起我們對循環(huán)節(jié)長度的好奇心，分數(shù)化小數(shù)時出現(xiàn)的循環(huán)節(jié)的長度又與誰有關(guān)系呢？難道真的與分子無關(guān)嗎？二、解決問題我們根據(jù)分數(shù)化小數(shù)的方法（用分子除以分母得出商）。決定只研究最簡真分數(shù)里的

3、一個部分。它的分母分解質(zhì)因數(shù)后：只有不是2和5的質(zhì)因數(shù)或者有2和5外還有其它質(zhì)因數(shù)。（一）那么小數(shù)循環(huán)節(jié)的長度與分子真的沒有關(guān)系嗎？與分母有關(guān)？為了減輕計算任務(wù)，我直接拿了書上的一個練習(xí)來研究：實驗一：根據(jù)實驗一的結(jié)果我們有兩個發(fā)現(xiàn)：第一、分子不管為幾，循環(huán)節(jié)都是6位，表明循環(huán)節(jié)的長度不受分子的變化而影響。第二、分母都為7時，這些循環(huán)節(jié)里出現(xiàn)的數(shù)字都是一樣，只是排列順序不一樣。那么這個規(guī)律在別的地方也能成立嗎？于是我們又展開了實驗隨機選取了分母為51的分數(shù)：實驗二： 實驗三： 結(jié)論一：根據(jù)不完全統(tǒng)計得出：循環(huán)節(jié)的長度確實與分子完全無關(guān)，只要分數(shù)的分母不變，循環(huán)節(jié)的長度就不會變。實驗二里表明循環(huán)

4、節(jié)里出現(xiàn)的數(shù)字并不一樣。實驗三里出現(xiàn)了與實驗一同樣的現(xiàn)象：循環(huán)節(jié)里出現(xiàn)的數(shù)字都是一樣，只是排列順序不一樣。對于這個現(xiàn)象因為時間與精力的有限，在這里就不繼續(xù)研究了。（二）循環(huán)節(jié)的長度與分母倒底有什么樣的關(guān)系呢？既然循環(huán)節(jié)和長度與分子無關(guān)，所以在下面實驗中將都選分子為1的分數(shù)來研究。我們先利用電腦做了到（分母不超過100）的大量計算來分析的依據(jù)（分母分解質(zhì)因數(shù)后只有質(zhì)因數(shù)2和5的除外），具體看附件1。根據(jù)對附件詳細數(shù)據(jù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：1.循環(huán)節(jié)只有1位的分數(shù)有：、。通過對上表中這些分數(shù)的分母進行分解質(zhì)因數(shù)后進行分析有兩個發(fā)現(xiàn)：第一、這些分數(shù)的分母（除了2和5外）只有質(zhì)因數(shù)3（分母是3的倍

5、數(shù)），它們循環(huán)節(jié)都是1位。我們根據(jù)這個做出大膽猜測：這組數(shù)中最大的數(shù)的循環(huán)節(jié)為1位，所以其它數(shù)的循環(huán)節(jié)也跟著為1位。第二、經(jīng)過仔細核對發(fā)現(xiàn)和也是只有質(zhì)因數(shù)3（分母是3的倍數(shù)），但循環(huán)節(jié)位數(shù)不在這個范圍的特殊分數(shù)，的循環(huán)節(jié)有3位，的循環(huán)節(jié)有6位。至于原因我們暫時沒有精力時行研究，留等以后再來探討。2.循環(huán)節(jié)只有2位的分數(shù)有：、通過對上表中這些分數(shù)的分母進行分解質(zhì)因數(shù)后進行分析有兩個發(fā)現(xiàn)：第一、這些分數(shù)的分母都有質(zhì)因數(shù)11（分母是11的倍數(shù)），它的循環(huán)節(jié)都為兩位。對此，我們也做出猜測：最大數(shù)的循環(huán)節(jié)是兩位，所以其它數(shù)的循環(huán)節(jié)也為兩位。第二、這里也有一個特殊的分數(shù)（分母是11的倍數(shù)），它的循環(huán)節(jié)卻有

6、6位。至于原因?qū)⒃谙挛闹凶鞒鼋忉尅?.循環(huán)節(jié)有3位的分數(shù)有： 、通過對上表中這些分數(shù)的分母進行分解質(zhì)因數(shù)后進行分析有兩個發(fā)現(xiàn)：第一、發(fā)現(xiàn)它們的循環(huán)節(jié)都為3位。第二、的分母是分母的倍數(shù)，的分母是分母的倍數(shù)。的循環(huán)節(jié)位數(shù)決定了的循環(huán)節(jié)位數(shù)。的循環(huán)節(jié)位數(shù)決定了的循環(huán)節(jié)位數(shù)。與之前兩類的規(guī)律有些吻合，（、）和（、）這兩組數(shù)之間又似乎沒有什么內(nèi)在聯(lián)系。（留待后續(xù)解決）4.循環(huán)節(jié)有5位的分數(shù)有：、通過對上表中這兩個分數(shù)的觀察發(fā)現(xiàn)：的分母是分母的倍數(shù)，它們的循環(huán)節(jié)都是5位。我們也是猜測的循環(huán)節(jié)位數(shù)決定的循環(huán)節(jié)位數(shù)。5.循環(huán)節(jié)有6位的分數(shù)有：、通過對上表中這些分數(shù)的分母進行分解質(zhì)因數(shù)后進行分析有三個發(fā)現(xiàn)：第一

7、、這類分數(shù)的循環(huán)節(jié)位數(shù)都是6位。第二、這類分數(shù)還可以分為兩小類：一類為分母中有質(zhì)因數(shù)7的分數(shù)，它的循環(huán)節(jié)位數(shù)跟一樣；另一類為分母中有質(zhì)因數(shù)13的分數(shù)，它們的循環(huán)節(jié)位數(shù)是與一樣。第三、發(fā)現(xiàn)奇怪的，它的循環(huán)節(jié)也有6位，卻沒有質(zhì)因數(shù)7和13。對于這個另類，因為時間有限會在后續(xù)的研究中繼續(xù)探索。6.循環(huán)節(jié)有15位的分數(shù)有：、通過對上表中三個分數(shù)的分母進行觀察發(fā)現(xiàn)：后2個分數(shù)、的分母都是分母的倍數(shù)。同時它們的循環(huán)節(jié)位數(shù)也與一樣為15個。7.循環(huán)節(jié)有16位的分數(shù)有：、通過對上表中這些分數(shù)的分母進行分解質(zhì)因數(shù)后進行分析發(fā)現(xiàn)：這一類分數(shù)后4個分數(shù)的分母都是的分母的倍數(shù)。而且它們循環(huán)節(jié)位數(shù)也與一樣。8.循環(huán)節(jié)有

8、18位的分數(shù)有：、通過對上表中這些分數(shù)的分母進行分解質(zhì)因數(shù)后進行分析發(fā)現(xiàn)：這一類分數(shù)后4個分數(shù)、的分母都是分母的倍數(shù)。而且循環(huán)節(jié)位數(shù)也與一樣。9.循環(huán)節(jié)有21位的分數(shù)有：、 通過對上表中這兩個分數(shù)的觀察發(fā)現(xiàn)同樣的規(guī)律：的分母是分母的倍數(shù)。的循環(huán)節(jié)位數(shù)與的循環(huán)節(jié)位數(shù)相同。10.循環(huán)節(jié)有22位的分數(shù)有：、通過對上表中這四個分數(shù)的觀察發(fā)現(xiàn)同樣的規(guī)律：這一類分數(shù)中后3個分數(shù)、的分母都是分母的倍數(shù)，它們的循環(huán)節(jié)也與同樣。11.循環(huán)節(jié)有28位的分數(shù)有：、通過對上表中這兩個分數(shù)的觀察發(fā)現(xiàn)同樣的規(guī)律：這一類分數(shù)中后2個分數(shù)、的分母都是分母的倍數(shù)，它們的循環(huán)節(jié)與一樣。3、結(jié)論二：根據(jù)上面11類不完全的統(tǒng)計分析，

9、我們總結(jié)為如下規(guī)律：只要確定一個分數(shù)的循環(huán)節(jié)位數(shù)，那么其它分數(shù)的分母是這分數(shù)分母的倍數(shù)時，那么它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)就相同。但是老師看了這個結(jié)論后卻說：“的分母即是和的分母的倍數(shù)，它的循環(huán)節(jié)位數(shù)會與哪個相同呢？”針對老師的疑問，我們隨機采取了下面的樣本做研究： 根據(jù)我們的樣本進行分析：的分母分解質(zhì)因數(shù)為77=7×11，的循環(huán)節(jié)位數(shù)比的循環(huán)節(jié)位數(shù)多，的分母分解質(zhì)因數(shù)為21=3×7，的循環(huán)節(jié)位數(shù)比的循環(huán)節(jié)位數(shù)多。不約而同的是，和循環(huán)節(jié)位數(shù)都是與原來循環(huán)節(jié)位數(shù)多的那個分數(shù)一樣。結(jié)合以上樣本與分析，我們做出一個大膽猜測：一個分數(shù)的分母分解質(zhì)因數(shù)后出現(xiàn)兩個（不是2和5）質(zhì)因數(shù)時，這個分數(shù)的

10、循環(huán)節(jié)與原循環(huán)節(jié)位數(shù)多的那個分數(shù)一樣。這一猜測能不能成立呢？于是我們又重新分析了分母里有兩或三個（不是2和5的）其它質(zhì)因數(shù)的分數(shù)如： 、。結(jié)論三：一個分數(shù)的分母分解質(zhì)因數(shù)后出現(xiàn)兩個（不是2和5）質(zhì)因數(shù)時，這個分數(shù)的循環(huán)節(jié)與原循環(huán)節(jié)位數(shù)多的那個分數(shù)一樣。這結(jié)論與之前的猜測完全吻合，這又是一個神奇的規(guī)律。結(jié)論四：根據(jù)對附件所有數(shù)據(jù)的觀察，以及分數(shù)化小數(shù)方法（分子除以分母）的推理：可以得出：任何一個分數(shù)化為小數(shù)時，循環(huán)節(jié)再長也會比分母小1（余數(shù)小于除數(shù)）三、結(jié)論和體會（一）結(jié)論:結(jié)論一：循環(huán)節(jié)的長度確實與分子完全無關(guān)，只要分數(shù)的分母不變，循環(huán)節(jié)的長度就不會變。結(jié)論二：只要確定一個分數(shù)的循環(huán)節(jié)位數(shù)，那

11、么其它分數(shù)的分母是這分數(shù)分母的倍數(shù)時，那么它們循環(huán)節(jié)的位數(shù)就相同。結(jié)論三：一個分數(shù)的分母分解質(zhì)因數(shù)后出現(xiàn)兩個（不是2和5）質(zhì)因數(shù)時，這個分數(shù)的循環(huán)節(jié)與原循環(huán)節(jié)位數(shù)多的那個分數(shù)一樣。結(jié)論四：根據(jù)對附件所有數(shù)據(jù)的觀察，以及分數(shù)化小數(shù)方法（分子除以分母）的推理：可以得出：任何一個分數(shù)化為小數(shù)時，循環(huán)節(jié)再長也會比分母小1（余數(shù)小于除數(shù)）（二）體會數(shù)學(xué)中的奇特奧秘和千變?nèi)f化的規(guī)律讓我受益匪淺，許多數(shù)學(xué)題都要經(jīng)過大膽猜想、仔細推理、計算驗證，才能找到通往最終的捷徑。通過這一次次的猜想、驗證、總結(jié)的操作過程，我有了很大的進步，也有了很多感悟。1.化整為零。剛開始做循環(huán)節(jié)長度的問題研究時，感覺神秘而無從下手，

12、老師說再大再復(fù)雜的機器也是由一個個小零件組裝的，再難的問題都是由一個個簡單的小問題結(jié)合起來，學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)會拆，學(xué)會搭。我們根據(jù)分數(shù)化小數(shù)的基本方法，通過最簡單的數(shù)學(xué)方法：實驗、找規(guī)律、提出猜想、最后驗證規(guī)律得出一個個結(jié)論。2.找規(guī)律、用巧方法真重要。數(shù)小數(shù)的循環(huán)節(jié)位數(shù)時，規(guī)律至始至終沒能找出來，只能一個一個數(shù)。我們數(shù)得頭昏眼花還不知道有沒有出錯。后來，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律就能很快判斷出循環(huán)節(jié)位數(shù)有沒有出錯。這減輕了本次研究的工作量。3.不能輕言放棄。在本次研究過程中，原先我們沒有想到用計算機幫忙計算，全靠筆算，因為工作量實在太大，好幾次想放棄研究?？鬃佑芯湓捳f得好“窮則變，變則通，通則達?！痹陉P(guān)鍵時刻想到

13、電腦計算機，大量的計算工作都迎刃而解。后來數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)，再到后面的制表作圖，又幾度讓人崩潰。這時，我們以泰戈爾的話（只有經(jīng)歷地獄般的磨煉，才能練出創(chuàng)造天堂的力量；只有流過血的手指，才能彈出世間的絕唱。）來激勵自己堅持了下來。4、在整個過程中，我們覺得痛并快樂著。四、研究后續(xù)在本次研究中，因我們的時間短暫、精力有限、樣本數(shù)量少、舉例與統(tǒng)計也不完全，所以遺留了很多未解決的問題：1.知道循環(huán)節(jié)長度找不出規(guī)律的有：、2.沒計算出循環(huán)節(jié)的長度有：、。3.分母相同時，有的分數(shù)循環(huán)節(jié)里的數(shù)字一樣只是排列不同，有的全無規(guī)律。針對這種現(xiàn)象的分析等著我們接下來再研究。4.這些規(guī)律能推廣嗎？我們查閱了網(wǎng)絡(luò)資料，發(fā)現(xiàn)

14、關(guān)于循環(huán)節(jié)長度研究的資料比較少。有在做同類課題的，也只是利用高等數(shù)學(xué)來研究循環(huán)節(jié)長度計算的公式。我們將繼續(xù)查閱更多的資料、用更豐富的數(shù)據(jù)來說明、用嚴謹?shù)倪壿嬐评韥碜C明這些規(guī)律。把“這些規(guī)律能不能推廣到分母大于100的分數(shù)中去”這個問題將做為一個長期的研究課題繼續(xù)開展下去。文獻：1.2.附件：分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)分數(shù)小數(shù)循環(huán)節(jié)的位數(shù)0.333310.16666666610.14285714285760.111111110.09090920.083333333310.07692307692360.071428571428560.0666666666610.05882352941176470588235

15、294117647160.055555510,180.047619047619060.04545454520.04347826086956521739130434782608695652173913220.0416666610.0384615384615384660.03703703703730.035714285714285760.03448275862068965517241379310344827586206896551724137931280.03333333333310.03225806451612903225806451612903150.0303030320.0160.02857

16、1428571460.2777777710.02702702730.02631578180.02564102564160.02439024390243950.02380952380952380952380952380952 60.210.02272727272727220.02222210.0220.00.02083333333310.160.0192307692307692307692307692307760.130.018518518530.01818181820.01785714260.01228180.0280.0166666666610.02580645150.01587360.015384660